Fonction logistique (Verhulst)

Fonction logistique, cas particulier: sigmoïde.

En mathématiques, les fonctions logistiques sont les fonctions ayant pour expression

$f(t) = K\frac{1}{1+ae^{-rt}}$ où $K$ et $r$ sont des réels positifs et $a$ un réel quelconque.

Ce sont les solutions en temps continu du modèle de Verhulst.

Pour $a > 0$, leur courbe représentative a la forme d'un S ce qui fait qu'elles sont parfois appelées sigmoïde. Ces fonctions ont été mises en évidence par Pierre François Verhulst (vers 1840) qui cherchait un modèle d'évolution de population non exponentielle comportant un frein et une capacité d'accueil $K$. Mais elles servent aussi à modéliser des réactions autocatalytiques, leur courbe portant alors le nom de courbe autocatalytique. Le nom de courbe logistique leur a été donné par Verhulst sans que l'on sache exactement pourquoi. Il écrit en 1845 dans son ouvrage consacré à ce phénomène : « Nous donnerons le terme de logistique à cette courbe ». L'auteur n'explique pas son choix mais « logistique » a même racine que logarithme et logistikos signifie « calcul » en grec.

Fragments d'histoire

Les fonctions logistiques sont initialement créées par Pierre François Verhulst. Chargé par son professeur Adolphe Quetelet d'étudier un modèle d'évolution de population qui ne soit pas exponentiel, il propose en trois publications (1838-1845-1847) un nouveau modèle tenant compte d'un frein dans le développement de la population et prouve que ce modèle est cohérent avec l'évolution de la population en Belgique et en France jusqu'en 1833. C'est dans la publication de 1845 qu'il nomme cette courbe « logistique » sans donner l'explication de ce terme. Utilisant les données fournies sur la population de la Belgique en 1815, 1830 et 1845, il détermine les trois paramètres de la fonction logistique qui correspondrait à cette évolution de la population et estime à 6,6 millions la population seuil en Belgique (population en 2006 : 10,5 millions).

La courbe logistique, utilisée dans l'étude des populations est redécouverte en 1920 par les statisticiens et biologistes Raymond Pearl (1879 - 1940) et Lowell Jacob Reed (1886-1966) qui ne créditent Verhulst de la paternité de la découverte qu'en 1922. Le terme exact de « logistique », tombé dans l'oubli ne réapparait qu'en 1924 dans une correspondance entre George Yule et Reed. C'est à cette époque que le nom devient officiel.

On trouve trace de l'utilisation de la courbe logistique en chimie dans un inventaire (1929) de Reed et Joseph Berkson (1899 - 1982) sur les utilisations possibles de la courbe logistique. C'est Berkson qui défendra l'idée d'ajuster certaines courbes par une fonction logistique (modèle logit) plutôt que par la fonction de répartition de la loi de Gauss (modèle probit).

Résolution de l'équation différentielle de Verhulst

Solutions de l'équation différentielle y'=1,5y(1-y/4) pour les conditions initiales
y0=0,5, puis 1, puis 2, puis 3, puis 5, puis 6

Dans son modèle de Verhulst, Verhulst cherche les fonctions f définies et positives sur $[0 ; + \infty[$ vérifiant les deux conditions

• $y(0) = y_0$
• $y'=ry\left(1-\frac yK\right) \quad (1)$ avec r > 0 et K > 0

Le changement de variable $z= \frac 1y$ dans (1) , valable pour y > 0, conduit à l'équation différentielle

$z'=-r\left(z-\frac 1K\right)$

dont les solutions sont les fonctions g définies par

$g(t) = \lambda e^{-rt} + \dfrac 1K$

La fonction f doit donc vérifier

$f(t) = \frac{1}{g(t)}= K \frac{1}{1+\lambda K e^{-rt}}$

La condition initiale $y(0)=y_0$ conduit à l'unique solution

$f(t) = K \frac{1}{1+\left(\frac {K}{y_0} - 1\right) e^{-rt}}$

Il est aisé de vérifier que cette fonction est bien définie et positive sur $[0 + \infty[$. En effet,

$1+\left(\frac {K}{y_0} - 1\right) e^{-rt} = e^{-rt}\left(e^{rt} +\frac {K}{y_0} - 1 \right)$

Comparaion entre le modèle de Malthus y'=1.5y et le modèle de Verhulst : y'=1.5y(1-y/6)

Or pour r> 0 et t ≥ 0, $e^{rt}\ge 1$ donc $e^{rt} +\frac {K}{y_0} - 1 \ge \frac {K}{y_0} > 0$.

Il est aussi aisé de vérifier qu'elle remplit bien les deux conditions énoncées.

Selon les valeurs de $y_0$ , la fonction est soit constante (pour $y_0=K$), soit croissante (pour $y_0 < K$), soit décroissante (pour $y_0>K$)

Pour $y_0 \ll K$, la courbe logistique est quasi-tangente en 0 à la courbe exponentielle solution du modèle de Malthus : y'=ry. Les deux modèles sont donc équivalents pour des petites valeurs de t mais les courbes divergent pour les grandes valeurs de t.

Propriétés des courbes logistiques

Pour a > 0

Courbe d'équation $y = \frac{6}{1+4e^{-0.8x}}$ et son centre de symétrie

La courbe logistique

$y = K\frac{1}{1+ae^{-rx}}$ est l'image par une transformation affine de la sigmoïde

En effet, en posant

• $Y = \frac yK$
• $X=r\left(x-\frac{\ln(a)}{r}\right)$

l'équation devient

$Y=\frac{1}{1+e^{-X}}\quad$

Cette courbe ayant pour asymptotes les droites d'équation Y = 0 et Y = 1 et pour centre de symétrie le point d'inflexion I(0;1/2), la courbe logistique a pour asymptote les droites d'équation y = 0 et y = K et pour centre de symétrie le point d'inflexion$J\left(\frac{\ln(a)}{r}; K/2\right)$.

Pour a < 0

Courbe d'équation $y = \frac{2}{1-4e^{-0.8x}}$ et son centre de symétrie

La courbe logistique

$y = K\frac{1}{1+ae^{-rx}}$ est l'image par une transformation affine de la courbe d'équation

$Y=\frac{1}{1-e^{-X}}\quad (2)$

En effet, il suffit de poser

• $Y = \frac yK$
• $X=r\left(x-\frac{\ln(|a|)}{r}\right)$

La courbe (2) ayant pour asymptotes les droites d'équation Y = 0, Y = 1 et X = 0 et pour centre de symétrie le point I(0;1/2), la courbe logistique a pour asymptotes les droites d'équation y = 0, y = K et $x=\frac{\ln(|a|)}{r}$ et pour centre de symétrie le point $J\left(\frac{\ln(|a|)}{r}; K/2\right)$

Ajustement logistique

De nombreuses situations (réaction chimiques, études de population) conduisant à des représentations en forme de S, il est intéressant de chercher les paramètres $a > 0$ et $r > 0$ permettant d'ajuster le phénomène par une fonction $f$ de la forme

$f(t) = K\frac{1}{1+ae^{-rt}}$

(le paramètre $K$ se détermine par l'étude de l'asymptote)

L'application de la fonction réciproque Logit

$\operatorname{logit}(y) = \ln\left(\frac{y}{1-y}\right)$

à l'expression $\frac{f(t)}{K}= \frac{1}{1+ae^{-rt}}$ permet de procéder à une ajustement affine

$\operatorname{logit}\left(\frac{1}{1+ae^{-rt}}\right) = \ln\left(\frac{1}{1+ae^{-rt}}\frac{1}{1-\frac{1}{1+ae^{-rt}}}\right) = \ln\left(\frac{1}{ae^{-rt}}\right)=rt-\ln(a)$

L'ajustement affine de $\mathrm{logit}(y)$ permet alors de déterminer $r$ et $\ln(a)$ et d'en déduire $a$.

Autres fonctions logistiques

On peut chercher à élargir le champ des fonctions logistiques à des fonctions dont les asymptotes horizontales sont quelconques. On prend alors pour fonction logistique des fonctions à quatre paramètres a, m, n, et $\tau$, dont l'expression est

$f(t) = a\frac{1 + m e^{-t/\tau}}{1 + n e^{-t/\tau}} \!$

La transformation de la fonction sous la forme

$f(t) = am/n + a(1-m/n)\frac{1}{1+ne^{-t/\tau}}$

prouve que la courbe obtenue est seulement l'image par une translation d'une courbe logistique du type précédent. Ses asymptotes ont pour équation $y=\frac{am}{n}$ et $y=a\,$. Son centre de symétrie a pour coordonnées $\left(\frac{\ln(a)}{r};\frac{a(1+m/n)}{2}\right)$.

Pour obtenir une courbe en S déformée non symétrique, on fait parfois appel à des fonctions logistiques à 5 paramètres dans laquelle peuvent varier les deux asymptotes horizontales, le point d'inflexion et les incurvations avant et après le point d'inflexion

Annexes

Liens internes

• Suite logistique
• Dynamique des populations
• Sigmoïde
• Régression logistique

Sources

• Pierre-François Verhulst, « Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement », Correspondance mathématique et physique, n^o 10, 1838, p. 113-121 [texte intégral [PDF] (page consultée le 31/05/2009)] 
• Pierre-François Verhulst, « Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population », Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, n^o 18, 1845, p. 1-42 [texte intégral [PDF] (page consultée le 18/10/2009)] 
• Pierre-François Verhulst, « Deuxième mémoire sur la loi d'accroissement de la population », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, n^o 20, 1847, p. 1-32 [texte intégral [PDF] (page consultée le 31/05/2009)] 
• Bernard Delmas, « Pierre-François Verhulst et la loi logistique de la population », Mathématiques & sciences humaines, n^o 167, automne 2004, p. 51-81 (ISSN 0987 6936) [texte intégral [PDF] (page consultée le 09/12/10)] .
• J-S Cramer, The origins and development of the logit model Pour la partie historique