Asymétrie (statistiques)

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En théorie des probabilités et statistique, le coefficient de dissymétrie (skewness en anglais) correspond à une mesure de l’asymétrie de la distribution d’une variable aléatoire réelle. C’est le premier des paramètres de forme, avec le kurtosis (les paramètres basés sur les moments d’ordre 5 et plus n’ont pas de nom attribué). En termes généraux, l’asymétrie d’une distribution est positive si la queue de droite (à valeurs hautes) est plus longue ou grosse, et négative si la queue de gauche (à valeurs basses) est plus longue ou grosse.

Définition

Étant donnée une variable aléatoire réelle $X$ d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma$, on définit son coefficient d’asymétrie comme le moment d’ordre trois de la variable centrée réduite :

$\gamma_1 = \mathbb{E} \left[ \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \right)^3 \right]$

lorsque cette espérance existe. On a donc :

$\gamma_1 = \frac{\mu_3}{\mu_2^{\ 3/2}} = \frac{\kappa_3}{\kappa_2^{\ 3/2}}$

avec $\mu_i$ les moments centrés d’ordre $i$ et $\kappa_i$ les cumulants d’ordre $i$.

Propriétés

Dimension

Les moments centrés $\mu_i$ et cumulants $\kappa_i$ ayant pour dimension celle de la variable $X$ élevée à la puissance $i$, le coefficient d’asymétrie $\gamma_1$ est une grandeur adimensionnelle.

Somme de réalisations indépendantes

Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $Y = \sum_{k=1}^n X$ la somme de $n$ réalisations indépendantes de $X$ (exemple : la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, somme de $n$ réalisations indépendantes de la loi de Bernoulli de paramètre $p$). Grâce à la propriété d’additivité des cumulants, on sait que $\kappa_i(Y) = n \kappa_i(X)$, donc :

$\gamma_1(Y) = \frac{n \kappa_3(X)}{(n \kappa_2(X))^{3/2}} = \frac{\gamma_1(X)}{\sqrt{n}}$

Forme de la distribution

• Un coefficient positif indique une distribution décalée à gauche de la moyenne, et donc une queue de distribution étalée vers la droite.
• Un coefficient négatif indique une distribution décalée à droite de la moyenne, et donc une queue de distribution étalée vers la gauche.
• Un coefficient nul indique une distribution symétrique : c’est par exemple le cas de la loi normale.

Estimateur non biaisé

Une utilisation naïve de la définition théorique $\gamma_1$ du coefficient d’asymétrie entraîne une mesure biaisée. Un estimateur non biaisé pour la loi normale de l’asymétrie est :

$G_1 = \frac{n}{(n-1) (n-2)} \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\bar{x}})^3}{\hat{\sigma^2}^{3/2}}$

où $\hat{\bar{x}}$ et $\hat{\sigma^2}$ sont des estimateurs non biaisés respectivement de l’espérance et de la variance.

Voir aussi

Articles connexes

• Espérance mathématique
• Variance
• Écart type
• Kurtosis
• Approximation de Cornish Fisher