Nombre positif

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Un nombre positif est un nombre qui est supérieur (au sens de : supérieur ou égal) à zéro, par exemple 3 ou e. Dans le cadre des nombres complexes, positif exige implicitement réel, mais pour plus de clarté nous préférons dire « nombre réel positif ». Zéro est un nombre réel positif, et est un entier naturel. Lorsqu'un nombre est positif et non nul, il est dit strictement positif.

Lorsque nous parlons de nombres positifs, l'adjectif positif doit être pris au sens large, c'est-à-dire que zéro n'est pas exclu et zéro est donc un nombre (le seul) à la fois positif et négatif. Si nous considérons des nombres positifs mais non nuls, alors nous devons préciser « strictement positifs ».

  • Les entiers naturels sont tous positifs pour la relation d'ordre naturelle ⩽.
  • l'ensemble des entiers relatifs positifs est habituellement noté \mathbb{Z}_+ ou \mathbf{Z}_+,
  • l'ensemble des entiers relatifs strictement positifs est habituellement noté \mathbb{Z}_+^* ou \mathbf{Z}_+^*,
  • l'ensemble des nombres rationnels positifs est habituellement noté \mathbb{Q}_+ ou \mathbf{Q}_+,
  • l'ensemble des nombres rationnels strictement positifs est habituellement noté \mathbb{Q}_+^* ou \mathbf{Q}_+^*,
  • l'ensemble des nombres réels positifs est habituellement noté \mathbb{R}_+ ou \mathbf{R}_+,
  • l'ensemble des nombres réels strictement positifs est habituellement noté \mathbb{R}_+^* ou \mathbf{R}_+^*.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • La somme de deux nombres positifs est un nombre positif,
  • la somme d'un nombre positif et d'un autre strictement positif est un nombre strictement positif.

La différence de deux nombres positifs peut être positive ou négative. Par exemple 2 − 3 = −1 et 5 − 2 = 3.

  • Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.
  • Le produit de deux nombres strictement positif est strictement positif.

Le produit d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif n'est pas nécessairement strictement positif, puisque le premier nombre peut être nul.

  • L'inverse d'un nombre strictement positif est un nombre strictement positif,
  • Le quotient d'un nombre positif et d'un nombre strictement positif est positif,
  • Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif.
  • Un nombre est inférieur (ou égal) à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est positive,
  • Un nombre est strictement inférieur à un autre si et seulement si la différence du second et du premier est strictement positive,
  • En multipliant une inégalité par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.

Voyez également[modifier | modifier le code]