Nombre transcendant

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En mathématiques, un nombre transcendant sur les rationnels est un nombre réel ou complexe qui n'est racine d'aucune équation polynomiale

a_n~x^n + a_{n-1}~x^{n-1} + \cdots + a_1~x^1 + a_0 = 0\,

n est un entier naturel et les coefficients ai sont des entiers relatifs dont au moins un est non nul. Un nombre réel ou complexe est donc transcendant si et seulement s’il n'est pas algébrique.

Tout nombre transcendant est donc un nombre irrationnel. La réciproque est fausse : par exemple 2 est irrationnel mais n'est pas transcendant, puisqu'il est solution de l'équation x2 – 2 = 0.

Puisque l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, l'ensemble des réels transcendants est non dénombrable et a même la puissance du continu, et presque tout nombre (parmi les réels ou les complexes) est transcendant. Néanmoins, seulement peu de classes de nombres transcendants sont connues et prouver qu'un nombre donné est transcendant peut être extrêmement difficile.

Les exemples les plus connus de nombres transcendants sont π et e.

Histoire[modifier | modifier le code]

Leibniz fut probablement la première personne à croire en l'existence des nombres qui ne satisfont pas les polynômes à coefficients rationnels. Le nom « transcendant » vient de Leibniz dans sa publication de 1682 où il démontra que sin(x) n'est pas une fonction algébrique de x. L'existence des nombres transcendants fut prouvée pour la première fois en 1844 par Joseph Liouville[1], qui montra des exemples, incluant la constante de Liouville :


c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000\ldots

dans laquelle le n-ième chiffre après la virgule est 1 si n est une factorielle (l'un des nombres 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc.) et 0 sinon ; ce nombre est particulièrement bien approché par les nombres rationnels. Joseph Liouville montra que les nombres ayant cette propriété (que nous nommons maintenant nombres de Liouville) sont tous transcendants ; on trouvera cette démonstration à l'article consacré à ces nombres.

Jean-Henri Lambert, dans son article[2] prouvant l'irrationalité de π conjectura que e et π étaient des nombres transcendants. Le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873[3].

En 1874, Georg Cantor démontra que les nombres algébriques réels sont dénombrables et les nombres réels sont non dénombrables ; il fournit également une nouvelle méthode permettant de construire des nombres transcendants[4]. En 1878, Cantor publia une construction démontrant qu'il y a « autant » de nombres transcendants que de nombres réels[5]. Ces résultats établissant l'ubiquité des nombres transcendants.

En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de π. Il montra d'abord que e à n'importe quelle puissance algébrique non nulle est transcendant, et puisque e = –1 est algébrique (voir identité d'Euler), et par conséquent π doit être transcendant. Cette approche fut généralisée par Karl Weierstrass avec le théorème de Lindemann-Weierstrass. La transcendance de π a permis la démonstration de l'impossibilité de résoudre plusieurs problèmes anciens de construction géométrique avec le compas et la règle, incluant le plus célèbre d'entre eux, la quadrature du cercle.

En 1900, David Hilbert a posé une importante question à propos des nombres transcendants, connue sous le nom de septième problème de Hilbert : « Si a est un nombre algébrique non nul et différent de 1 et si b est un nombre algébrique irrationnel, alors le nombre ab est-il nécessairement transcendant ? » La réponse, affirmative, fut donnée en 1934 par le théorème de Gelfond-Schneider. On peut obtenir facilement des nombres transcendants grâce à lui, par exemple 22.

Ce travail fut étendu par Alan Baker dans les années 1960.

Quelques nombres transcendants connus[modifier | modifier le code]

Toute fonction algébrique non constante à une variable donne une valeur transcendante lorsqu'on lui applique une valeur transcendante. Donc, par exemple, en sachant que π est transcendant, nous pouvons immédiatement déduire que , (π – 3)/2, (π3)8 et (π5+7) 1/7 sont aussi transcendants.

Néanmoins, une fonction algébrique à plusieurs variables peut donner un nombre algébrique lorsqu'elle est appliquée aux nombres transcendants si ces nombres ne sont pas algébriquement indépendants. Par exemple, π et 1 – π sont tous les deux transcendants, mais π + (1 – π) = 1 ne l'est évidemment pas. On ignore si π + e, par exemple est transcendant, mais au moins l'un des deux nombres π + e et πe doit être transcendant. Plus généralement, pour deux nombres transcendants a et b, au moins l'un de a + b et ab doit être transcendant. Pour voir cela, considérons le polynôme (X – a)(X – b) = X2 – (a + b)X + ab ; si a + b et ab étaient tous deux algébriques, alors ce polynôme serait à coefficients algébriques. Comme les nombres algébriques forment un corps algébriquement clos, ceci impliquerait que les racines du polynôme, a et b soient algébriques. Mais ceci est une contradiction et ainsi, au moins un des deux coefficients est transcendant.

Problèmes ouverts[modifier | modifier le code]

On ignore si les nombres suivants sont ou non transcendants :

Tous les nombres de Liouville sont transcendants, néanmoins les nombres transcendants ne sont pas tous des nombres de Liouville. Tout nombre de Liouville doit avoir des termes non bornés dans son développement en fraction continue, donc en utilisant un argument de dénombrement, on peut montrer qu'il existe des nombres transcendants qui ne sont pas des nombres de Liouville. En utilisant le développement explicite en fraction continue de e, on peut montrer que e n'est pas un nombre de Liouville. Kurt Mahler montra en 1953 que π n'est pas non plus un nombre de Liouville. Il a été conjecturé que toutes les fractions continues à termes bornés qui ne sont pas périodiques à partir d'un certain rang sont transcendantes (les fractions continues périodiques à partir d'un certain rang correspondent aux irrationnels quadratiques).

La généralisation du septième problème de Hilbert qui serait de caractériser les transcendants parmi tous les nombres ab lorsque a ≠ 0 et a ≠ 1 est algébrique, reste non résolue[réf. souhaitée]. On sait que si b est rationnel alors ab est algébrique, et (d'après le théorème de Gelfond-Schneider mentionné plus haut) que si b est algébrique irrationnel alors ab est transcendant, mais qu'en est-il si b est transcendant ? (Il peut arriver que ab soit algébrique, comme dans l'exemple a = 2, b = log(3)/log(2).)

Esquisse de démonstration de la transcendance de e[modifier | modifier le code]

La première démonstration que e est transcendant date de 1873. Nous suivrons maintenant la stratégie de Hilbert[6],[7] qui donna une simplification de la démonstration originale d'Hermite. L'idée est la suivante :

Supposons, dans le but de trouver une contradiction, que e est algébrique. Alors, il existe un ensemble fini de coefficients entiers \scriptstyle c_0,c_1,\ldots,c_n satisfaisant l'équation :

c_0+c_1\mathrm e+c_2\mathrm e^2+\cdots+c_n\mathrm e^n=0

et c0 et cn sont tous deux différents de zéro.

Dépendant de la valeur de n, nous précisons un entier positif suffisamment grand k (pour nos besoins ultérieurs) et multiplions les deux côtés de l'équation ci-dessus par \int_0^\infty, où la notation \int_a^b sera utilisée dans cette démonstration comme abréviation de l'intégrale :

\int_a^b:=\int_a^bx^k[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}\mathrm e^{-x}~\mathrm dx.

Nous arrivons à l'équation :

c_0\int_0^\infty+c_1\mathrm e\int_0^\infty+\cdots+c_n\mathrm e^n\int_0^\infty=0

qui peut maintenant être écrite sous la forme

P_1+P_2=0

P_1=c_0\int_0^\infty+c_1\mathrm e\int_1^\infty+c_2\mathrm e^2\int_2^\infty+\cdots+c_n\mathrm e^n\int_n^\infty,

et

P_2=c_1\mathrm e\int_0^1+c_2\mathrm e^2\int_0^2+\cdots+c_n\mathrm e^n\int_0^n.

Le plan d'attaque maintenant est de montrer que pour un k suffisamment grand, les relations ci-dessus sont impossibles à satisfaire parce que

\frac{P_1}{k!} est un entier différent de zéro et \frac{P_2}{k!} ne l'est pas.

Le fait que \frac{P_1}{k!} soit un entier différent de zéro résulte de la relation

\int_0^\infty x^j\mathrm e^{-x}~\mathrm dx=j!

qui est valide pour tout entier positif j et peut être prouvée par récurrence au moyen d'une intégration par parties.

Pour montrer que

\left|\frac{P_2}{k!}\right|<1 pour un k suffisamment grand,

nous noterons d'abord que

x^k[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}\mathrm e^{-x}

est le produit des fonctions

[x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^k\quad\text{et}\quad(x-1)(x-2)\cdots(x-n)\mathrm e^{-x}.

En utilisant la borne supérieure pour |x(x-1)(x-2)\cdots(x-n)| et |(x-1)(x-2)\cdots(x-n)\mathrm e^{-x}| sur l'intervalle [0,n], employer le fait que

\lim_{k\to\infty}\frac{G^k}{k!}=0 pour tout nombre réel G

est alors suffisant pour achever la démonstration.

Une stratégie similaire, différente de l'approche originale de Lindemann, peut être utilisée pour montrer que le nombre π est transcendant. En outre, la fonction gamma, certaines estimations pour e et des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle vital dans la démonstration.

Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de transcendances de π et e, voir les articles liés, les références et les liens externes.

Généralisations[modifier | modifier le code]

Si L est une extension de corps de K, un élément de L est dit transcendant sur K s'il n'est pas algébrique sur K.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Transcendental number » (voir la liste des auteurs)

  1. Article du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (avec une analyse de Michel Mendès France), sur le site bibnum.
  2. J.-H. Lambert, « Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes [sic] circulaires et logarithmiques », Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres, Berlin, vol. 17,‎ 1761, p. 265-322 (lire en ligne).
  3. C. Hermite, « Sur la fonction exponentielle », CRAS, vol. 77,‎ 1873, p. 18-24 (lire en ligne), présenté et analysé par Michel Waldschmidt sur le site bibnum.
  4. Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Traduction française : Sur une propriété du système de tous les nombres algébriques réels.
  5. En 1878, Cantor ne construisit qu'une bijection entre l'ensemble des nombres irrationnels et l'ensemble des nombres réels (voir Une contribution à la théorie des ensembles, p. 323-324). Toutefois, l'année suivante, il indiqua que sa construction s'applique à tout ensemble formé en supprimant une quantité dénombrable de nombres d'un intervalle réel (voir Sur ensembles infinis et linéaires de points, p. 353).
  6. (de) D. Hilbert, « Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π », Math. Ann., vol. 43,‎ 1893, p. 216-219 (lire en ligne).
  7. (de) R. Fritsch, « Hilberts Beweis der Transzendenz der Ludolphschen Zahl π », Differ. Geom. Mnogoobr., vol. 34,‎ 2003, p. 144-148 (lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Théorie de la transcendance (en) l'étude des questions relatives aux nombres transcendants

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Alan Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1975 (ISBN 0-521-39791-X)
  • (de) Rudolf Fritsch, « Transzendenz von e im Leistungskurs? », Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht, vol. 42,‎ 1989, p. 75-80 (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]