Quaternion hyperbolique

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L'algèbre des quaternions hyperboliques est un objet mathématique promu à partir de 1890 par Alexander Macfarlane (en). L'idée fut mise à l'écart, à cause de la non-associativité de la multiplication, mais elle est reprise dans l'espace de Minkowski. Comme les quaternions, c'est un espace vectoriel sur {}^\R de dimension 4.

Une combinaison linéaire :

q = a + bi + cj + dk

est un quaternion hyperbolique si a, b, c, et d sont des nombres réels et que les unités {1,i,j,k} sont telles que :

i j = k = -j i, jk = i = -kj, ki = j = -ik, et ii = +1 = jj = kk.

Soit :

· 1 i j k
1 1 i j k
i i 1 k –j
j j –k 1 i
k k j –i 1

Bien que ces unités ne respectent pas l'associativité, l'ensemble

{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k}

forme un quasigroupe. Si on définit le conjugué q* de q par la formule

q* = a - bi - cj - dk,

alors le produit

q q* = aa - bb - cc - dd est la forme quadratique utilisée dans l'espace de Minkowski.

soit X (ct, x, y, z) un point de l'espace temps et X*( ct, -x, -y, -z) son conjugué. XX* = c²t²-x²-y²-z² est la norme de X dans l'espace de Minkowski.



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