Suite arithmétique

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…

La suite des nombres impairs
est arithmétique de raison 2.

En mathématiques, une suite arithmétique est une suite (par exemple de nombres) dans laquelle chaque terme permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.

Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque indice $n$ :

$u_{n+1} = u_n + r\,$.

Cette relation est caractéristique de la progression arithmétique ou croissance linéaire. Elle décrit bien les phénomènes dont la variation est constante au cours du temps, comme l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples.

Les suites arithmétiques satisfont une formule générale pour le calcul des termes ainsi que pour la série associée.

Terme général

Si $E$ est un groupe et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite arithmétique de $E$ de raison $r\in E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$u_n = u_0 + n \cdot r \,$

Plus généralement, si la suite est définie sur $A = \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ et si n et p appartiennent à A alors :

$u_n = u_p + (n - p) \cdot r \,$

Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier terme $u_{n_0}$ et par sa raison r.

Réciproquement, une suite définie sur $\{n \in \mathbb N, n \geq n_0\}$ par

$u_n = u_{n_0} + (n - n_0) \cdot r \,$

est une suite arithmétique de raison r.

En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est l'aspect discret de la fonction affine.

Sens de variation et convergence

Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs dans $\R$.

Si r > 0 la suite est croissante, si r < 0 la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.

En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite:

• si r > 0 sa limite est $+ \infty$
• si r < 0 sa limite est $- \infty$.
• Si la raison est nulle, la suite est constante et converge vers la constante.

Somme des termes

Article détaillé : Somme (arithmétique).

Si $E = \R$ ou $\mathbb C$ et si $(u_n )_{n\in\mathbb N}$ est une suite arithmétique de $E$ alors, pour tout $n\in\mathbb N$ :

$\sum_{0 \le p \le n}u_p={(n+1)\over 2}(u_0+u_n)$

La légende veut que la méthode de calcul ait été inventée par Carl Friedrich Gauss, élève dissipé qu'il s'agissait d'occuper et à qui l'on aurait confié la tâche de calculer la somme de tous les entiers de 1 à 100. En écrivant la somme deux fois, dans un ordre différent, il obtint :

S = 1 + 2 + 3 + .... + 98 + 99 + 100

S = 100 + 99 + 98 + ...+ 3 + 2 + 1

Puis, remarquant que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101, il obtint facilement

2S = 100 × 101 donc S = ${100\times 101\over 2}$

Légende ou réalité, cette astuce est la méthode de démonstration pour calculer la somme des termes :

$S = u_0 + u_1 + ... + u_n$

$S = u_n + u_{n-1} + ... + u_0$

Remarquant que $u_{p} + u_{n-p} = u_0 + u_n$, il vient

$2S = (n+1) \times (u_0+u_n)$

Cette propriété s'applique pour calculer la somme des n premiers entiers, autrement dit lorsque $u_0=0$ et r=1

$1 + 2 + 3 ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

et se généralise à toute somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

$u_p + u_{p+1} + ...+u_n = \frac{(n-p+1)(u_n + u_p)}{2}$

Notons qu'il s'agit de la moyenne du premier et du dernier terme que multiplie le nombre de termes.

Elle se généralise aussi à toute suite à valeurs dans un espace vectoriel sur un corps commutatif de caractéristique différente de $2$

Articles connexes

• Suite géométrique
• Suite arithmético-géométrique
• Progression arithmétique généralisée (en)