Suite arithmétique

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La suite des nombres impairs
est arithmétique de raison 2.

En mathématiques, une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque élément permet de déduire le suivant en lui ajoutant une constante appelée raison.

Cette définition peut s'écrire sous la forme d'une relation de récurrence, pour chaque élément de la suite d'indice n :

u_{n+1} = u_n + r

Cette relation est caractéristique de la progression arithmétique ou croissance linéaire. Elle décrit bien les phénomènes dont la variation est constante au cours du temps, comme par exemple l'évolution d'un compte bancaire à intérêts simples.

Les suites arithmétiques satisfont une formule générale pour le calcul des éléments (alias termes) ainsi que pour la série associée.

Elément général[modifier | modifier le code]

Si (E, +) est un groupe — ou même seulement un ensemble muni d'une loi associative — et si (u_n )_{n\in\N} est une suite arithmétique de E de raison r alors, pour tout entier naturel n :

u_n = u_0 + nr .

Plus généralement, si la suite n'est définie qu'à partir de l'indice n et si npn alors : u_n = u_p + (n - p)r.

Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par la donnée de son premier élément (alias terme) un et de sa raison r.

Réciproquement, une suite définie à partir de son élément d'indice n par u_n = u_{n_0} + (n - n_0) r est arithmétique de raison r.

En analyse réelle ou complexe, la suite arithmétique est donc l'aspect discret de la fonction affine.

Sens de variation et convergence[modifier | modifier le code]

Ce paragraphe concerne les suites arithmétiques à valeurs réelles.

Si r > 0, la suite est croissante ; si r < 0, la suite est décroissante et si r = 0 la suite est constante.

En général (si r est non nul), la suite arithmétique est divergente. Cependant elle admet une limite lorsque son indice tend vers l'infini :

  • si la raison est positive (r > 0), la limite de la suite arithmétique est +∞ ;
  • si la raison est négative (r < 0), la limite de la suite arithmétique est –∞ ;
  • si la raison est nulle (r = 0), la suite est constante et converge donc vers la constante.

Somme des termes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme (arithmétique).

Si E = ou et si (u_n )_{n\in\N} est une suite arithmétique de E alors, toute somme de termes consécutifs est égale au nombre de ces termes multiplié par la moyenne des deux termes extrêmes. Par exemple :

\sum_{0 \le p \le n}u_p=(n+1){u_0+u_n\over 2}.

La légende veut que la méthode de calcul ait été inventée par Carl Friedrich Gauss, élève dissipé qu'il s'agissait d'occuper et à qui l'on aurait confié la tâche de calculer la somme de tous les entiers de 1 à 100. En écrivant la somme deux fois, dans un ordre différent, il obtint :

S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1

Puis, remarquant que 100 + 1 = 99 + 2 = 98 + 3 = ... = 101, il obtint facilement

2S = 100 × 101 donc S = {100\times 101\over 2}.

Légende ou réalité, cette astuce est une méthode de démonstration pour calculer la somme des termes :

S = u_0 + u_1 + ... + u_n
S = u_n + u_{n-1} + ... + u_0

Remarquant que u_{p} + u_{n-p} = u_0 + u_n, il vient

2S = (n+1) \times (u_0+u_n)

Cette propriété s'applique pour calculer la somme des n premiers entiers naturels non nuls, autrement dit lorsque u = 0 et r = 1 :

1 + 2 + 3 ... + n = \frac{n(n+1)}2

et se généralise à toute somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique

u_p + u_{p+1} + ...+u_n = (n-p+1)\frac{(u_n + u_p)}2 .

Elle se généralise aussi à toute suite à valeurs dans un module sur un anneau de caractéristique différente de 2.

Suites arithmétiques remarquables[modifier | modifier le code]

Ensemble des entiers naturels[modifier | modifier le code]

L'ensemble \scriptstyle\mathbb{N} des nombres entiers naturels est une suite arithmétique infinie, de raison 1.

Suite arithmétique de nombres premiers[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Green-Tao.

En 2004, Ben Joseph Green et Terence Tao ont démontré qu'il existait des suites arithmétiques de nombres premiers de longueur arbitraire finie, sans toutefois donner de moyen pour les trouver.

Par exemple :

  • suite arithmétique de trois nombres premiers de la forme « 3 + 2 x n », avec n = 0 à 2 : 3, 5, 7
  • ...
  • suite arithmétique de cinq nombres premiers de la forme « 5 + 6 x n », avec n = 0 à 4 : 5, 11, 17, 23, 29
  • ...
  • suite arithmétique de huit nombres premiers de la forme « 7 + 150 x n », avec n = 0 à 6 : 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907
  • ...

Les plus longues suites arithmétiques de nombres premiers connues au 16 mars 2012 sont au nombre de deux et possèdent 26 éléments chacune[1]


Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]