Nombre hautement composé

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Un nombre hautement composé est un entier qui possède plus de diviseurs que n'importe quel entier positif inférieur à lui.

Ces nombres, parfois aussi appelé "nombres ploutons" (de Ploutos, divinité de la richesse), ont été introduits par Ramanujan en 1915.[réf. souhaitée]

Définition[modifier | modifier le code]

Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont :

nombres hautement composés
(suite A002182 de l'OEIS)
1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680 2520 5040 7560 10080 ...
nombres de diviseurs
(suite A002183 de l'OEIS)
-- y compris 1 et lui-même --
1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64 72 ...
décomposition en facteurs premiers
-- diviseur trivial 1 non indiqué --
1 2 2
3

3

3

2⁴
3

3
5

3
5


5
2⁴
3
5


5
2⁴

5

3
5
7


5
7
2⁴
3
5
7


5
7
2⁴

5
7


5
7
2⁵

5
7
...

Il existe une infinité de nombres hautement composés.

Cette proposition se démontre très facilement. Supposons que n est un nombre hautement composé arbitraire. Alors 2n possédera plus de diviseurs que n (les diviseurs de n sont tous des diviseurs de 2n) et ainsi, certains nombres plus grands que n (mais pas plus grand que 2n) doivent donc être hautement composés.

Une autre démonstration, encore plus élémentaire, consiste à considérer, pour n donné, l'ensemble des nombres ayant au moins n diviseurs; il est non vide, car il contient au moins 2n–1. Il admet donc un plus petit élément (l'ordre canonique sur l'ensemble des naturels étant bien fondé) qui, par construction, est hautement composé et trivialement supérieur à n.

Pour donner une idée de la forme d'un nombre hautement composé, on peut dire qu'il s'agit d'un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l'on considère la décomposition d'un nombre n en facteurs premiers comme suit :

n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}

avec p_1 < p_2 < \cdots < p_k premiers, et des exposants c_i entiers non nuls. Alors, le nombre de diviseurs de n est exactement:

(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).

Par conséquent, pour que n soit hautement composé:

  • il faut que les nombres premiers cités soient les k plus petits nombres premiers (2, 3, 5, ...) ; sinon, on pourrait remplacer un des p_i par un nombre premier plus petit, et obtenir un nombre inférieur à n ayant le même nombre de diviseurs (par exemple 10=2×5 peut être remplacé par 6=2×3, chacun a 4 diviseurs) ;
  • il faut que c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k ; sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue n tout en conservant le même nombre de diviseurs (par exemple 18=21×32 peut être remplacé par 12=22×31, chacun a 6 diviseurs).

On peut aussi montrer qu'il faut que ck = 1, sauf dans deux cas particuliers n=4 et n=36.

Les nombres hautement composés supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait. Les nombres hautement composés sont également décomposables en produits de primorielles.

Beaucoup de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliquées.

Si Q(x) représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à x, alors il existe deux constantes b et c, toutes les deux plus grandes que 1, nous avons

{\ln x}^b \le Q(x) \le {\ln x}^c\,\!.

La première partie de l'inégalité fut prouvée par Paul Erdős en 1944 et la seconde partie par J.-L. Nicholas en 1988.

Exemple[modifier | modifier le code]

Exemple du nombre hautement composé :  10080
10080  =  (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7
 qui n'a pas moins de 72 diviseurs.
1
×
10080
2
×
5040
3
×
3360
4
×
2520
5
×
2016
6
×
1680
7
×
1440
8
×
1260
9
×
1120
10
×
1008
12
×
840
14
×
720
15
×
672
16
×
630
18
×
560
20
×
504
21
×
480
24
×
420
28
×
360
30
×
336
32
×
312
35
×
288
36
×
280
40
×
252
42
×
240
45
×
224
48
×
210
56
×
180
60
×
168
63
×
160
70
×
144
72
×
140
80
×
126
84
×
120
90
×
112
96
×
105
Les nombres en gras sont eux-mêmes des nombres hautement composés.
Seul le vingtième nombre hautement composé 7560 (=3×2520) est absent.
10080 n'a également aucun facteur premier strictement plus grand que sept.
C'est alors un nombre 7-lisse,  cf. suite A002473 de l'OEIS.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]