Nombre hautement composé

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Un nombre hautement composé est un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent. Ces nombres ont été introduits en 1915 par Ramanujan[1].

Ils sont parfois aussi appelés « nombres ploutons » (de Ploutos, divinité de la richesse).[réf. souhaitée]

Définition[modifier | modifier le code]

Les vingt-et-un premiers nombres hautement composés sont :

nombres hautement composés
(suite A002182 de l'OEIS)
1 2 4 6 12 24 36 48 60 120 180 240 360 720 840 1260 1680 2520 5040 7560 10080
nombres de diviseurs positifs
(suite A002183 de l'OEIS)
1 2 3 4 6 8 9 10 12 16 18 20 24 30 32 36 40 48 60 64 72
décomposition en facteurs premiers 2 2
3

3

3

2⁴
3

3
5

3
5


5
2⁴
3
5


5
2⁴

5

3
5
7


5
7
2⁴
3
5
7


5
7
2⁴

5
7


5
7
2⁵

5
7

Pour donner une idée de la forme d'un nombre hautement composé, on peut dire qu'il s'agit d'un nombre possédant des facteurs premiers aussi petits que possible, sans être trop de fois les mêmes. En effet, si l'on considère la décomposition d'un entier n > 1 en facteurs premiers comme suit :

n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}

p1 = 2 < p2 = 3 < … < pk sont les k plus petits nombres premiers, et le dernier exposant ck est non nul, alors le nombre de diviseurs de n est :

(c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).

Par conséquent, pour que n soit hautement composé, il faut[1] que c1c1 ≥ … ≥ ck ; sinon, en échangeant les deux exposants fautifs on diminue n tout en conservant le même nombre de diviseurs (par exemple 18 = 21×32 peut être remplacé par 12 = 22×31, chacun a 6 diviseurs).

On peut aussi montrer[1] qu'il faut que ck = 1, sauf dans deux cas particuliers n = 4 et n =36.

Les nombres hautement composés supérieurs à 6 sont aussi des nombres abondants. Un seul coup d'œil aux trois ou quatre plus hauts diviseurs d'un nombre hautement composé particulier est nécessaire pour confirmer ce fait. Les nombres hautement composés sont également décomposables en produits de primorielles.

Beaucoup de ces nombres sont utilisés dans les systèmes traditionnels de mesure, et ont tendance à être utilisés en ingénierie, en raison de leur usage dans les calculs de fractions compliquées.

Si Q(x) représente la quantité de nombres hautement composés qui sont inférieurs ou égaux à x, Ramanujan a montré en particulier[1] que

\lim_{x\to\infty}Q(x)/\ln x=+\infty,

ce qui prouve qu'il y a une infinité de nombres hautement composés.

Plus précisément, il existe une constante b telle que

({\ln x})^{35/32}\le Q(x)\le({\ln x})^b.

La minoration de Q(x) fut prouvée par Paul Erdős en 1944[2] et la majoration par Jean-Louis Nicolas en 1971[3].

Exemple[modifier | modifier le code]

Le nombre hautement composé
10 080  =  25 × 32 ×  5  ×  7
 a 72 diviseurs.
1
×
10080
2
×
5040
3
×
3360
4
×
2520
5
×
2016
6
×
1680
7
×
1440
8
×
1260
9
×
1120
10
×
1008
12
×
840
14
×
720
15
×
672
16
×
630
18
×
560
20
×
504
21
×
480
24
×
420
28
×
360
30
×
336
32
×
312
35
×
288
36
×
280
40
×
252
42
×
240
45
×
224
48
×
210
56
×
180
60
×
168
63
×
160
70
×
144
72
×
140
80
×
126
84
×
120
90
×
112
96
×
105
Les nombres en gras sont eux-mêmes des nombres hautement composés.
Seul le vingtième nombre hautement composé 7560 (=3×2520) est absent.

Le nombre 10 080 est également « 7-lisse », c'est-à-dire que tous ses facteurs premiers sont inférieurs ou égaux à 7.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Highly composite number » (voir la liste des auteurs).

  1. a, b, c et d (en) S. Ramanujan, « Highly composite numbers », Proc. London Math. Soc. (2), vol. 14,‎ 1915, p. 347-409 (DOI 10.1112/plms/s2_14.1.347, zbMATH 45.1248.01).
  2. (en) P. Erdős, « On highly composite numbers », J. London Math. Soc., vol. 19,‎ 1944, p. 130-133 (lire en ligne).
  3. J.-L. Nicolas, « Répartition des nombres hautement composés de Ramanujan », Canad. J. Math., vol. 23, n° 1, 1971, p. 116-130.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]