Nombre p-adique

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, si $p$ est un nombre premier, un nombre $p$-adique est un objet qui peut se concevoir comme une suite de chiffres en base $p$, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule). Avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels, l'ensemble des nombres $p$-adiques forme un corps commutatif noté $\Q_p$. Un nombre 2-adique est parfois appelé « diadique » mais ne doit pas être confondu avec une fraction dyadique. Un nombre 3-adique est parfois appelé « triadique ».

Chaque corps $\Q_p$ des nombres $p$-adiques est construit par complétion du corps $\Q$ des nombres rationnels lorsque celui-ci est muni d'une valeur absolue nommée valeur absolue $p$-adique. Cette construction s'apparente à celle du corps $\R$ des nombres réels par complétion du corps des rationnels suivant la valeur absolue usuelle.

La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue p-adique sur le corps $\Q_p$ est une valeur absolue non-archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.

Construction

Approche analytique

Les nombres réels sont définis comme des classes d'équivalence des suites de Cauchy des nombres rationnels. Cependant, cette définition repose sur la métrique choisie et, en en choisissant une autre, d'autres nombres que les nombres réels peuvent être construits. La métrique utilisée pour les nombres réels est appelée métrique euclidienne.

Pour un nombre premier donné $p$, on définit la valeur absolue p-adique sur $\Q$ comme suit :

on appelle valuation p-adique d'un entier a non nul (et l'on note $v_{p}(a)$) l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers.

on peut alors construire une valuation pour tout nombre rationnel non nul en posant :

$v_p\left(\frac ab \right) = v_p(a) - v_p(b)$.

On prouve aisément que cette définition est indépendante du représentant du rationnel choisi.

La valeur absolue p-adique $|r|_p$ d'un rationnel $r$ non nul vaut $(1/p)^{v_p(r)}$.

Cette valeur absolue est dite normalisée ; on pourrait prendre $b^{v_p(r)}$ pour tout réel positif $b <1$, on obtiendrait une valeur absolue équivalente (même topologie).

L'avantage de la normalisation précédente est la "formule du produit" (immédiate) $|r|_\infty .\prod_p |r|_p = 1$ pour tout rationnel $r$ non nul, où $| .|_\infty$ est la valeur absolue usuelle sur $\Q$. Cette formule montre que les valeurs absolues sur $\Q$ (à équivalence près) ne sont pas indépendantes.

Si r est nul, on pose $|r|_p = 0$. Ce prolongement est compatible avec l'idée que 0 est divisible par $p^k$ pour toute valeur de k, donc que la valuation de 0 serait infinie.

En quelque sorte, plus $r$ est divisible par $p$, plus sa valeur absolue p-adique est petite (c'est un cas particulier de valuation discrète, un outil algébrique).

Par exemple, pour $r = {63 \over 550} = 2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$ :

$\begin{align} |r|_2 &= 2\\ |r|_3 &= \tfrac19\\ |r|_5 &= 25\\ |r|_7 &= \tfrac17\\ |r|_{11} &= 11\\ |r|_p &= 1 \end{align}$

pour tout autre nombre premier.

On démontre que cette application a toutes les propriétés d'une valeur absolue. On peut montrer que toute valeur absolue (non-triviale) sur $\Q$ est équivalente soit à la valeur absolue euclidienne, soit à une valeur absolue p-adique (théorème d'Ostrowski). Une valeur absolue p-adique définit une métrique $d_p$ sur $\Q$ en posant :

$d_p(x,y)=|x-y|_p$

Le corps $\Q_p$ des nombres p-adiques peut alors être défini comme la complétion de l'espace métrique ($\Q$, $d_p$). Ses éléments sont les classes d'équivalences des suites de Cauchy, où deux suites sont dites équivalentes si leur différence converge vers zéro. De cette façon, on obtient un espace métrique complet qui est aussi un corps et qui contient $\Q$.

Cette construction permet de comprendre pourquoi $\Q_p$ est un analogue arithmétique de $\R$.

Quelques différences entre $\Q_p$ et $\R$. Outre le fait que, par construction, $\Q_p$ et $\R$ sont des espaces métriques complets, il faut avoir noté que le monde p-adique se comporte de façon très différente du monde réel et ceci commence par le fait la distance $d_p$ est ultramétrique au sens où :

$d_p(x,z) \leqslant \max\{d_p(x,y) ; d_p(y,z)\}$

pour tous $x,y,z$ dans $\Q_p$. Ceci a pour conséquences (non exhaustives) que :

• tout triangle est isocèle,

• toute boule est centrée en n'importe lequel de ses points,

• deux boules sont soit incluses l'une dans l'autre, soit disjointes,

• dans $\Q_p$, la suite $(p^n)_{n\in\N}$ tend vers 0,

• si dans $\Q_p$ une suite $(u_n)$ converge vers un élément $x$ non nul, alors $|u_n|_p$ est constante à partir d'un certain rang,

• une suite $(u_n)$ est de Cauchy si et seulement si $\lim_{n\to+\infty} u_{n+1}-u_n = 0$,

• une série $\Sigma (a_n)$ converge si et seulement si $\lim_{n\to+\infty} a_n = 0$,

• $\Q_p$ n'est pas un corps totalement ordonnable (cf infra, Propriétés algébriques),

• $\Q_p$ est un espace totalement discontinu, c'est-à-dire que chaque singleton est sa propre composante connexe,

• etc.

Approche algébrique

Dans cette approche algébrique, on commence par définir l'anneau commutatif des entiers p-adiques, puis par construction le corps des fractions de cet anneau pour obtenir le corps des nombres p-adiques.

On définit l'anneau des entiers p-adiques $\Z_p$ comme la limite projective des anneaux $\Z/p^n\Z$. Un entier p-adique est alors une suite $(a_n)_{n\ge 1}$ telle que pour tout n ≥ 1 :

$a_n \in \Z/p^n\Z \quad \text { et } \quad a_n \equiv a_{n+1}\pmod {p^n}$ (congruence modulo $p^n$).

Par exemple, $35$ en tant que nombre 2-adique serait la suite $(1, 3, 3, 3, 3, 35, 35, 35 \ldots)$.

Explication : $35 = 1 + 2^1 + 2^5$ qu'on peut écrire aussi

$35 = 1 + (1\cdot 2^1) + (0\cdot 2^2) + (0\cdot 2^3) + (0\cdot 2^4)+ (1\cdot 2^5) + (0\cdot 2^6) + \cdots$

La suite $(a_n)$ s'obtient en faisant les sommes cumulées des $x_i 2^i$ (où $x_i\in\{0;1\}$) :

$a_1=1$,

$a_2=1+2=3$,

$a_3 = 1 + 2 + 0 =3$,

$a_4=1 + 2 + 0 + 0 = 3$,

$a_5=1 + 2 + 0 + 0 + 0 = 3$,

$a_6=1 + 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2^5= 35$, etc.

On a bien, pour tout n ≥ 1 : $0\leqslant a_n< 2^n$ et $a_n \equiv a_{n+1}\pmod{2^n}$ puisque $a_{n+1} = a_n + x_{n+1}2^{n+1}$.

L'addition et la multiplication de telles suites sont bien définies, puisqu'elles commutent avec l'opérateur modulo (voir arithmétique modulaire). De plus, toute suite $(a_n)$ dont le premier élément n'est pas nul a un inverse.

L'anneau des entiers p-adiques ne possédant pas de diviseurs de zéro, il est possible de considérer son corps des fractions pour obtenir le corps $\Q_p$ des nombres p-adiques.

On montre facilement que $\Q_p$ s'obtient en ajoutant l'élément $\tfrac1p$ à l'anneau $\Z_p$, ce qu'on note : $\Q_p = \Z_p [\tfrac{1}{p}]$. Ceci n'a pas d'équivalent pour le passage de $\Z$ à son corps des fractions $\Q$, mais par exemple l'ensemble des nombres décimaux (que l'on note $\mathbb D$ dans les classes élémentaires) est un anneau obtenu en ajoutant $\tfrac{1}{10}$ à $\Z$ ; on dit qu'on a "rendu 10 inversible" dans $\Z$ ou encore qu'on a "localisé" $\Z$ en 10.

Décomposition canonique de Hensel

Soit $p$ un nombre premier. Tout élément non nul $r$ de $\Q_p$ (et en particulier tout élément de $\Q$) s'écrit de manière unique sous la forme :

$r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i$

où $k\in\Z$ et les $a_i$ sont des nombres entiers compris entre $0$ et $p-1$, $a_k$ étant non nul. Cette écriture est la décomposition canonique de $r$ comme nombre p-adique.

Cette série est convergente suivant la métrique p-adique.

On note $\Z_p$ l'ensemble des éléments de $\Q_p$ tels que $k\ge 0$ et on l'appelle ensemble des entiers p-adiques. $\Z_p$ est un sous-anneau de $\Q_p$. On peut représenter un entier p-adique par une suite infinie vers la gauche de chiffres en base p, tandis que les autres éléments de $\Q_p$, eux, auront un nombre fini de chiffres à droite de la virgule. Cette écriture fonctionne en somme à l'inverse de ce qu'on a l'habitude de rencontrer dans l'écriture des nombres réels.

Par exemple, avec $p = 2$ :

• $1 = 1\times 2^0 = \ldots 000001_2$ (le 2 en indice indiquant qu'il s'agit du développement 2-adique de 1)
• $-1 = \sum_{n=0}^\infty 2^n = \ldots 11111111111111_2$ : on peut vérifier que, puisque $\ldots 001_2+\ldots 001_2=\ldots 0010_2$, ajouter 1 à cette écriture conduit à décaler une retenue tout le long de l'écriture, pour finalement donner 0. Une autre façon d'arriver à ce résultat est de considérer la relation $\sum_{n=0}^\infty 2^n + \sum_{n=0}^\infty 2^n = 2 \times \sum_{n=0}^\infty 2^n = \sum_{n=1}^\infty 2^n = \sum_{n=0}^\infty 2^n - 1$ donc $\sum_{n=0}^\infty 2^n=-1$ par simplification ; cet argument, évidemment, suppose que la notation $\sum_{n=0}^\infty 2^n$ ait un sens, c'est-à-dire que la série soit convergente (ce qui est le cas pour la métrique 2-adique) ; on se reportera à l'article série divergente pour l'analyse d'autres calculs de ce genre.
• $3 = \ldots 000011_2$
• ${1 \over 3} = 1 + \sum_{n=0}^\infty 2^{2n+1}= \ldots 01010101011_2$ : en multipliant ce résultat par $\ldots 000011_2$, on retrouve 1. On remarque que ${1 \over 3}$ est un entier 2-adique (i.e. ${1 \over 3}\in\Z_2$), mais on le savait déjà en regardant sa valuation : $v_2 \left( {1 \over 3}\right) = 0$.
• $\sum_{n=0}^\infty 2^{2^n}$ représente un élément de $\Q_2$ (et même de $\Z_2$) qui n'est pas dans $\Z$.
• Le polynôme $2X^2 + X + 2$ se factorise dans $\Z_2$ sous la forme $(X-a)(2X-b)$ avec $a=\ldots 0111001000100110110_2$ et $b=\ldots 0001101110110010011_2$, alors qu'il est irréductible dans $\Q$ ou $\R$. On a $2a+b=-1$ et $ab=2$.

Un autre exemple, avec $p = 7$ :

2 n'a pas de racine carrée dans $\Q$ mais en possède deux dans $\Q_7$, à savoir : $\sqrt{2} = ...16244246442640361054365536623164112011266421216213_7$ et son opposé : $-\sqrt 2 = ...50422420224026305612301130043502554655400245450454_ 7$

Comment calculer dans $\Q_p$

• L'addition est tout à fait similaire à celle de $\R$, avec le même système de retenues :

Exemple : dans $\Q_5$

$\begin{array}{cccccccc} &\ldots & 3&3 & 3 & 2 & 4 &{1_5} \\ + &\ldots &1&1&1&1&4&{2_5} \\ \hline &\ldots &4&4&4&4&3& {3_5} \end{array}$

• La multiplication se fait de façon analogue :

Exemple : dans $\Q_5$

$\begin{array}{ccccc} & & 1 & 4 &{3_5} \\ \times & & &3&{2_5} \\ \hline & &3&4& {1_5} \\ 1 &0 &3 & 4& {\cdot_5} \\ \hline 1 &1 &2 &3& {1_5} \end{array}$

• La division de deux entiers dans $\Z$.

Exemple 1 : Ecrivons ${1 \over 3}$ dans $\Q_7$. Remarquons tout d'abord que ${1\over3}\in\Z_7$ car sa valuation 7-adique est 0. Ainsi ${1 \over 3 } = \ldots a_2 a_1 a_0$ avec $0\leqslant a_i <7$.

3 est inversible modulo 7 puisque $3\times 5 = 1 \ + \ 2\times 7 \equiv 1 [7]$. Ceci permet d'ailleurs d'écrire la relation de Bézout suivante :

$1 = 3\times 5 \ -\ 7\times 2 \qquad (*)$

d'où :

${1\over 3} = 5 + 7\times \frac{-2}{3}$ et à ce stade on a : ${1 \over 3 } = \ldots a_2 a_1 5$

Continuons et multiplions $(*)$ par -2 :

$-2 = 3\times (-10) + 7\times (4)$ et arrangeons pour obtenir des coefficients entre 0 et 6 :

$-2 = 3\times (4 - 2\times 7) + 7\times (4) = 3\times 4\ +\ 7\times (4- 3\times 2)$

d'où :

$\frac{-2}{3} = 4 + 7\times \frac{-2}{3}$ et on observe une périodicité puisqu'on retombe sur $\frac{-2}{3}$.

Au bilan : ${1\over 3} = 5 + 7\times \frac{-2}{3} = 5 + 7\times \left( 4 + 7\times \left(4 + 7\times \ldots \right)\right)$ c'est-à-dire : ${1\over 3} = 5 + 4\times 7 + 4\times 7^2 + \ldots$ d'où l'écriture 7-adique :

${1\over 3} = \ldots 4445_7$

Exemple 2 : Ecrivons ${4 \over 21 }$ dans $\Q_7$. Remarquons tout d'abord que ${4 \over 21 } \notin \Z_7$ car sa valuation 7-adique est -1 : ce sera donc un nombre 7-adique "à virgule".

On écrit : ${4 \over 21 } = {1 \over 7} \times \left(4\times {1 \over 3}\right)$

Or on sait que ${1\over 3} = \ldots 4445_7$ donc en multipliant par 4 :

${4\over 3} = 4\times \ldots 4445_7 = \ldots 44446_7$

Il ne reste plus qu'à diviser par 7, mais ceci revient à décaler la virgule vers la gauche (on est en base 7) :

${4 \over 21 } = \ldots 4444,6$

Propriétés

Non-dénombrabilité

L'ensemble des entiers p-adiques n'est pas dénombrable car la décomposition de Hensel ci-dessus implique qu'il est équipotent à $\{0, 1,2,..., p-1\}^{\mathbb N}$.

Propriétés algébriques

Les nombres p-adiques contiennent les nombres rationnels et forment donc un corps de caractéristique nulle.

Un nombre positif $\gamma_0$ est rationnel si, et seulement si, son développement p-adique est périodique à partir d'un certain rang, c'est-à-dire, s'il existe 2 entiers $N \geq 0$ et $k > 0$ tel que $\forall n \geq N, a_{n+k}=a_{k}$ (La suite $a_n$ représentant le développement p-adique du nombre $\gamma_0$)

Il n'est pas possible d'en faire un corps totalement ordonné, puisque le lemme de Hensel permet de montrer que dans $\Z_2$, -7 est un carré et que pour p > 2, -(p-1) est un carré dans $\Z_p.$

Topologie

La topologie sur l'ensemble des entiers p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor ; la topologie sur l'ensemble des nombres p-adiques est celle de l'ensemble de Cantor privé d'un point (qui serait naturellement appelé infini). En particulier, l'espace des entiers p-adiques est compact, tandis que l'espace des nombres p-adiques ne l'est que localement. En tant qu'espaces métriques, les entiers et les nombres p-adiques sont complets.

Les nombres réels n'ont qu'une seule extension algébrique propre, les nombres complexes. En d'autres termes, cette extension quadratique est algébriquement close. En revanche, la clôture algébrique des nombres p-adiques est de degré infini : les corps $\Q_p$ ont une infinité d'extensions algébriques non équivalentes. De plus, la clôture algébrique d'un $\Q_p$ n'est pas complète. Sa complétion métrique est appelée $\Omega_p$ et elle est algébriquement close.

Le corps $\Omega_p$, aussi noté $\C_p$, est abstraitement isomorphe au corps $\C$ des nombres complexes et il est possible de considérer le premier comme le dernier, muni d'une métrique exotique. Cependant, l'existence d'un tel isomorphisme est une conséquence de l'axiome du choix et il n'est pas possible d'en expliciter un.

Les nombres p-adiques contiennent le n^e corps cyclotomique si et seulement si $n$ divise $p-1$. Par exemple, les 1^er, 2^e, 3^e, 4^e, 6^e et 12^e corps cyclotomiques sont des sous-corps de $\Q_{13}$.

Le nombre e (défini par la série $\sum 1/n!$) n'est élément d'aucun des corps p-adiques. Cependant, $e^p$ (défini par la série $\sum p^n/n!$) est un nombre p-adique (sauf si $p=2$, mais $e^4$ est un nombre 2-adique), aussi $e$, défini comme une racine p-ème de $e^p$, est un élément de la clôture algébrique de n'importe quel corps p-adique ; ainsi quel que soit p, $e$ appartient à $\C_p$.

Sur les nombres réels, les seules fonctions dont les dérivées sont nulles sont les fonctions constantes. Ceci n'est pas vrai sur les nombres p-adiques. Par exemple, la fonction

$f:\Q_p \longrightarrow \Q_p,\,x\longmapsto\left\{\begin{matrix} \left({1 \over |x|_p}\right)^2, & \mbox{si }x \ne \mbox{0} \\ 0, & \mbox{si }x=\mbox{0} \end{matrix}\right.$

possède une dérivée nulle en tous points, mais n'est même pas constante localement en 0.

Si on se donne les éléments $r, r_2, r_3, r_5, r_7 \ldots$ respectivement membres de $\R, \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7 \ldots$, il est possible de trouver une suite $(x_n)$ de $\Q$ telle que la limite des $x_n$ dans $\R$ soit $r$ et, pour tout $p$ premier, elle soit $r_p$ dans $\Q_p$.

Voir aussi

Articles connexes

• Développement en série de Engel
• Produit infini de Cantor
• Théorème de Mahler

Bibliographie

• (en) Fernando Gouvêa, p-adic Numbers : An Introduction [détail des éditions]
  Très clair, accessible à un étudiant de 3^e année. Construction(s) motivée(s) des nombres p-adiques, analyse élémentaire, extensions finies de $\Q_p$, analyse sur $\C_p$. Nombreux exercices corrigés.
• Ouvrage collectif, Leçons de Mathématiques d'aujourd'hui, volume 2, Cassini, 2003
  L'article concernant les nombres p-adiques est écrit par Jean-Marc Fontaine (de).
• (en) H.-D. Ebbinghaus et al., Numbers, Springer, 1991
• Nicole Berline et Claude Sabbah, La fonction zêta, Éditions de l'École polytechnique, 2003
  On y parle des nombres p-adiques, de $\C_p$, d'espaces de Banach p-adiques, de mesures et de distributions sur $\Z_p$, et bien sûr de la fonction zêta p-adique $\zeta_p$.
• Pierre Colmez, Éléments d'analyse et d'algèbre (et de théorie des nombres), Éditions de l'École polytechnique, 2009
  On y parle des nombres p-adiques, d'espaces de Banach p-adiques, de fonctions d'une variable p-adique, et de la fonction zêta p-adique $\zeta_p$.
• Paulo Ribenboim, L'arithmétique des corps, Hermann, 1972
  Dans le chapitre 4 consacrés aux nombres p-adiques, on parle aussi des corps henséliens ce qui permet de montrer que $\Q_p$ et $\Q_q$ ne sont pas isomorphes si p et q sont distincts.
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
  La première partie établit la classification des formes quadratiques sur $\Q$ : deux telles formes sont équivalentes si et seulement si elles le sont sur tous les $\Q_p$ et sur $\R$ (souvent considéré comme étant un « $\Q_\infty$ »).
• Yvette Amice, Les nombres p-adiques, Presses universitaires de France, 1975.

Une introduction élémentaire aux nombres p-adiques. Les prérequis sont la connaissance de l'arithmétique modulaire, et un peu d'analyse complexe d'une variable. L'ouvrage passe en revue les entiers et les nombres p-adiques, les corps de valuation discrète, les corps valués complet, espaces de Banach et fonctions analytiques p-adiques, et se termine avec des critères de rationalité de séries formelles. Un ouvrage accessible par une spécialiste de l'analyse p-adique.