Nombre complexe

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En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels, contenant en particulier un nombre (noté généralement i) tel que i2 = -1. Ils permettent notamment de définir des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. Les nombres complexes furent introduits au XVIe siècle par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia, et Ludovico Ferrari afin d'exprimer les solutions des équations du troisième degré en toute généralité par les formules de Cardan, en utilisant notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du quatrième degré (méthode de Ferrari).

L'ensemble des sommes et produits de nombres réels et du nombre imaginaire i (les nombres de la forme a + ib) (en électricité et en électronique, les nombres imaginaires sont identifiés par la lettre j au lieu de i, i étant en électricité et électronique l'intensité du courant. Il existe par ailleurs un nombre complexe fréquemment noté j en mathématiques qui correspond à l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est positive) satisfait les propriétés d'une structure de corps commutatif qui contient le corps des réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note ℂ. Il est muni de l'application module qui généralise la valeur absolue des nombres réels, mais ne peut pas être ordonné totalement de façon compatible avec sa structure de corps.

Ce n'est qu'à partir du XIXe siècle que se développe l'aspect géométrique des nombres complexes, vus comme des éléments ou des transformations du plan, sous l'impulsion de l'abbé Buée et de Jean-Robert Argand (plan d'Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.

En algèbre, le théorème de d'Alembert-Gauss identifie le degré d'un polynôme complexe non nul au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Le corps des nombres complexes est donc algébriquement clos.

En analyse, l'exponentielle complexe permet de simplifier l'étude des séries de Fourier, puis de définir la transformée de Fourier. La branche de l'analyse complexe concerne l'étude des fonctions dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.

En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement d'oscillateurs électriques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (Re(et) représentant une onde).

L'ensemble de Mandelbrot (en noir), illustration d'un système dynamique dans le plan complexe

Description[modifier | modifier le code]

Représentation d'un nombre complexe dans l'espace à deux dimensions [en rouge], sous forme cartésienne [en bleu] (avec deux nombres réels) et sous forme polaire [en vert] (avec une longueur et un angle).

Notations des nombres complexes[modifier | modifier le code]

Les nombres complexes, notés habituellement z, peuvent ainsi être présentés de plusieurs manières :

  • forme cartésienne :
    • algébrique : z = x + iy
    • ou vectorielle : z = (x, y)
  • forme en coordonnées polaires :
    • exponentielle : z = ρe
    • ou polaire : z = (ρ, θ) = ρθ
    • ou trigonométrique[1] : z = ρ (cosθ + i sinθ) = ρ cis(θ) (ce qui définit la notation cis)

Forme cartésienne[modifier | modifier le code]

Forme cartésienne d'un nombre complexe

Un nombre complexe z se présente en général en coordonnées cartésiennes, comme une somme a + bi, où a et b sont des nombres réels quelconques et i (l’unité imaginaire) est un nombre particulier tel que i2 = –1.

Le réel a est appelé partie réelle de z et se note Re(z) ou ℜ(z), le réel b est sa partie imaginaire et se note Im(z) ou ℑ(z).

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Un nombre complexe z est dit imaginaire pur ou totalement imaginaire si sa partie réelle est nulle, dans ce cas il s'écrit sous la forme z = bi et géométriquement il correspond à un point de l'axe des imaginaires (axe des ordonnées). À l'autre extrême, un nombre complexe dont la partie imaginaire vaut 0 est assimilé à un nombre réel, et géométriquement il correspond à un point de l'axe des réels (axe des abscisses).

Le nombre réel 0 est le seul qui soit à la fois réel et imaginaire pur. Bien sûr la plupart des nombres complexes ne sont ni réels ni imaginaires purs (et correspondent géométriquement à un point du plan en-dehors des axes).

L'addition et la multiplication sur les nombres complexes ont les mêmes propriétés d'associativité, de commutativité et de distributivité que sur les nombres réels. Les règles de calcul s'écrivent donc :

  • (a+b{\rm i})+(c + d{\rm i})=(a+c)+(b+d){\rm i}~;
  • (a+b{\rm i})(c+d{\rm i})=(ac-bd)+(ad+bc){\rm i}.

En particulier, cette formule permet d'obtenir l'égalité suivante : (a + b{\rm i})(a - b{\rm i}) = a^2 + b^2.

Puisque la somme a2 + b2 de deux carrés de nombres réels est un nombre réel strictement positif (sauf si a = b = 0), il existe un inverse à tout nombre complexe non nul avec l'égalité :

\frac1{a+b{\rm i}}=\frac{a-b{\rm i}}{a^2+b^2}.

Cette fraction fait apparaître deux expressions importantes pour le nombre complexe a + bi :

  • son conjugué \overline{a+b{\rm i}}=a-b{\rm i} est aussi un nombre complexe ;
  • son module \left|a+b{\rm i}\right|=\sqrt{a^2 + b^2} est un nombre réel positif.

L'application de conjugaison est un automorphisme involutif : (\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}) , (\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \bar{z'}) et (\bar{\bar{z}} = z).

L'application module est une valeur absolue car elle est strictement positive en dehors de 0, sous-additive \left(|z + z'| \le |z|+|z'|\right) et multiplicative \left(|z z'| = |z|\times |z'|\right).

Les réels sont les seuls nombres complexes qui sont égaux à leur conjugué. Les réels positifs sont les seuls complexes égaux à leur module.

Le nombre 0 est le seul nombre complexe dont le module vaut 0.

Forme polaire[modifier | modifier le code]

Plan complexe[modifier | modifier le code]
Représentation géométrique d'un nombre complexe

Dans un plan complexe \mathcal P muni d'un repère orthonormé (O; \vec{u}, \vec{v}), l'image d'un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b), son image vectorielle est le vecteur \overrightarrow{OM}. Le nombre z est appelé affixe du point M ou du vecteur \overrightarrow{OM} (affixe est féminin : une affixe).

Le module |z| est alors la longueur du segment [OM].

Si z est différent de 0, son image est distincte de l'origine O du repère. On appelle alors argument de z et on note \mathrm{arg}(z)\, n'importe quelle mesure θ en radians de l'angle \left(\vec{u},\overrightarrow{OM}\right), bien définie à un multiple de près.

Par exemple, les réels strictement positifs ont un argument multiple de , les réels strictement négatifs ont pour argument un multiple impair de π.

Les imaginaires purs non nuls ont un argument congru à π/2 ou –π/2 modulo , selon le signe de leur partie imaginaire.

Le plan \mathcal P, muni de son repère orthonormé et des actions des nombres complexes par addition et multiplication, est appelé plan complexe. Puisque tous les plans complexes sont canoniquement isomorphes, on parle du plan complexe sans préciser davantage.

Coordonnées polaires[modifier | modifier le code]

Le module et l'argument d'un nombre complexe correspondent aux coordonnées polaires (r, θ) de son image dans le plan complexe. En écrivant les coordonnées cartésiennes à partir des coordonnées polaires, tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique z = r (cos(θ) + i sin(θ)) avec r réel tel que r > 0.

La formule d'Euler e = cos(θ) + i sin(θ) permet de compacter cette écriture sous une forme exponentielle z = r e.

Le conjugué s'écrit alors simplement \bar{z} = r{\rm e}^{-{\rm i}\theta} = r(\cos(-\theta) +{\rm i}\sin(-\theta)).

Cette écriture est en outre adaptée au calcul du produit de deux nombres complexes du fait des propriétés multiplicatives de la fonction exponentielle :

  • \left(r{\rm e}^{{\rm i}\theta}\right)\left(r'{\rm e}^{{\rm i}\theta'}\right) = (r r'){\rm e}^{{\rm i}(\theta + \theta')},
  • \left(r{\rm e}^{{\rm i}\theta}\right)^{-1} = \frac1r{\rm e}^{-{\rm i}\theta} = \frac1r\cos(-\theta) +{\rm i}\frac1r\sin(-\theta).

Pour calculer l'argument en fonction des coordonnées cartésiennes, si la formule cartésienne est sous la forme a + bi, il suffit d'utiliser les fonctions arccos ou arcsin : θ = arccos(a/r) ou θ = arcsin(b/r).

Interprétation géométrique des opérations[modifier | modifier le code]

Soit z et z' deux nombres complexes d'images respectives M et M'.

  • L'image M'' de la somme z+z' est définie par la relation \overrightarrow{OM''}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OM'}.

L'action d'un nombre complexe par addition s'interprète géométriquement comme une translation selon le vecteur image.

  • Soit \lambda un nombre réel, l'image M_1 du produit \lambda z\, est défini par la relation \overrightarrow{OM_1}=\lambda \overrightarrow{OM}.

L'action du nombre réel \lambda par multiplication scalaire s'interprète géométriquement comme une homothétie de centre O et de rapport \lambda sur le plan complexe.

  • Si z est de module 1 et d'argument θ, l'image M''\, du produit zz'\, est définie par les relations de longueurs OM''=OM'\, et d'angles \left(\overrightarrow{OM'},\overrightarrow{OM''}\right) = \theta.

L'action d'un nombre complexe de module 1 par multiplication s'interprète géométriquement comme une rotation de centre l'origine et d'angle l'argument.

  • Par composition d'une homothétie et d'une rotation, l'action d'un nombre complexe z non nul par multiplication s'interprète géométriquement comme une similitude directe de centre l'origine, de rapport |z| et d'angle \mathrm{arg}(z)\,.
  • L'image du conjugué \bar z de z est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.
  • L'image de l'inverse \frac1z de z est l'image de M par l'inversion par rapport au cercle unité, composée avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

Construction[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs manières courantes de construire le corps des nombres complexes à partir de l'ensemble des nombres réels et de ses opérations arithmétiques élémentaires. Outre que les objets ainsi définis sont tous isomorphes, les constructions présentées ci-après mettent en lumière trois caractéristiques importantes :

  1. Le corps des réels est clairement identifié comme un sous-ensemble du corps des complexes et les opérations d'addition et de multiplication sont préservées dans la nouvelle structure. Le nombre réel 1 reste neutre pour la multiplication.
  2. Il existe un nombre complexe i canoniquement choisi dont le carré vaut –1 (son opposé vérifie aussi cette propriété, et le choix fait dans chacune des constructions présentées est donc en fait arbitraire, mais cela n'a pas d'importance en pratique).
  3. Deux paramètres réels sont nécessaires et suffisants pour décrire tous les nombres complexes, ce qui souligne la structure d'espace vectoriel réel de dimension 2 avec une base canonique.

Couples de réels[modifier | modifier le code]

On peut définir un nombre complexe comme un couple (a, b) de nombre réels. Sur l'ensemble ℝ2 des couples de réels on définit une addition et une multiplication.

Cette construction est essentiellement la « théorie des couples algébriques » due au mathématicien William Rowan Hamilton qui l'ayant conçu vers 1826, l'expose devant l'Académie Royale d'Irlande en 1833, et la publie en 1835. Carl Friedrich Gauss arrive à des résultats voisins en 1831 qu'il publie en 1837. Hamilton se préoccupait de justifier l'« existence » des nombres complexes. Ce qui est présenté ci-dessous comme de simples définitions, justifiées implicitement par les règles de calcul sur les nombres complexes mais indépendantes d'une existence préalable de ceux-ci, est le fruit d'une longue analyse chez Hamilton[2].

L'addition est celle des composantes terme à terme :

(a, b) + (c, d) = \left(a + c, b + d\right).

La multiplication est définie par :

(a, b)\times (c, d) = \left(ac - bd, ad + bc\right).

On vérifie alors que ℝ2 muni de ses deux lois, avec (0, 0) comme neutre additif et (1, 0) comme neutre multiplicatif est un corps, en particulier l'inverse d'un élément (a, b) ≠ (0, 0) est ( a/(a2 + b2), – b/(a2 + b2)), et que (0, 1)×(0, 1) = (–1, 0).

L'ensemble des réels s'identifie alors à la droite ℝ×{0} et l'élément i est le couple (0, 1).

L'ensemble ℝ2 peut être muni de sa structure canonique de plan vectoriel euclidien. Un nombre complexe est alors un vecteur du plan ℝ2. La somme complexe est la somme vectorielle. La base canonique est constituée de deux vecteurs correspondant pour le premier (1, 0) au nombre complexe 1 et pour le second au nombre complexe i.

On peut introduire enfin le module d'un nombre complexe qui correspond à la norme euclidienne du vecteur associé et l'argument qui est une mesure de l'angle formé par le vecteur associé avec le premier vecteur de base.

Cette définition présente l'avantage de la simplicité, puisqu'elle exige peu de prérequis mathématiques. Elle est en outre adaptée à la représentation géométrique des nombres complexes.

Matrice de similitude[modifier | modifier le code]

Il est intéressant de définir un nombre complexe non nul comme une matrice de similitude directe 
\left(
  \begin{matrix}
    a  & -b \\
    b & a \\
   \end{matrix}
\right)
à coefficients réels, car les opérations matricielles induisent précisément la structure algébrique voulue. En outre, le module et l'argument deviennent respectivement le rapport et une mesure de l'angle de la similitude.

Il faut cependant vérifier que l'ensemble de ces matrices, complété par la matrice nulle, est stable par produit :

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-d\\d&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ac-bd&-ad-bc\\ad+bc&ac-bd\end{pmatrix},

ce qui justifie au passage la commutativité du produit et assure l'isomorphisme entre cette structure et celle définie précédemment.

L'ensemble des réels s'identifie alors à l'ensemble des matrices diagonales de la forme


\left(
  \begin{matrix}
    a & 0 \\
    0 & a \\
   \end{matrix}
\right)
,

l'unité étant représentée par la matrice identité. L'élément \scriptstyle i désigne classiquement la matrice \left(  \begin{matrix}
    0  & -1 \\
    1 & 0 \\
   \end{matrix}\right). Le déterminant correspond au carré du module, ce qui entraîne que tous les éléments non nuls sont inversibles et la méthode des cofacteurs démontre la stabilité par inverse.

Ce point de vue fournit une construction naturelle qui peut être adaptée pour obtenir l'algèbre réelle des quaternions. Il donne en outre une interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes comme composition de similitudes du plan. La conjugaison est enfin représentée par la transposition des matrices.

Classe d'équivalence de polynômes[modifier | modifier le code]

Un nombre complexe peut enfin être vu comme un polynôme réel d'indéterminée i, où le carré i2 est identifié avec le polynôme constant de valeur –1, donc avec les identifications i3 = –i, i4 = 1…

Formellement, cela revient à assimiler l'ensemble des nombres complexes à l'anneau quotient ℝ[X]/(X2 + 1), dans lequel deux polynômes appartiennent à la même classe d'équivalence si et seulement s'ils ont le même reste de division euclidienne par X2 + 1.

Le caractère irréductible du polynôme X2 + 1 assure directement la structure de corps. Les réels sont représentés par les polynômes constants et le degré 2 du polynôme diviseur est la dimension de l'ensemble comme espace vectoriel réel.

Cette conception très sophistiquée en apparence est peut-être celle qui décrit le mieux l'invention des nombres complexes, loin de la géométrie, à partir d'un seul générateur algébrique et d'une seule relation. Le formalisme (plus récent) du quotient d'un anneau euclidien (ici l'anneau des polynômes réels à une indéterminée) par un de ses idéaux premiers est à la base de la construction des extensions algébriques de corps.

Structure du corps des complexes[modifier | modifier le code]

Les racines carrées d'un nombre complexe s'écrivent facilement lorsque celui-ci est sous forme trigonométrique : celles de z = r {\rm e}^{{\rm i}\theta} sont z_1 = \sqrt{r}{\rm e}^{{\rm i}\frac{\theta}2} et z_2 = \sqrt{r} e^{i\left(\frac{\theta}2+\pi\right)} et sont opposées l'une de l'autre.

L'existence de deux racines carrées, dans le corps des nombres complexes, pour tout nombre complexe non nul (y compris pour tout réel strictement négatif) est une propriété qui n'est pas vérifiée par restriction au corps des réels, puisqu'aucun réel strictement négatif ne peut s'obtenir comme le carré d'un nombre réel.

Article détaillé : Racine d'un nombre complexe.

Plus généralement, tout polynôme à coefficients complexes (donc, en particulier, tout polynôme à coefficients entiers ou rationnels), non constant, admet au moins une racine (ce qui implique qu’il en admet autant que son degré, en les comptant avec leurs multiplicités). On dit que le corps des complexes est algébriquement clos. Ce résultat est connu (en particulier en France) sous le nom de théorème de d'Alembert-Gauss, mais plus souvent sous le nom de théorème fondamental de l'algèbre.

En fait, le corps des complexes est la clôture algébrique du corps des réels, c'est-à-dire le plus petit corps qui contienne le corps des réels et qui soit algébriquement clos. Du point de vue de la théorie de Galois, on peut considérer les automorphismes du corps des complexes : l'identité et la conjugaison sont ses seuls automorphismes continus (on peut remplacer l'hypothèse « continu » par, au choix, « mesurable » ou « tel que l'image de tout réel est un réel »). En supposant l'axiome du choix on peut construire des automorphismes « exotiques » de ce corps : voir Automorphismes de corps non continus de ℂ.

Développements en mathématiques[modifier | modifier le code]

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Analyse complexe.

Les nombres complexes ont initialement été conçus pour répondre à un problème algébrique. Cependant, étendre les définitions de l'analyse au champ des nombres complexes s'avère tout aussi fécond. Par exemple la définition usuelle de la dérivée : \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} (avec usage de la multiplication et de la soustraction complexes) permet d'obtenir une nouvelle notion de fonction dérivable, de variable complexe à valeurs complexes appelée fonction holomorphe. Cette notion s'avère plus restrictive que son pendant réel, notamment, toute fonction holomorphe voit sa dérivée être holomorphe, et même, toute fonction holomorphe est analytique, c'est-à-dire admet un développement en série entière en chacun des points de son domaine d'holomorphie.

En théorie de l'intégration, en utilisant la notion d'intégrale le long d'un chemin, on obtient le théorème intégral de Cauchy, qui assure que l'intégrale d'une fonction holomorphe, sur un domaine vérifiant certaines propriétés topologiques, le long d'un chemin fermé, est nulle. Cette propriété cruciale permet d'obtenir la notion de primitive d'une fonction holomorphe, toujours sur un domaine adapté. Certaines de ces conditions topologiques peuvent être abandonnées, grâce à la notion de point singulier, aboutissant au théorème des résidus.

Dynamique holomorphe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Dynamique holomorphe.

La dynamique holomorphe à une variable consiste en l'étude du comportement des itérés d'une fonction holomorphe f définie sur une surface de Riemann. On distingue deux types de points sur ces surfaces : ceux où la famille des itérés est normale, en ces points la dynamique est assez simple (bassins d'attractions de cycles de points périodiques), dont l'ensemble est appelé ensemble de Fatou de f, puis ceux où le comportement est chaotique et dont l'ensemble est appelé ensemble de Julia de f.

Les propriétés de ces itérés sont particulièrement bien connues dans le cadre de la sphère de Riemann : classification complète des composantes connexes de l'ensemble de Fatou selon les propriétés de f, propriétés de l'ensemble de Julia, étude des familles paramétrées (en) de polynômes…

On étudie aussi la dynamique holomorphe à plusieurs variables, par exemple dans les espaces projectifs complexes où apparaissent de nouvelles difficultés par rapport à une variable telles que la présence d'ensembles de points où f n'est pas définie.

Équations différentielles dans le champ complexe[modifier | modifier le code]

L'étude des équations différentielles holomorphes a les mêmes résultats de base que celle des équations sur des fonctions de variable réelle, et notamment le théorème de Cauchy-Lipschitz, qui donne l'existence et l'unicité d'une solution à un problème de Cauchy ; ou les résultats d'algèbre linéaire sur les espaces de solutions des équations différentielles linéaires.

Cependant, l'étude des équations aux points singuliers est nettement plus féconde que les simples études de raccord du cas réel : la topologie du plan complexe au voisinage d'un point singulier fait qu'il y a une infinité de manières de l'approcher, et l'étude des raccords des solutions obtenues avec toutes les méthodes d'approche amène à la notion de monodromie. Cette notion est ensuite utilisée dans un cadre plus général : la théorie de Galois différentielle.

Analyse de Fourier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Analyse harmonique.

Nombres hypercomplexes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre hypercomplexe.

Les nombres hypercomplexes sont une extension de l'ensemble des nombres complexes, de dimension n.

En topologie[modifier | modifier le code]

  • En identifiant l'espace vectoriel ℝ2n avec l'espace vectoriel ℂn, la multiplication par i définit une application sans point fixe sur les sphères de dimension impaire.
  • L'adjonction d'un « point à l'infini » au plan complexe définit la sphère de Riemann homéomorphe à la sphère usuelle S2, qui peut être vue comme le premier espace projectif complexe.

La projection de la sphère S3, vue comme sphère unité de l'espace ℂ2, sur la sphère de Riemann par quotient de l'action du cercle unité S1 constitue alors la fibration de Hopf.

  • Les espaces projectifs complexes de dimension paire engendrent rationnellement l'anneau de cobordisme orienté[3].

Emplois en physique et ingénierie[modifier | modifier le code]

Représentation des phénomènes périodiques et analyse de Fourier[modifier | modifier le code]

La forme trigonométrique a permis de simplifier la modélisation et l’écriture de nombreux phénomènes, par exemple les phénomènes ondulatoires notamment à propos des ondes électromagnétiques, ou en électronique et plus précisément dans le domaine de l'analyse électronique des circuits contenant des auto-inductances (selfs ou bobines) notées L, des capacités notées C et des résistances notées R (exemples : R + jLw ou R – j/Cw). Dans le domaine de l'électronique, le nombre i représentant l'imaginaire en mathématiques, se note j (pour ne pas risquer de confusion avec les intensités de courant). On peut tracer alors le diagramme de Fresnel, et ce quelle que soit l'expression.

En fait, on se sert du fait que ℂ contient ℝ pour simplifier les écritures. En effet, si l’on doit écrire qu’un paramètre vaut r cos(θ), il faut deux réels, r et θ. Mais avec des complexes, il suffit d’un seul nombre, ce qui est bien plus simple.

Électromagnétisme[modifier | modifier le code]

En électromagnétisme toujours, mais dans un contexte différent, on peut écrire le champ électromagnétique comme une combinaison complexe du champ électrique et du champ magnétique. Pur artifice de calcul, on peut associer l’un ou l’autre de ces champs à la partie « imaginaire » du champ complexe obtenu : cela simplifie grandement les opérations.

Formule d'Euler
\mathrm e^{\mathrm i\varphi}=\cos(\varphi)+\mathrm i\sin(\varphi)

Un autre exemple en électromagnétisme est le courant alternatif : puisque le voltage d'un tel circuit oscille, il peut être représenté comme un nombre complexe via la formule d'Euler :

 V = V_0 e^{i \omega t} = V_0 \left (\cos \omega t + i \sin\omega t \right ),

Afin d'obtenir une quantité mesurable, on prend la partie réelle[4] :

 \mathrm{Re}(V) = \mathrm{Re}\left [ V_0 e^{i \omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.

Analyse de Fourier[modifier | modifier le code]

On utilise également les complexes pour l’analyse de Fourier, très utilisée dans de nombreux domaines, comme le traitement du signal. L'idée sous-jacente à l'introduction des séries de Fourier est de pouvoir obtenir une fonction admettant T pour période, par exemple continue, comme somme de fonctions sinusoïdales :

f(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n (f)e^{i 2\pi\frac{n}{T} x}

avec les coefficients cn(f), appelés coefficients de Fourier de f, définis par la formule :

c_n(f) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{-i 2\pi\frac{n}{T}t}\mathrm dt.

Mécanique des fluides dans le plan[modifier | modifier le code]

En mécanique des fluides (hydro/aérodynamique), on fait apparaître des potentiels et des vitesses complexes. En effet, pour un écoulement à deux dimensions, on peut décomposer la vitesse du fluide en Vx et Vy. Or, on montre que :

V_x = \frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}
V_y = \frac{\partial\phi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x}

Satisfaire à ces conditions (conditions de Cauchy-Riemann) équivaut à dire qu’il existe une fonction analytique telle que

f(z) = \phi +{\rm i}\psiz=x+{\rm i}y

Ceci permet encore d’écrire :

\frac{{\rm d}f}{{\rm d}z}=\frac{\partial\phi}{\partial x} +{\rm i}\frac{\partial\psi}{\partial x} = V_x -{\rm i}V_y

On appelle f(z) le potentiel complexe, et sa dérivée par rapport à z, la vitesse complexe. Grâce à cette fonction, on obtient directement le module de la vitesse, et sa direction (en prenant la forme trigonométrique). Surtout, on peut modéliser simplement un écoulement autour d’un obstacle, d’une manière simple et compacte. La fonction ψ doit être constante le long du profil de cet obstacle, ce qui permet une résolution simple de f, grâce à des résultats simples d’analyse complexe.

Mécanique quantique[modifier | modifier le code]

Autre simplification pour physiciens : la mécanique quantique nécessite les nombres complexes. Les fonctions d’ondes quantiques sont ainsi toutes complexes (voir Postulats de la mécanique quantique). Dans ce cas, toutefois, il est possible (selon des théories non quantiques) que cela corresponde à la structure réelle de l’univers : non plus à 4 dimensions (espace-temps), mais de 5 et plus — dans certaines théories jusqu’à 11 — aux échelles quantiques (petites). Malgré notre perception (adaptée aux échelles plus grandes), la dimension imaginaire pourrait donc fort bien correspondre aussi à une « réalité physique » et non pas représenter seulement une commodité d’écriture.

Si tant est d’ailleurs qu’on ait lieu d’établir une différence, car on remarque que les notations efficaces pour engendrer des objets le sont tout autant pour les décrire avec précision ensuite (voir Fractale, Complexité de Kolmogorov, Compression, Entropie de Shannon et même Notation neumatique en musique).[réf. nécessaire]

Historique[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Histoire des nombres complexes.

La première apparition d'une racine carrée de nombre négatif conçue comme une quantité impossible mais manipulable se trouve dans l’œuvre de Cardan en 1545. Mais c'est Raphaël Bombelli qui étudie ces quantités sophistiquées de manière rigoureuse en 1572 dans son Algebra, ce qui en fait selon Flament le créateur indiscutable des nombres complexes[5]. C'est également Bombelli qui les utilise pour la résolution de l'équation de degré 3.

Les nombres complexes interviennent dans l’œuvre d'Albert Girard quand il tente de démontrer que toute équation de degré n possède n racines vers 1629. Ils sont appelés sophistiqués, impossibles ou inexplicables jusqu'à René Descartes qui les qualifie de quantités imaginaires en 1637. Ce qualificatif va leur rester jusqu'en 1831 où Gauss les appelle pour la première fois complexes.

Pour de nombreux mathématiciens du XVIIe siècle, écrire des quantités imaginaires, c'est s'autoriser l'utilisation des racines carrées de nombres négatifs, mais peu à peu se dégage une écriture normalisée sous la forme a + b-1. Les mathématiciens tentent d'appliquer à ces nouvelles quantités les fonctions qu'ils connaissaient pour les quantités réelles en utilisant un principe de permanence[6]. Somme, produit, quotient ne posent pas de problème, mais la racine n-ième se révèle une fonction non univoque. Abraham de Moivre démontre en 1738 l'égalité :

 (\cos(\theta)+ \mathrm i \sin(\theta))^{1/n}= \cos\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}n\right)+\mathrm i\sin\left(\frac{\theta}{n} + \frac{2k\pi}n\right).

L'exponentielle ne pose pas de problème. Ainsi, dès 1748, Euler écrit sa formule

\cos \theta + \mathrm i\sin \theta = e ^{\mathrm i\theta }.

Mais la fonction logarithme complexe résiste longtemps à Jean Bernoulli et Gottfried Wilhelm Leibniz ; c'est Leonhard Euler qui les départage en 1749, en démontrant qu'elle prend une infinité de valeurs en un complexe donné[7].

C'est à Euler également que l'on doit la notation i pour -1 en 1777. Mais c'est surtout Carl Friedrich Gauss qui en popularise l'usage. Le qualificatif d'« unité imaginaire » lui a été attribué par Gauss qui la qualifie ensuite d'« unité latérale », tandis que Jean-Robert Argand lui préfère le terme d'« unité moyenne »[8] et William Rowan Hamilton celui d'« unité secondaire ».

L'association entre complexes et vecteurs ou points du plan est l’œuvre de nombreux mathématiciens dont Caspar Wessel, Argand et Gauss à la fin du XVIIIe siècle et dans la première moitié du XIXe siècle. L'interprétation d'un complexe comme couple de réels muni d'une multiplication spéciale est l’œuvre d'Hamilton en 1833. L'interprétation d'un complexe comme reste modulo X2 + 1 d'un polynôme à coefficient réel est l’œuvre d'Augustin Louis Cauchy en 1847. C'est également à Cauchy que l'on doit le développement de la théorie des fonctions de la variable complexe[9].

L'utilisation en physique apparait dès le début du XIXe siècle dans l’œuvre d'Augustin Fresnel (1823) dans son mémoire sur les lois de réflexion. En électricité, Arthur Edwin Kennelly, dès 1893, montre comment on peut facilement généraliser la loi d'Ohm au courant alternatif grâce aux complexes[10].


Introduction du vocabulaire et des notations
Terme ou notation Signification Auteur Date
℞. m. 15 Un nombre impossible dont le carré vaudrait -15[11] Cardan 1545
« Imaginaire » Toute quantité contenant la racine carrée d'un nombre négatif Descartes 1637
i -1 Euler 1777
Module Le module du complexe a + ib est \scriptstyle \sqrt{a^2+b^2} Argand 1806
 \scriptstyle |z| Module de z (ou valeur absolue de z) Karl Weierstrass
Conjugué Le conjugué de a + ib est a – ib Cauchy 1821
Nombre complexe a + ib Gauss 1831
Imaginaire pur ib Gauss 1831
« Norme » Carré du module Gauss 1831
Argument du complexe z Angle entre le vecteur associé à 1 et celui associé à z Cauchy 1838
Affixe L'affixe du point A de coordonnées (a;b) est le complexe a + ib Cauchy 1847

Les complexes dans les œuvres de fiction[modifier | modifier le code]

  • Dans le livre "Les Désarrois de l'élève Törless" par Robert Musil et dans le film réalisé par Volker Schlöndorff (1966), Törless exprime devant le conseil de discipline de l'école sa difficulté à saisir le concept.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Alan Sultan et Alice F. Artzt, The mathematics that every secondary school math teacher needs to know, Studies in Mathematical Thinking and Learning, Taylor & Francis, 2010, p. 326
  2. Flament 2003, chap. IV section 3, en particulier p. 386 et p. 413
  3. (en) J. W. Milnor et J. D. Stasheff (en), Characteristic classes, Annals of Math. Studies 76, Priceton University Press (1974)
  4. Voir des exemples dans : Electromagnetism (2e édition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
  5. Flament 2003, p. 24
  6. Principe consistant à généraliser aux complexes les propriétés connues sur l'ensemble des réels (Study et Cartan 1908, p. 334)
  7. Communication d'Euler à l'académie des sciences de Berlin (en français, document PDF)
  8. Flament 2003, p. 177
  9. DahanPeiffer, p. 233
  10. Friedelmeyer 1998, p. 312.
  11. Cette quantité sera par la suite notée -15

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Jean-Pierre Friedelmeyer, « Le point de vue vectoriel, son application à la physique », dans Images, Imaginaires, Imaginations - Une perspective historique pour l'introduction de nombres complexes,‎ 1998
  • E. Study et É. Cartan, « Les nombres complexes », dans Ency. Sci. Math., vol. 1, t. 1,‎ 1908 (lire en ligne)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]