Nombre intouchable

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Un nombre intouchable est un entier naturel qui ne peut pas être exprimé comme la somme de tous les diviseurs propres d'un entier donné.

Liste de nombres intouchables[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres intouchables sont (voir suite A005114 de l'OEIS ) :

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, 516, 518, 520, 530, 540, 552, 556, 562, 576, 584, 612, 624, 626, 628, 658, etc.

Propriétés des nombres intouchables[modifier | modifier le code]

On suppose que « 5 » est le seul nombre intouchable impair, mais cette conjecture n'a pas été démontrée.

Aucun nombre parfait n'est intouchable, puisqu'ils peuvent être exprimés comme la somme de leurs propres diviseurs.

Paul Erdős a prouvé qu'il existe une infinité de nombres intouchables[1].

Nombres intouchables premiers[modifier | modifier le code]

Les deux premiers nombres intouchables : « 2 » et « 5 », sont des nombres premiers.

Si la conjecture selon laquelle le seul nombre intouchable impair est « 5 » est vraie, alors il n'y a pas d'autres nombres premiers intouchables que « 2 » et « 5 », puisque tous les nombres premiers, à part « 2 », sont impairs.

Exemple de nombre non intouchable[modifier | modifier le code]

« 9 » n'est pas un nombre intouchable, car « 15 » a pour diviseurs propres : 5, 3 et 1 ; or 9 = 1 + 3 + 5.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Untouchable number » (voir la liste des auteurs)

  1. (en)planetmath.org « Untouchable number », PlanetMath

Lien externe[modifier | modifier le code]

suite A005114 de l'OEIS