Droite réelle achevée

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En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble constitué des nombres réels auxquels sont adjoint deux éléments notés $+ \infty$ et $- \infty$, qui ne sont pas des nombres. Elle est notée $\overline{\mathbb{R}}$ (la barre symbolise ici l'adhérence), [−∞, +∞] ou $\mathbb{R}$ ∪ {−∞, +∞}.

Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration, car il est compact.

Propriétés

Opérations

L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée.

Addition

• Pour tout réel x,
  • x + ($+ \infty$) = ($+ \infty$)
  • x + ($- \infty$) = ($- \infty$)
  • ($+ \infty$) + ($+ \infty$) = ($+ \infty$)
  • ($- \infty$) + ($- \infty$) = ($- \infty$)

Multiplication

• Pour tout réel strictement positif x (x > 0),
  • $x \times (+ \infty) = (+ \infty)$,
  • $x \times (- \infty) = (- \infty)$.

• Pour tout réel strictement négatif x (x < 0),
  • $x \times (+ \infty) = (- \infty)$,
  • $x \times (- \infty) = (+ \infty)$.

• Par ailleurs,
  • $(+ \infty) \times (+ \infty) = (+ \infty)$,
  • $(+ \infty) \times (- \infty) = (- \infty)$,
  • $(- \infty) \times (- \infty) = (+ \infty)$.

Opérations indéterminées

($+ \infty$) + ($- \infty$) n'est pas défini.

La division par zéro reste impossible, ne serait-ce que parce que comme tout réel non-nul divisé par +∞ ou -∞ donne 0, on ne peut pas choisir si un nombre divisé par 0 donne +∞ ou -∞. De même, les expressions $0 \times (+ \infty)$ et $0 \times (- \infty)$ n'ont aucun sens.

Dès lors, la droite réelle achevée ne constitue pas un groupe pour l'addition (celle-ci n'étant pas partout définie), et donc n'est pas non plus un anneau ou un corps.

Relation d'ordre

On munit usuellement $\overline{\R}$ d'une relation d'ordre, notée $\le$, qui étend la relation d'ordre usuelle sur $\R$.

Cette relation est telle que $- \infty$ est le plus petit élément de $\overline{\R}$ et $+ \infty$ le plus grand élément.

Ainsi, si $(a, b) \in \R^2$, avec $a \le b$ au sens de la relation d'ordre usuelle sur $\R$, on a:

$-\infty \le a \le b \le +\infty$

Comme celle sur $\R$, la relation d'ordre usuelle sur $\overline{\R}$ est totale.

L'une des particularités de la droite réelle achevée est que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide ∅ ($+ \infty$ est sa borne inférieure et $- \infty$ sa borne supérieure).

Métriques et topologie

On munit usuellement $\overline{\R}$ d'une topologie qui étend la topologie usuelle sur $\R$.

Cette topologie peut être définie à partir des voisinages des points de $\overline{\R}$:

• Les voisinages de $-\infty$ sont les surensembles des intervalles $[-\infty, a[$, avec a réel.
• Pour tout réel a, les voisinages de a sont les surensembles des intervalles $]a-\epsilon, a+\epsilon[$, avec $\epsilon$ réel strictement positif. Ces voisinages sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur $\R$, augmentés éventuellement de $-\infty$ et/ou de $+\infty$.
• Les voisinages de $+\infty$ sont les surensembles des intervalles $]a, +\infty]$, avec a réel.

Cette topologie sur $\overline{\R}$ induit sur $\R$ une topologie identique à sa topologie usuelle.

Cette topologie est métrisable, mais aucune distance ne s'impose naturellement plus qu'une autre; en particulier, aucune distance n'existe sur $\overline{\R}$ qui soit compatible avec sa topologie usuelle et qui soit une extension de la distance usuelle sur $\R$.

Parmi les distance compatibles avec la topologie usuelle de $\overline{\R}$, on peut citer:

• d'(x,y) = | arctan y − arctan x | , en comptant $\arctan \pm \infty = \pm \pi/2$
• d'(x,y) = | tanh y − tanh x | , en comptant $\tanh \pm \infty = \pm 1$

Pour cette topologie, $\overline{\R}$ est homéomorphe à un intervalle fermé [a,b] de $\R$, et est en particulier compact.

Voir aussi

• Compactifié d'Alexandroff