Nombre puissant

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En mathématiques, un nombre puissant est un entier m > 0 tel que pour chaque nombre premier p divisant m, p2 divise aussi m ou, ce qui est équivalent, m est le produit d'un carré par un cube. Ces nombres ont été étudiés entre autres par Erdős, Szekeres (en) et Golomb.

Les 26 premiers termes de cette suite d'entiers (suite A001694 de l'OEIS) sont :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256.

Équivalence des deux définitions[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre premier p, notons kp l'exposant (éventuellement nul) de p dans la décomposition en facteurs premiers de m. La première définition équivaut à :

aucun kp n'est égal à 1

et la seconde à :

tous les kp sont de la forme 2up + 3vp avec up et vp entiers naturels.

La seconde implique donc clairement la première. La réciproque se vérifie facilement en prenant vp égal à 0 ou 1, selon la parité de kp.

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Powerful Number », MathWorld