Nombre parfait multiple

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En mathématiques, un nombre parfait multiple (aussi appelé nombre multiparfait ou nombre plus-que-parfait) est une généralisation d'un nombre parfait.

Pour un nombre naturel donné k, un nombre n est appelé k-parfait ssi la somme de tous les diviseurs positifs de n (la fonction diviseur, \sigma(n)\,) est égale à kn; ainsi, un nombre est parfait ssi il est 2-parfait. Un nombre qui est k-parfait pour un certain k est appelé un nombre parfait multiple. Les nombres k-parfaits sont connus pour chaque valeur de k jusqu'à 11 (juillet 2004).

Il peut être démontré que :

  • Pour un nombre premier donné p, si n est p-parfait et p ne divise pas n, alors pn est (p + 1)-parfait. Ceci implique que si un entier n est un nombre 3-parfait divisible par 2 mais pas par 4, alors n/2 est un nombre parfait impair, pour lequel aucun n'est connu.
  • Si 3n est 4k-parfait et 3 ne divise pas n, alors n est 3k-parfait.

Plus petits nombres k-parfaits[modifier | modifier le code]

La table suivante donne une vue d'ensemble des plus petit nombres k-parfaits pour k \le 7\, (voir la suite A007539 de l'OEIS) :

k Plus petit nombre k-parfait Découvert par
1 1 anciens
2 6 anciens
3 120 anciens
4 30 240 René Descartes, environ 1638
5 14 182 439 040 René Descartes, environ 1638
6 154 345 556 085 770 649 600 Robert Daniel Carmichael, 1907
7 141 310 897 947 438 348 259 849 402 738 485 523 264 343 544 818 565 120 000 TE Mason, 1911

Liens externes[modifier | modifier le code]


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