Divisibilité

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La notion de divisibilité fonde l'arithmétique.

Cet article traite de la divisibilité dans l'ensemble des nombres entiers ($\mathbb{Z}$).

Définition

Soient a et b deux entiers.

On dit que a divise b (ou a est un diviseur de b, ou b est un multiple de a), et on note a | b, lorsque :

$\exists k \in \mathbb{Z}, b = k a.$

Propriétés de la divisibilité

Soient a, b et c trois entiers.

• a | a (réflexivité)
• -a | a
• a | 0
• 1 | a
• $a|b \land b|c \Rightarrow a|c$ (transitivité)
• $a|b \Rightarrow ac|bc$
• $\forall (u,v)\in\mathbb{Z}^2, a|b \land a|c \Rightarrow a|(bu+cv)$ (conservation par combinaison linéaire)
• a | bc et a est premier avec b, alors a | c (lemme de Gauss permettant de prouver l'unicité de la factorisation)
• $a|b \land b|a \Rightarrow |a|=|b|$ (cette relation est donc antisymétrique si on se limite à l'ensemble des entiers naturels)

Relation d'ordre

La divisibilité est une relation d'ordre partielle sur $\mathbb{N}$ mais pas sur $\mathbb{Z}$.

Propriétés de cette relation d'ordre :

• 0 est le maximum de $\mathbb{N}$.
• 1 est le minimum de $\mathbb{N}$
• Un nombre premier est minimal dans $\mathbb{N}\smallsetminus\{1\}$
• Le $pgcd(a,b)$ est la borne inférieure de l'ensemble $\{a,b\}$
• Le $ppcm(a,b)$ est la borne supérieure de l'ensemble $\{a,b\}$

$\mathbb{N}$ muni de la divisibilité, du pgcd et du ppcm est un treillis.

Voir aussi

• Critères de divisibilité
• Nombres premiers
• Plus grand commun diviseur
• Division euclidienne
• Congruence sur les entiers