Nombre dual

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En mathématiques et en algèbre abstraite, les nombres duaux sont une algèbre associative unitaire commutative à deux dimensions sur les nombres réels, apparaissant à partir des réels par adjonction d'un nouvel élément \varepsilon\, avec la propriété

\varepsilon^2 = 0\, (\varepsilon\, est un élément nilpotent).

Définition[modifier | modifier le code]

Chaque nombre dual est de la forme z = a + b~\varepsilon\, avec a et b uniquement déterminé par des nombres réels. Le plan de tous les nombres duaux est un « plan complexe alternatif » qui complète le plan des nombres complexes ordinaire \mathbb{C} et le plan des nombres complexes déployés. Le « cercle unité » des nombres duaux consiste aux cas a = 1 ou −1 puisque ceux-ci satisfont z~z^* = 1\,z^* = a - b~\varepsilon\,.

Néanmoins, exp(b~\varepsilon) = 1 + b~\varepsilon\,, donc la fonction exponentielle appliquée sur l'axe des \varepsilon\, couvre seulement à moitié le "cercle".

Cette construction peut être étendue plus généralement : pour un anneau commutatif R, on peut définir les nombres duaux sur R comme le quotient de l'anneau des polynômes \mathbb{R}[X]\, par l'idéal (X^2)\, : l'image de X alors possède des carrés égaux à zéro et correspond à l'élément \epsilon\, comme ci-dessus. L'anneau et ses généralisations joue un rôle important dans la théorie algébrique des dérivations et des différentielles de Kähler (formes différentielles purement algébriques).

Sur un anneau R quelconque, le nombre dual a + b~\varepsilon\, est une unité (i.e. inversible multiplicativement) si et seulement si a est une unité dans R. Dans ce cas, l'inverse de a + b~\varepsilon\, est a^{-1} + ba^{-2}\varepsilon\,. Comme conséquence, nous voyons que les nombres duaux sur un corps commutatif quelconque (ou anneau local commutatif quelconque) forment un anneau local.

Représentation matricielle[modifier | modifier le code]

Comme dans le cas des nombres complexes (usuels), on peut facilement représenter les nombres complexes déployés par les matrices. Le nombre complexe déployé z = a + b~\varepsilon\, peut être représenté par la matrice.{\displaystyle \quad a + b\varepsilon = \begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} }Comme pour les nombres complexes, l'unité réelle 1 =\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}  et l'unité complexe \varepsilon=\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0 \end{pmatrix}

L'addition et la multiplication des nombres complexes déployés sont alors donnés par l'addition et la multiplication matricielle. La norme de z est donnée par le déterminant de la matrice correspondante. La conjugaison correspond à la multiplication des deux côtés par la matrice

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

En termes d'algèbre générale, les nombres duaux peuvent être décrits comme le quotient de l'anneau polynomial {\textstyle \mathbb{R}[x]\ } par l'idéal engendré par le polynôme formel {\textstyle X^2 }:

{\displaystyle \mathbb{R}[x]/(x^2)\ }

L'image de x dans l'ensemble-quotient est l'unité imaginaire \varepsilon\,. Avec cette description, il est clair que les nombres duaux déployés forment un anneau commutatif de caractéristique 0. De plus, les nombres duaux forment une algèbre associative et commutative sur les nombres réels de dimension deux. L'algèbre n'est pas un corps puisque les éléments de la forme 0 + bε ne sont pas inversibles. En fait, tous les éléments de cette forme sont des diviseurs de zéro.

Différentiation[modifier | modifier le code]

Une application des nombres duaux est la dérivation algorithmique. Considérons les nombres duaux ci-dessus. Étant donné un polynôme réel quelconque P(x)=p_0+p_{1}x+p_{2}x^2+\ldots+p_{n}x^{n}\,, on peut étendre directement le domaine de ce polynôme des réels vers les nombres duaux. Ainsi, nous avons ce résultat : P(a+b\varepsilon) = P(a)+bP'(a)\varepsilon\,, où P'\, est la dérivée de P. En calculant sur les nombres duaux, plutôt que sur les réels, nous pouvons utiliser ceci pour calculer les dérivées des polynômes. Plus généralement, nous pouvons définir la division sur les nombres duaux et ainsi, avoir accès à la définition des fonctions transcendantes des nombres duaux, en définissant

f(a+b\varepsilon)=f(a)+bf'(a)\varepsilon\,.

En calculant les compositions de ces fonctions sur les nombres duaux et en examinant les coefficients de \varepsilon\, dans le résultat, nous voyons que nous avons automatiquement calculé la dérivée de la composition.

Applications en physiques[modifier | modifier le code]

Les nombres duaux trouvent des applications en physique, où ils constituent un des plus simples exemples non-triviaux d'un superespace. La direction le long d'\varepsilon\, s'appelle la direction "fermionique", et le composant réel est appelé la direction "bosonique". La direction fermionique a gagné son nom à partir du fait que les fermions obéissent au principe d'exclusion de Pauli : avec un échange de coordonnées, la fonction d'onde de mécanique quantique change de signe, et ainsi disparaît si deux coordonnées sont mises ensembles; cette idée physique est contenue dans la relation algébrique \varepsilon^2 = 0\,.

Voir aussi[modifier | modifier le code]