Construction des entiers naturels

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Il existe plusieurs méthodes classiques de construction des entiers naturels mais celle des entiers de von Neumann est souvent regardée comme la plus simple.

Méthode de von Neumann[modifier | modifier le code]

Partant de la théorie des ensembles, on identifie 0 à l'ensemble vide, puis on construit un entier naturel comme l'ensemble des entiers naturels qui le précèdent. Plus précisément, les entiers naturels sont construits à partir des règles suivantes :

  1. L'ensemble vide \varnothing est un entier naturel noté 0.
  2. Si n est un entier naturel, l'ensemble n U {n} est aussi un entier naturel, appelé le successeur immédiat de n.
  3. Tout entier naturel est construit à partir des règles 1 et 2.

Par exemple, le successeur immédiat de 0 est : 0 U {0} = {0} = 1

Celui de 1 : 1 U {1} = {0} U {1} = {0,1} = 2

Celui de 2 : 2 U {2} = {0,1} U {2} = {0,1,2} = 3

L'axiome de l'infini est nécessaire pour assurer l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels. L'intersection de tous les ensembles de ce type (contenant 0 et clos pour l'opération successeur) est alors l'ensemble des entiers naturels. On peut vérifier que ce dernier satisfait les axiomes de Peano.

Dès lors, on peut définir l’addition de deux entiers +, leur multiplication ⋅, et la puissance, par récurrence, en posant pour tout naturels n et k :

\begin{array}{rl}
n + 0 = n ;& n + (k+1) = (n+k)+1 ;\\
n \cdot 0 = 0 ;& n \cdot (k+1) = (n \cdot k) + n ;\\
n^{0} = 1 ;& n^{k+1} = n^k \cdot n
\end{array}

Les propriétés usuelles de ces trois lois se démontrent ensuite toutes par récurrence, en utilisant les propriétés du rang 1. On établit ainsi dans l’ordre l’associativité de +, la commutativité de +, la distributivité à gauche de ⋅ sur +, la neutralité à gauche et à droite de 1 pour ⋅, la distributivité à droite de ⋅ sur +, la commutativité de ⋅, la transformation de la somme en produit puis finalement la transformation du produit en puissance par l’exponentiation.

Voir aussi[modifier | modifier le code]