Construction des entiers naturels
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Il existe plusieurs méthodes classiques de construction des entiers naturels mais celle des entiers de von Neumann est souvent regardée comme la plus simple.
[modifier] Méthode de von Neumann
Partant de la théorie des ensembles, on identifie 0 à l'ensemble vide, puis on construit un entier naturel comme l'ensemble des entiers naturels qui le précèdent. Plus précisément, les entiers naturels sont construits à partir des règles suivantes :
- L'ensemble vide
est un entier naturel noté 0. - Si n est un entier naturel, l'ensemble n U {n} est aussi un entier naturel, appelé le successeur immédiat de n.
- Tout entier naturel est construit à partir des règles 1 et 2.
Par exemple, le successeur immédiat de 0 est : 0 U {0} = {0} = 1
Celui de 1: 1 U {1} = {0} U {1} = {0,1} = 2
Celui de 2: 2 U {2} = {0,1} U {2} = {0,1,2} = 3
L'axiome de l'infini est nécessaire pour assurer l'existence d'un ensemble contenant tous les entiers naturels. L'intersection de tous les ensembles de ce type (contenant 0 et clos pour l'opération successeur) est alors l'ensemble des entiers naturels. On peut vérifier que ce dernier satisfait les axiomes de Peano.
