Nombre surréel

Représentation d'une partie de l'arbre des nombres surréels.

En mathématiques, les nombres surréels sont les éléments d'une classe incluant celle des réels et celle des nombres ordinaux transfinis, et sur laquelle a été définie une structure de corps ; ceci signifie en particulier que l'on définit des inverses des nombres ordinaux transfinis ; les ordinaux et leurs inverses sont respectivement plus grands et plus petits que n'importe quel nombre réel positif. Les surréels ne forment pas un ensemble.

Les nombres surréels ont été introduits par John Conway et popularisés par Donald Knuth en 1974 dans son livre Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness (Les nombres surréels : comment deux ex-étudiants se mirent aux mathématiques pures et trouvèrent le bonheur total).

Les nombres pseudo-réels, également introduits par Knuth, sont une sur-classe des nombres surréels, construits avec des conditions plus faibles que ces derniers.

Nombres surréels

Présentation

La construction des nombres surréels est similaire à la construction des nombres réels via les coupures de Dedekind, mais utilise le concept de récurrence transfinie. Elle repose sur la construction de nouveaux nombres représentés grâce à deux ensembles de nombres déjà construits, $L$ et $R$ (pour left et right, gauche et droite), éventuellement vides. Le nouveau nombre ainsi construit, noté $\left \{ L | R \right \}$, sera plus grand que tout nombre de $L$ et plus petit que tout nombre de $R$, selon un ordre qui sera défini plus loin. Pour que cela soit possible, on impose une restriction sur $L$ et $R$ : il faut que chaque nombre de $L$ soit plus petit que chaque nombre de $R$.

Définition

Soient $L$ et $R$ deux ensembles de nombres surréels tels que :

• pour tout $x \in L$ et tout $y \in R$, $x < y$

Alors, $\left \{ L | R \right \}$ est un nombre surréel.

Étant donné un nombre surréel $X = \left \{ X_L | X_R \right \}$, on appelle $X_L$ et $X_R$ l'ensemble de gauche et l'ensemble de droite de $X$, respectivement.

Pour éviter l'inflation d'accolades, on abrégera $\left\{ \left\{X_{L_1}, X_{L_2}, \cdots \right\} | \left\{ X_{R_1},X_{R_2}, \cdots \right\} \right\}$ en $\left\{ X_{L_1},X_{L_2},\cdots | X_{R_1},X_{R_2},\cdots \right\}$, $\left\{ \left\{ X_L \right\} | \emptyset \right\}$ en $\left\{ X_L | \right\}$ et $\left\{ \emptyset | \left\{ X_R \right\} \right\}$ en $\left\{ | X_R \right\}$.

On constate qu'il s'agit d'une définition récurrente ; ce point sera explicité plus tard.

Ordre

Pour que la définition ci-dessus ait un sens, il est nécessaire de définir une relation binaire (notée ≤) sur les nombres surréels.

Soient deux nombres surréels $X = \left \{ X_L | X_R \right \}$ et $Y = \left \{ Y_L | Y_R \right \}$. $X\le Y$ si et seulement si pour tout $x\in X_L$, on ne rencontre jamais $Y\le x$ et si pour tout $y\in Y_R$, on n'a jamais $y\le X$.

Là encore, cette définition est récurrente.

Cette relation ne définit qu'un pré-ordre car elle n'est pas antisymétrique (on peut avoir $X\le Y$ et $Y\le X$ sans que $X = Y$, c'est le cas par exemple avec $\left\{ | \right\}$ et $\left\{ -1|1 \right\}$). Pour contourner ce problème, on définit une nouvelle relation sur les nombres surréels :

$X == Y \Leftrightarrow X \le Y \wedge Y \le X$.

Il s'agit d'une relation d'équivalence et l'ordre induit par $\le$ sur les classes d'équivalences est un ordre total, une classe d'équivalence pouvant alors être considérée comme un nombre unique.

Opérations

• On définit l'addition de deux nombres surréels par :

$X+Y = \left\{ X_L+Y \cup X+Y_L | X_R+Y \cup X+Y_R \right\}$

avec $A+Y = \left\{ a+Y / a\in A \right\}$ et $X+B = \left\{ X+b / b\in B \right\}$.

• La négation :

$-X = \left\{ -X_R | -X_L \right\}$

avec $-A = \left\{ -a / a\in A \right\}$.

• Quant à la multiplication de deux nombres surréels :

$\begin{matrix} XY = & \left\{ (X_LY+XY_L-X_LY_L) \cup (X_RY+XY_R-X_RY_R) \right. \\ \ & | \left. (X_LY+XY_R-X_LY_R) \cup (X_RY+XY_L-X_RY_L) \right\} \end{matrix}$

avec $AB = \left\{ ab / a\in A \wedge b\in B \right\}$.

Il est possible de montrer que ces opérations sont bien définies sur les nombres surréels. On peut les généraliser sans ambiguïté aux classes d'équivalence définies plus haut par :

• Si $[X]=[X']$ et $[Y]=[Y']$, alors $[X+Y]=[X'+Y']$,
• $[-X]=[-X']$ et
• $[XY]=[X'Y']$.

Finalement, on peut montrer que ces opérations sur les classes d'équivalence définissent un corps ordonné, à ceci près qu'elles ne forment pas un ensemble, mais une classe propre. Il est possible de montrer qu'il s'agit du plus grand corps ordonné, c'est-à-dire que tout corps ordonné peut y être plongé (en respectant sa structure) ; en particulier, ce corps est réel clos.

À partir de maintenant, on ne fera plus la distinction entre un nombre surréel et sa classe d'équivalence et on appellera directement cette dernière nombre surréel.

Construction

On l'a vu, les deux définitions précédentes utilisent le principe de récurrence. Il est possible d'utiliser la récurrence ordinaire, mais il est plus intéressant de prendre en compte la récurrence transfinie.

Il peut sembler également nécessaire de créer un nombre surréel afin d'initier la récurrence ; $\left\{ | \right\}$ peut être défini grâce à l'ensemble vide et répond à cette fonction.

Désignons par $N_n$, pour un ordinal $n$, l'ensemble des nombres surréels créés à l'étape $n$ de la récurrence, en prenant $N_0=\left\{ | \right\}$. On appelle date de naissance d'un nombre surréel $X$ le plus petit ordinal $n$ tel que $X \in N_n$.

Les nombres surréels créés en un nombre fini d'étapes (par un raisonnement de récurrence ordinaire, donc) sont assimilés aux rationnels dyadiques (c'est-à-dire les nombres $p/2^n$ où p et n sont entiers).

Exemples

On définit de proche en proche :

• Les entiers :

$0 = \left\{ | \right\}$

$1 = \left\{ 0 | \right\}$ et $-1 = \left\{ | 0 \right\}$

$2 = 1+1 = \left\{ \left\{0,1\right\} | \right\}=\left\{ 1 | \right\}$ et $-2 = \left\{ | -1 \right\}$

$\cdots$

$n+1 = \left\{ \left\{0,1,\cdots,n\right\} | \right\} = \left\{ n | \right\}$.

• Les nombres dyadiques :

${1 \over 2} = \left\{ 0 | 1 \right\}$

${3 \over 2} = \left\{ 1 | 2 \right\}$

${1 \over 4} = \left\{ 0 | {1 \over 2 } \right\}$

$\cdots$

• Les autres nombres rationnels, comme coupures entre deux ensembles de nombres dyadiques, de la même façon que les nombres irrationnels sont définis comme coupures entre rationnels.

• Des infiniments grands, comme les ordinaux :

$\omega = \left\{ \left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \right\} = \left\{ \mathbb N | \right\}$ qui est plus grand que n'importe quel nombre entier

$\omega + 1 = \left\{ \omega | \right\}$

$\omega^2 = \left\{ \left\{\omega, 2\omega, 3\omega, \cdots \right\} | \right\}$

$\omega^\omega = \left\{ \left\{\omega, \omega^2, \omega^3, \cdots \right\} | \right\}$

et aussi de nouveaux objets infiniments grands qui ne sont pas des ordinaux, comme

$\omega - 1 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \omega \right\}$

$\omega - 2 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \omega-1 \right\}$

$\omega/2 = \left\{\left\{0,1,2,3,\cdots\right\} | \left\{\omega,\omega-1,\omega-2,\cdots \right\}\right\}$

(Attention : les opérations définies plus haut sur les surréels ne sont pas les opérations usuelles sur les ordinaux ; ainsi, la multiplication ordinale n'est pas commutative, contrairement à celle des surréels).

• Des infiniments petits :

$\epsilon = \left\{ 0 | \left\{1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, \cdots \right\} \right\}$ qui est strictement positif mais inférieur à tout $1 \over n$, pour $n$ entier positif.

On peut montrer que $\epsilon \times \omega = 1$.

• Mais aussi des objets plus inattendus, comme $\omega^{1/\omega}$, qui est infiniment grand, mais beaucoup plus petit que tous les $\omega/n$, par exemple.

Nombres pseudo-réels

Article détaillé : Nombre pseudo-réel.

On obtient les nombres pseudo-réels (pseudo-real numbers selon la terminologie de Knuth) au lieu des nombres surréels si on enlève la condition qu'aucun élément de l'ensemble de droite ne peut être inférieur où égal à un élément quelconque de l'ensemble de gauche. Les nombres surréels forment un sous-ensemble des nombres pseudo-réels.

Ces nombres pseudo-réels peuvent s'interpréter comme les valeurs de certains jeux. Ils sont à la base de la théorie des jeux combinatoires initiée par John Conway.

Voir aussi

• Nombre
• Nombre ordinal
• Nombre hyperréel
• Nombre dyadique

Liens externes

• (fr) Les nombres surréels - traduction en français du livre de Donald Knuth (fichier PDF)
• (fr) Surréalisme mathématique Revue Pour la Science N°372 - octobre 2008.

Bibliographie

• (en) Donald Ervin Knuth, Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness : A Mathematical Novelette, Addison-Wesley Professional (1974) - ISBN 0-201-03812-9
• (en) John Horton Conway, On Numbers and Games, deuxième édition, AK Peters (2001) - ISBN 1-56881-127-6.