Nombre harmonique

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En mathématiques, le n-ième nombre harmonique est la somme des inverses des n premiers entiers naturels :

H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.

Ce nombre rationnel est aussi égal à n fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la n-ième somme partielle de la série harmonique.

Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.

Table des premiers nombres harmoniques[modifier | modifier le code]

Valeur de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Valeur de Hn 1 \frac32 \frac{11}{6} \frac{25}{12} \frac{137}{60} \frac{49}{20} \frac{363}{140} \frac{761}{280} \frac{7129}{2520} \frac{7381}{2520} \frac{83711}{27720} \frac{86021}{27720} ...
Valeur approchée de Hn 1 1,5 1,8 2,1 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 ...

Un entier naturel est appelé « nombre harmonique premier » si c'est un nombre premier numérateur d'un nombre harmonique. Les plus petites occurrences de ce type sont 3, 11, 137, 761, 7 129etc. Voir les suites A067657 et A056903 de l'OEIS pour respectivement, davantage d'exemples et les valeurs de n correspondantes.

Cette suite d'entiers est croissante, mais à croissance lente.

Comportement asymptotique[modifier | modifier le code]

Les nombres harmoniques H_n en rouge et leur limite asymptotique \gamma+\ln(x) en bleu.

Lorsque n tend vers l'infini, la série harmonique diverge, elle tend vers +∞. On a le développement asymptotique suivant :

H_n=\ln n +\gamma+\frac1{2n}+O\left(\frac1{n^2}\right),

\gamma est la constante d'Euler-Mascheroni.

Généralisation[modifier | modifier le code]

Les nombres harmoniques d'ordre n de m, sont donnés, au sens le plus large, par :

H^{(m)}_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^m}.

D'autres notations existent :

H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n).

À la limite n\rightarrow \infty\,, si m > 1, les nombres harmoniques convergent car les séries de Riemann sont alors convergentes, et leur limite est la fonction zêta de Riemann. Ainsi :

\lim_{n\rightarrow \infty} H_{n,m} = \zeta(m).

Propriétés[modifier | modifier le code]

La somme reliée \sum_{k=1}^n k^m\, apparaît dans l'étude des nombres de Bernoulli.

On a aussi la propriété suivante :

 H_n =\frac 1 {n!}\left[\begin{matrix} n+1\\ 2 \end{matrix}\right],

\left[\begin{matrix} n+1\\ 2 \end{matrix}\right] est un nombre de Stirling de première espèce.

Exemples d'utilisation[modifier | modifier le code]

Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.