Nombre univers

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Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et à venir. Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.

« Être un nombre univers » est une propriété plus faible que « être un nombre normal » : tout nombre normal est aussi un nombre univers, mais la réciproque est fausse : dans un nombre normal, chaque séquence apparaît une infinité de fois selon une statistique équirépartie ; dans un nombre univers, on ne garantit que l'apparition de chaque séquence, et aucune propriété statistique sur leurs fréquences relatives. Par exemple, définissons le nombre 0,10200300000040000000000000000000000005… : ses décimales sont 1, puis 1! fois 0, puis 2, puis 2! fois 0, et ainsi de suite. Ce nombre est un exemple de nombre univers non normal : par construction, chaque entier naturel y est inclus à condition d'aller assez loin (c'est donc un nombre univers), mais la construction introduit un biais dans la répartition des séquences, la fréquence des zéros en particulier étant bien trop grande pour que le nombre soit normal.

En 2015, on pense que la plupart des constantes irrationnelles « naturelles », comme π et √2, sont des nombres univers, et même des nombres normaux [1], mais on ne sait le prouver pour aucune.

Autres exemples[modifier | modifier le code]

  • Le nombre réel 0.12481632641282565121024... formé par la suite {2n, n ∈ ℕ} des puissances de 2 est un nombre univers en base 10. [3]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Are the digits of Pi random ?
  2. D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
  3. Dans son livre « Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations », David Gale donne une démonstration, et il cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica, qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand vous lui donnez la séquence recherchée.
  4. Résultat démontré par Arthur Herbert Copeland et Paul Erdős en 1946, voir Note on Normal Numbers, Bulletin of the American Mathematical Society n°52, pp. 857-860 (lire en ligne (en)) ; cet article démontre que ce résultat est vrai pour toute suite d'entiers suffisamment dense.

Articles liés[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]