Tessarine

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En mathématiques, les tessarines sont des nombres hypercomplexes introduits par James Cockle en 1848. La notion inclut à la fois les nombres complexes ordinaires et les nombres complexes déployés. Une tessarine t peut être décrite comme une matrice 2 x 2 symétrique :

t=\begin{pmatrix} w & z \\ z & w\end{pmatrix},

w et z peuvent être des quaternions quelconques.

Si w et z sont des nombres complexes, on obtient les nombres bicomplexes. Les nombres bicomplexes forment une algèbre associative et commutative unifère sur les nombres réels (c'est une sous-algèbre commutative de M_2(\mathbb{R})).

Si w et z sont des nombres réels, on obtient les nombres complexes déployés (ou fendus). Les nombres complexes déployés forment une algèbre associative et commutative unifère sur les nombres complexes (c'est une sous-algèbre commutative de M_2(\mathbb{C})).

Isomorphismes avec les autres systèmes de nombres[modifier | modifier le code]

Nombres complexes[modifier | modifier le code]

Lorsque z = 0, alors t correspond à un nombre complexe ordinaire, qui est w lui-même.

Nombres complexes déployés[modifier | modifier le code]

Lorsque w et z sont tous deux des nombres réels, alors t correspond à un nombre complexe déployé, w + j z. La tessarine particulière

j = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

possède la propriété suivante : Son produit matriciel au carré est la matrice identité. Cette propriété a conduit Cockle à appeler la tessarine j un "nouvel imaginaire en algèbre". L'importance de l'anneau commutatif de toutes les tessarines semble avoir eu moins d'importance que cette tessarine particulière ainsi que le plan qu'elle crée au-delà de la ligne réelle.

Quaternions coniques, nombres bicomplexes[modifier | modifier le code]

Lorsque w et z sont à la fois des nombres complexes

w =~a + ib\,

z =~c + id\,

(a, b, c, d réels) alors l'algèbre t est isomorphe aux quaternions coniques a + bi + c \varepsilon + d i_0\,, de base \{ 1,~i,~\varepsilon ,~i_0 \}\,, avec les identités suivantes :

1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i =\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad \varepsilon =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad i_0 =\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix}

Ils sont aussi isomorphes aux nombres bicomplexes (à partir des nombres multicomplexes) de base \{ 1,~i_1, i_2, j \} si une identité :

1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad i_1 =\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i\end{pmatrix} \qquad i_2 =\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{pmatrix} \qquad j =\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}

À noter que j dans les nombres bicomplexes est identifié avec le signe opposé de j à partir de ci-dessus.

Propriétés algébriques[modifier | modifier le code]

Les tessarines, lorsque w et z sont des nombres complexes, forment un anneau commutatif (différent des quaternions qui ne constituent pas un anneau commutatif). Ils permettent aussi les puissances, les racines et les logarithmes de j = \varepsilon\,, qui est une racine non réelle de 1. Ils ne constituent pas un corps à cause des éléments idempotents

\begin{pmatrix} z & \pm z \\ \pm z & z \end{pmatrix} = z (1 \pm j) = z (1 \pm \varepsilon)\,

qui ont leur déterminant / module égal à 0 et par conséquent ne peuvent pas être inversés multiplicativement. De plus, l'arithmétique contient des diviseurs de zéro

\begin{pmatrix} z & z \\  z & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z & -z \\  -z & z \end{pmatrix}
= z^2 (1 + j )(1 - j)
= z^2 (1 + \varepsilon )(1 - \varepsilon) = 0.

Les quaternions forment un anneau sans diviseur de zéro, et peuvent aussi être représentés par des matrices de forme 2 x 2.

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bicomplex number » (voir la liste des auteurs)
  • James Cockle dans le London-Dublin-Edinburgh Philosophical Magazine, series 3
    • 1848 On Certain Functions Resembling Quaternions and on a New Imaginary in Algebra, 33:435-9.
    • 1849 On a New Imaginary in Algebra 34:37-47.
    • 1849 On the Symbols of Algebra and on the Theory of Tessarines 34:406-10.
    • 1850 On Impossible Équations, on Impossible Quantities and on Tessarines 37:281-3.
    • 1850 On the True Amplitude of a Tessarine 38:290-2.