Élément neutre

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En mathématiques, plus précisément en algèbre, un élément neutre (ou élément identité) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu'il est composé avec eux par cette loi. Un ensemble possédant un élément neutre est dit unifère.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne ∗. Un élément e de E est dit :

  • neutre à gauche si \forall x \in E,\ e\star x = x,
  • neutre à droite si \forall x \in E,\ x\star e = x,
  • neutre s'il est neutre à droite et à gauche.

Exemples[modifier | modifier le code]

Un élément neutre est relatif à la loi considérée :

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Il est possible que l'élément neutre à gauche (resp. à droite) ne soit pas unique. Par exemple, considérons un ensemble E contenant au moins deux éléments. On peut définir une loi G sur E par la formule G(x, y) = x et une loi D par la formule D(x, y) = y. Pour la loi G, tout élément est neutre à droite et aucun n'est neutre à gauche. Pour la loi D, tout élément est neutre à gauche et aucun n'est neutre à droite.
  • En revanche, s'il existe un élément neutre à gauche et un élément neutre à droite, alors l'ensemble admet un unique élément neutre et en outre, tout élément neutre à gauche (resp. à droite) lui est égal. En effet, pour tous éléments eg neutre à gauche et ed neutre à droite, on a : ed = eged = eg.
    Dans cette situation — en particulier lorsque G est un groupe[1],[2],[3] — l'unique élément neutre de G est couramment appelé le neutre de G.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], Partie III : Groupes, Exemples 6.2.
  2. Jean-Pierre Marco et Laurent Lazzarini, Mathématiques L1, p. 119.
  3. Jean-Marie Monier, Méthodes et Exercices de Mathématiques MPSI, p. 213.

Voir aussi[modifier | modifier le code]