Nombre de Liouville

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :

pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers qn > 1 et pn tels que 0 < |x – pn/qn| < 1/qnn.

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra, en s'appuyant sur la théorie des fractions continues, que tous les nombres vérifiant cette propriété sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

Irrationalité des nombres de Liouville[modifier | modifier le code]

Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville alors, pour tout réel μ, il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ : tous les (pn, qn) pour n ≥ μ (ils forment bien un ensemble infini puisque la suite des |x – pn/qn| est à valeurs non nulles et converge vers 0).

Or un critère élémentaire d'irrationalité assure que pour tout réel x, s'il existe un réel μ > 1 et une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ, alors x est irrationnel.

Cela s'applique aux nombres de Liouville, qui sont donc irrationnels.

Constante de Liouville[modifier | modifier le code]

La constante de Liouville, mentionnée par Liouville pour illustrer son théorème, a été le premier exemple explicite de nombre réel transcendant. Il s'agit du réel


\sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0,110001000000000000000001000...~.

C'est un nombre de Liouville. Plus généralement, pour tout entier b > 1 et toute suite (ak)k>0 d'entiers compris entre 0 et b – 1, le réel


x=\sum_{k=1}^\infty\frac{a_k}{b^{k!}}

est un nombre de Liouville.

L'ensemble des nombres de Liouville a donc la puissance du continu.

Mesure d'irrationalité d'un réel[modifier | modifier le code]

La mesure d'irrationalité d'un réel x — ou « sa constante de Liouville-Roth »[1] — mesure la manière d'approcher x par des rationnels.

Définition — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne supérieure[2] de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ.

Les nombres de Liouville sont donc les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie.

La mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1 (c'est ce qui nous a permis de montrer l'irrationalité des nombres de Liouville) et celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2[1] (cf. § « Approximation par les rationnels » de l'article « Nombre irrationnel »).

On trouve dans les ouvrages de légères variantes : certains auteurs[1] prennent (ce qui revient au même) la borne inférieure de l'ensemble des μ pour lesquels il existe n'existe au contraire qu'un nombre fini de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/qμ. Certains[3],[4],[5],[6] parlent des mesures d'irrationalité : ce sont tous les nombres supérieurs ou égaux à la mesure d'irrationalité définie ici. Enfin, certains[2],[3],[4] ne la définissent que si x est un nombre irrationnel, ce qui leur évite de mentionner la minoration stricte de |x – p/q| par 0. Outre ces nuances, on trouve une définition différente[4],[5],[6] mais équivalente[réf. souhaitée] :

Définition équivalente — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne inférieure de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une constante A > 0 telle que, pour tout rationnel p/qx avec q > 0, on ait : |x – p/q| ≥ A/qμ.

Transcendance des nombres de Liouville[modifier | modifier le code]

La transcendance des nombres de Liouville est un corollaire immédiat (cf. ci-dessous) du théorème suivant, démontré dans l'article détaillé.

Théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne[7] — Si α est un nombre réel algébrique de degré d > 1, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous entiers q > 0 et p, on ait : |αp/q| ≥ A/qd.

La mesure d'irrationalité d'un tel α est donc inférieure ou égale à d (le théorème de Roth montre qu'elle est en fait égale à 2). Les nombres de Liouville étant de mesure d'irrationalité infinie, ils sont par conséquent transcendants.

Certains réels (en fait presque tous) sont transcendants sans être de Liouville. Par exemple[1], la mesure d'irrationalité de e est égale à 2 et celle de π est inférieure[8] à 7,61.

Théorème d'Erdős[modifier | modifier le code]

Paul Erdős a démontré[9] que tout nombre réel non nul peut s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville. A posteriori, cela s'explique par une propriété générale des Gδ denses et le fait que l'ensemble L des nombres de Liouville en est un[10] puisque

L=\cap_{n\in\N^*}U_n\quad{\rm avec}\quad U_n=\bigcup_{p,q\in\Z,q\ge 2}\left]\frac pq-\frac1{q^n},\frac pq+\frac1{q^n}\right[\setminus\left\{\frac pq\right\}\text{ ouvert dense}

et que ℝ est un espace de Baire.

Négligeabilité[modifier | modifier le code]

L'ensemble des nombres de Liouville, en dépit de leur « abondance » du point de vue de la cardinalité et de la topologie, est négligeable et même :

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville number » (voir la liste des auteurs)

  1. a, b, c et d (en) Steven R. Finch, Mathematical Constants, CUP,‎ 2003 (ISBN 978-0-521-81805-6, lire en ligne), p. 171-172.
  2. a et b (en) R. Avanzi et F. Sica, « Scalar Multiplication on Koblitz Curves Using Double Bases », dans Phong Q. Nguyen, Progress in Cryptology: VIETCRYPT 2006, Springer, coll. « Lecture Notes in Computer Science » (no 4341),‎ 2006 (ISBN 978-3-540-68799-3, lire en ligne), p. 134.
  3. a et b (en) Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer,‎ 2000 (ISBN 978-0-38798911-2, lire en ligne), p. 298.
  4. a, b et c (en) Daniel Duverney, Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems, World Scientific, coll. « Monographs in Number Theory » (no 4),‎ 2010 (ISBN 978-9-81430746-8, lire en ligne), p. 141.
  5. a et b (en) Yann Bugeaud, Approximation by Algebraic Numbers, CUP,‎ 2004 (ISBN 978-0-521-82329-6, lire en ligne), p. 27-28.
  6. a et b (en) Chaohua Jia et Kohji Matsumoto, Analytic Number Theory, Springer,‎ 2002 (ISBN 978-1-40200545-9, lire en ligne), p. 360.
  7. Il existe d'autres théorèmes de Liouville.
  8. (en) V. Kh. Salikhov, « On the irrationality measure of π », Uspekhi Mat. Nauk., vol. 63, no 3(381),‎ 2008, p. 163-164.
  9. (en) P. Erdős, « Representations of real numbers as sums and products of Liouville numbers », Michigan Math. J., vol. 9, no 1,‎ 1962, p. 59-60 (lire en ligne).
  10. Bugeaud 2004, p. 23.
  11. (en) Ludwig Staiger, « The Kolmogorov Complexity of Liouville Numbers », CDMTCS Research Report Series, no 096,‎ mars 1999 (lire en ligne).
  12. (en) Andrei B. Shidlovskii, Transcendental Numbers, Walter de Gruyter,‎ 1989 (ISBN 978-3-11011568-0, lire en ligne), p. 17.

Liens externes[modifier | modifier le code]