Nombre de Liouville

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :

pour tout nombre entier positif n, il existe des entiers q_n > 1 et p_n tels que 0 < |x – p_n/q_n| < 1/q_nⁿ.

Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra que tous les nombres vérifiant la propriété ci-dessus sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de tels nombres.

Irrationalité des nombres de Liouville

Remarquons d'abord que si x est un nombre de Liouville alors, pour tout réel μ, il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ : tous les (p_n, q_n) pour n ≥ μ (ils forment bien un ensemble infini puisque la suite des |x – p_n/q_n| est à valeurs non nulles et converge vers 0).

Or un critère élémentaire d'irrationalité assure que pour tout réel x, s'il existe un réel μ > 1 et une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ, alors x est irrationnel.

Cela s'applique aux nombres de Liouville, qui sont donc irrationnels.

Constante de Liouville

La constante de Liouville est le réel défini par

$c = \sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0,110001000000000000000001000....$

C'est un nombre de Liouville. En effet, si l'on définit p_n et q_n par

$p_n = \sum_{j=1}^n 10^{n! - j!},\quad q_n = 10^{n!}$

alors, pour tout entier positif n, on obtient

$|c - p_n/q_n| = \sum_{j=n+1}^\infty 10^{-j!} = 10^{-(n+1)!} + 10^{-(n+2)!} + \cdots < 10^{-(n!n)} = 1/{q_n}^n.$

La constante de Liouville est le premier exemple de nombre réel dont on a prouvé la transcendance. La fraction continue est l'outil auquel pensait Liouville pour construire des nombres de Liouville et donc transcendants. L'article associé présente un autre exemple de cette nature, illustrant la méthode qu'il préconisait.

Mesure d'irrationalité d'un réel

La mesure d'irrationalité d'un réel x – ou « sa constante de Liouville-Roth » – mesure la manière d'approcher x par des rationnels.

Définition — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne supérieure de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une infinité de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ.

Les nombres de Liouville sont donc les réels dont la mesure d'irrationalité est infinie.

La mesure d'irrationalité d'un rationnel est égale à 1 (c'est ce qui nous a permis de montrer l'irrationalité des nombres de Liouville) et celle d'un irrationnel est supérieure ou égale à 2 (cf. § « Approximation par les rationnels » de l'article « Nombre irrationnel »).

On trouve dans les ouvrages de légères variantes : certains auteurs prennent (ce qui revient au même) la borne inférieure de l'ensemble des μ pour lesquels il existe n'existe au contraire qu'un nombre fini de couples (p, q) d'entiers tels que q > 0 et 0 < |x – p/q| < 1/q^μ. Certains parlent des mesures d'irrationalité : ce sont tous les nombres supérieurs ou égaux à la mesure d'irrationalité définie ici. Enfin, certains ne la définissent que si x est un nombre irrationnel, ce qui leur évite de mentionner la minoration stricte de |x – p/q| par 0. Outre ces nuances, on trouve une définition différente mais équivalente^{[réf. souhaitée]} :

Définition équivalente — La mesure d'irrationalité d'un réel x est la borne inférieure de l'ensemble des réels μ pour lesquels il existe une constante A > 0 telle que, pour tout rationnel p/q ≠ x avec q > 0, on ait : |x – p/q| ≥ A/q^μ.

Preuve de l'équivalence

Notons respectivement X et Y les bornes de la première et de la seconde définition.

• Soient μ > Y et ε > 0. Il existe alors A > 0 tel que $\forall p\in\Z,\forall q\in\N^*,\quad\frac pq\ne x\Rightarrow\left|x-\frac pq\right|\ge\frac A{q^{\mu}}$ donc pour q assez grand, $\forall p\in\Z,\quad\frac pq\ne x\Rightarrow q^{\mu+\varepsilon}\left|x-\frac pq\right|\ge1$ et pour chacun des q restants (qui sont en nombre fini), les entiers p qui ne vérifient pas cette inégalité sont bornés donc en nombre fini. On en déduit que μ + ε ≥ X, et ce pour tout μ > Y et tout ε > 0, si bien que Y ≥ X.
• Réciproquement, soit μ > X. Il n'existe qu'un nombre fini de couples (p₁, q₁), … , (p_m, q_m) vérifiant 0 < |x – p_k/q_k| < 1/q_k^μ. En posant $A=\min\left(1,q_1^\mu\left|x-\frac {p_1}{q_1}\right|,\ldots,q_m^\mu\left|x-\frac {p_m}{q_m}\right|\right)$ on obtient que pour tout rationnel p/q ≠ x avec q > 0, |x – p/q| ≥ A/q^μ donc μ ≥ Y, et ce pour tout μ > X, si bien que X ≥ Y.

Transcendance des nombres de Liouville

Article détaillé : Théorème de Liouville (approximation diophantienne).

En 1844, Joseph Liouville montra que les nombres avec cette propriété ne sont pas seulement irrationnels, mais sont toujours transcendants. Il utilisa ce résultat pour fournir le premier exemple explicite de nombre transcendant : la constante de Liouville définie plus haut.

La transcendance des nombres de Liouville est un corollaire immédiat (cf. ci-dessous) du théorème suivant, démontré dans l'article détaillé.

Théorème de Liouville sur l'approximation diophantienne — Si α est un nombre réel algébrique de degré d > 1, alors il existe un nombre réel A > 0 tel que, pour tous entiers q > 0 et p, on ait : |α – p/q| ≥ A/q^d.

La mesure d'irrationalité d'un tel α est donc inférieure ou égale à d (le théorème de Roth montre qu'elle est en fait égale à 2). Les nombres de Liouville étant de mesure d'irrationalité infinie, ils sont par conséquent transcendants.

Certains réels sont transcendants sans être de Liouville. Par exemple, la mesure d'irrationalité de e est égale à 2 et celle de π est inférieure à 7,61.

Théorème d'Erdős

Paul Erdős a démontré que tout nombre réel pouvait s'écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville number » (voir la liste des auteurs)

Liens externes

• Article du 13 mai 1844 de Liouville sur les nombres transcendants (accès à l'article et analyse de Michel Mendès France) sur Bibnum
• (en) The Beginning of Transcendental Numbers par Michael Filaseta, de l'université de Caroline du Sud