Nombre superabondant

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En mathématiques, un nombre superabondant est un entier naturel n tel que, pour tout m < n,

\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n},

σ est la fonction somme des diviseurs. Les premiers nombres superabondants sont 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120 (suite A004394 de l'OEIS). Ce concept a été défini en 1944 par Leonidas Alaoglu et Paul Erdős. Ces derniers ne savaient pas qu'en 1915, une trentaine de pages de l'ouvrage du mathématicien indien Srinivasa Ramanujan Highly composite numbers (« Nombres hautement composés ») avaient été supprimées. Ces écrits furent finalement publiés en 1997, dans The Ramanujan Journal 1, p. 119-153. Dans la section no 59 de cet ouvrage, Ramanujan définit les nombres hautement composés, parmi lesquels figurent les nombres superabondants.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Leonidas Alaoglu et Paul Erdős, en 1944, ont prouvé que, si n est superabondant, alors il existe un i et des a1, a2, …, ai, tels que :

 n = \prod_{l=1}^i (p_l) ^ {a_l},

pl est le l-ième nombre premier, et :

a_1 \geq a_2 \geq \dots \geq a_i.

Autrement dit, si n est un nombre superabondant, la décomposition en facteurs premiers de n présente des exposants décroissants, et plus un nombre premier dans cette décomposition est grand, plus l'exposant qui l'accompagne est petit.

Plus précisément, ai est toujours égal à 1, sauf pour n valant 4 ou 36.

Les nombres superabondants sont, d'un point de vue mathématique, intimement liés aux nombres hautement composés. Il serait erroné de penser que tous les nombres superabondants sont aussi des nombres hautement composés : seulement 449 nombres appartiennent simultanément aux deux catégories. Par exemple, 7 560 est hautement composé, mais non superabondant. Néanmoins, Alaoglu et Erdős ont remarqué que tous les nombres superabondants étaient aussi hautement abondants. De plus, tous les nombres superabondants ne sont pas des nombres Harshad. En effet, la seule exception est le 105e nombre superabondant : 149 602 080 797 769 600. La somme de ses chiffres, 81, n'est pas, en effet, un diviseur de ce nombre.

Les nombres superabondants ont également un intérêt dans leur lien avec l'Hypothèse de Riemann, et avec le théorème de Robin (du nom de Guy Robin, professeur de mathématiques à l'université de Limoges), selon lequel l'hypothèse de Riemann admet pour strict exact équivalent l’inégalité suivante :

\frac{\sigma(n)}{e^{\gamma} n \log \log n} < 1,

Et ce pour tout n supérieur à la plus grand exception connue, le nombre superabondant 5 040. Si cette inégalité a un contre-exemple plus grand, ce qui prouverait que l'hypothèse de Riemann est fausse, le plus petit des contre-exemples doit être un nombre superabondant[1].

Note, lien externe et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Amir Akbary et Zachary Friggstad, « Superabundant numbers and the Riemann hypothesis », American Mathematical Monthly, no 116,‎ 2009, p. 273–275 (lien DOI?).