Nombre hyperparfait

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En mathématiques, un nombre k-hyperparfait (quelquefois simplement appelé nombre hyperparfait) est un entier naturel n tel que

n = 1 + k(\sigma(n) - n - 1),

σ(n) est la fonction diviseur (c.à.d. la somme de tous les diviseurs positifs de n). Les nombres parfaits sont donc les nombres 1-hyperparfaits.

Suites de nombres[modifier | modifier le code]

Les premiers termes de la suite croissante des nombres k-hyperparfaits sont 6, 21, 28, 301, 325, 496, ... (suite A034897 de l'OEIS), les valeurs correspondantes de k étant 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, ... (suite A034898). Les premiers nombres k-hyperparfaits qui ne sont pas parfaits sont 21, 301, 325, 697, 1333, ... (suite A007592).

Table[modifier | modifier le code]

La table suivante liste les premiers nombres k-hyperparfaits pour certaines valeurs de k, mis en regard avec le numéro de la suite des nombres k-hyperparfaits dans l'Encyclopédie électronique des suites entières :

k OEIS Quelques nombres k-hyperparfaits connus
1 A000396 6, 28, 496, 8128, 33550336, ...
2 A007593 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ...
3   325, ...
4   1950625, 1220640625, ...
6 A028499 301, 16513, 60110701, 1977225901, ...
10   159841, ...
11   10693, ...
12 A028500 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ...
18 A028501 1333, 1909, 2469601, 893748277, ...
19   51301, ...
30   3901, 28600321, ...
31   214273, ...
35   306181, ...
40   115788961, ...
48   26977, 9560844577, ...
59   1433701, ...
60   24601, ...
66   296341, ...
75   2924101, ...
78   486877, ...
91   5199013, ...
100   10509080401, ...
108   275833, ...
126   12161963773, ...
132   96361, 130153, 495529, ...
136   156276648817, ...
138   46727970517, 51886178401, ...
140   1118457481, ...
168   250321, ...
174   7744461466717, ...
180   12211188308281, ...
190   1167773821, ...
192   163201, 137008036993, ...
198   1564317613, ...
206   626946794653, 54114833564509, ...
222   348231627849277, ...
228   391854937, 102744892633, 3710434289467, ...
252   389593, 1218260233, ...
276   72315968283289, ...
282   8898807853477, ...
296   444574821937, ...
342   542413, 26199602893, ...
348   66239465233897, ...
350   140460782701, ...
360   23911458481, ...
366   808861, ...
372   2469439417, ...
396   8432772615433, ...
402   8942902453, 813535908179653, ...
408   1238906223697, ...
414   8062678298557, ...
430   124528653669661, ...
438   6287557453, ...
480   1324790832961, ...
522   723378252872773, 106049331638192773, ...
546   211125067071829, ...
570   1345711391461, 5810517340434661, ...
660   13786783637881, ...
672   142718568339485377, ...
684   154643791177, ...
774   8695993590900027, ...
810   5646270598021, ...
814   31571188513, ...
816   31571188513, ...
820   1119337766869561, ...
968   52335185632753, ...
972   289085338292617, ...
978   60246544949557, ...
1050   64169172901, ...
1410   80293806421, ...
2772 A028502 95295817, 124035913, ...
3918   61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ...
9222   404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ...
9828   432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ...
14280   848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ...
23730   2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ...
31752 A034916 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ...
55848   15166641361, 44783952721, 67623550801, ...
67782   18407557741, 18444431149, 34939858669, ...
92568   50611924273, 64781493169, 84213367729, ...
100932   50969246953, 53192980777, 82145123113, ...

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si k > 1 est un entier naturel impair et p = (3k + 1)/2 etq = 3k + 4 sont des nombres premiers, alors p2q est k-hyperparfait ; Judson S. McCranie a conjecturé en 2000 que tous les nombres k-hyperparfaits pour k > 1 impair sont de cette forme, mais l'hypothèse n'a pas encore été démontrée. De plus, si pq sont des nombres premiers impairs et k un entier tel que k(p + q) = pq – 1, alors pq est k-hyperparfait.

Il est aussi possible de montrer que si k > 0 et p = k + 1 est premier, alors pour tout i > 1 tel que q = pi – p + 1 est premier, n = pi – 1q est k-hyperparfait. La table suivante liste les valeurs connues de k et les valeurs correspondantes de i pour lesquelles n est k-hyperparfait :

k OEIS Valeurs de i
16 A034922 11, 21, 127, 149, 469, ...
22 17, 61, 445, ...
28 33, 89, 101, ...
36 67, 95, 341, ...
42 A034923 4, 6, 42, 64, 65, ...
46 A034924 5, 11, 13, 53, 115, ...
52 21, 173, ...
58 11, 117, ...
72 21, 49, ...
88 A034925 9, 41, 51, 109, 483, ...
96 6, 11, 34, ...
100 A034926 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Hyperperfect Number », MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Daniel Minoli et Robert Bear, « Hyperperfect Numbers », PME (Pi Mu Epsilon) Journal, Fall, University Oklahoma,‎ 1975, p. 153-157
  • (en) Daniel Minoli, « Sufficient Forms For Generalized Perfect Numbers », Ann. Fac. Sciences, Univ. Nation. Zaire, Section Mathem., vol. 4, no 2,‎ décembre 1978, p. 277-302
  • (en) Daniel Minoli, « Structural Issues For Hyperperfect Numbers », Fibonacci Quarterly, vol. 19, no 1,‎ février 1981, p. 6-14
  • (en) Daniel Minoli, « Issues In Non-Linear Hyperperfect Numbers », Math. Comp., vol. 34, no 150,‎ avril 1980, p. 639-645
  • (en) Daniel Minoli, « New Results For Hyperperfect Numbers », Abstracts AMS, vol. 1, no 6,‎ octobre 1980, p. 561
  • (en) Daniel Minoli et W. Nakamine, « Mersenne Numbers Rooted On 3 For Number Theoretic Transforms », IEEE International Conf. on Acoust., Speech and Signal Processing,‎ 1980
  • (en) Judson S. McCranie, « A Study of Hyperperfect Numbers », Journal of Integer Sequences, vol. 3,‎ 2000 (lire en ligne)


(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperperfect number » (voir la liste des auteurs)