Quaternion

Plaque commémorative de la naissance des quaternions sur le pont de Broom (Dublin).
« Ici, le 16 octobre 1843, alors qu'il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternions
i² = j² = k² = ijk = –1
et la grava sur une pierre du pont. »

Un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. L'ensemble des quaternions, noté ℍ, constitue une extension de l'ensemble des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit de l'ensemble des nombres réels ℝ à celui des nombres complexes ℂ.

Les quaternions furent mis en forme au XIX^e siècle, par Hamilton qui cherchait à construire un ensemble de nombres ayant, dans l'espace, des propriétés analogues à celles que possèdent les nombres complexes dans le plan. Il les présente comme des quadruplets de réels.

L'ensemble des quaternions peut être muni d'une addition et d'une multiplication qui font de lui un des premiers exemples de corps gauche.

La relation qui existe entre les quaternions et les rotations en dimension 3 fait de l'ensemble des quaternions un outil utile pour le traitement de l'espace comme en infographie ou en théorie de la commande.

Origines et principes

Histoire

Les quaternions furent « découverts » par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Leonhard Euler et, au siècle suivant, Carl Friedrich Gauss. Il étudiait alors l'interprétation géométrique de l'arithmétique de nombres complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l'espace à trois dimensions.

Après des années de recherches sur la construction d'une algèbre avec des « triplets » de trois nombres réels, il butait sur la multiplication, et en particulier la conservation des normes (Georg Ferdinand Frobenius a démontré en 1877 qu'une telle multiplication de triplets était impossible à définir).

Hamilton eut alors l'idée d'utiliser des « quadruplets » en employant une dimension supplémentaire. Selon ses dires, il marchait, le 16 octobre 1843, le long du canal royal, avec son épouse quand soudain lui vint à l'esprit la solution sous la forme des relations : i² = j² = k² = ijk = –1. Il grava alors promptement ces relations avec un couteau dans une pierre du pont de Brougham (maintenant appelé Broom Bridge) à Dublin. Cette inscription, malheureusement effacée par le temps, a été remplacée par une plaque à la mémoire de Sir William Rowan Hamilton.

La théorie a été généralisée et d'autres ensembles comme les octonions ont été découverts par la suite. Un élément d'un ensemble de cette nature fut qualifié de nombre hypercomplexe jusqu'à la Première Guerre mondiale. Ces ensembles sont maintenant considérés comme des exemples d'algèbres semi-simples. Le théorème d'Artin-Wedderburn fournit une méthode de construction générique et se fonde sur la théorie des représentations d'un groupe fini. La construction des quaternions est donnée dans l'article représentations du groupe des quaternions. Elle correspond à l'unique algèbre simple fidèle de la représentation du groupe des quaternions sur le corps des nombres réels.

Algèbre des quaternions

Hamilton décrivit un quaternion comme un quadruplet de nombres réels, le premier élément étant un « scalaire », et les trois éléments restants formant un « vecteur », ou « imaginaire pur ».

Il put ainsi définir une multiplication avec les bonnes propriétés. Celle-ci peut se résumer à cette table de multiplication :

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	–1	k	–j
j	j	–k	–1	i
k	k	j	–i	–1

Tout quaternion Q s'écrit de façon unique comme une combinaison linéaire à coefficients réels des quatre quaternions « unités » particuliers que sont 1, i, j et k :

$Q = a1 + b{\rm i}+ c{\rm j}+ d{\rm k}$

où a, b, c, d sont des nombres réels caractéristiques de Q. Le nombre a s'appelle la composante réelle ou scalaire de Q, tandis que le triplet (b, c, d), ou le quaternion « pur » bi + cj + dk, est le vecteur de Q (ou sa partie vectorielle).

Le quaternion Q peut également s'écrire : Q = u + vj, où u et v sont les nombres complexes u = a+bi, v = c+di.

Cette découverte entraîna l'abandon de l'utilisation exclusive des lois commutatives, une avancée radicale pour l'époque. Les vecteurs et les matrices faisaient encore partie du futur, mais Hamilton venait en quelque sorte d'introduire le produit vectoriel et le produit scalaire des vecteurs.

Les quaternions forment une algèbre associative sur le corps des réels.

Non-commutativité

L'algèbre des quaternions n'est plus commutative, mais partiellement anticommutative : 1i = i1 = i mais ij = k et ji = –k.

Cette non-commutativité est d'ailleurs tout à fait compatible avec une interprétation géométrique des quaternions, par exemple les rotations vectorielles du plan sont commutatives, mais celles de l'espace ne le sont pas : On effectue une rotation autour de l'axe X suivie d'une rotation autour de l'axe Y : On effectue une rotation autour de l'axe Y suivie d'une rotation autour de l'axe X : Les deux cubes ont subi les mêmes rotations, mais dans un ordre différent. Le résultat final est différent, ce qui exprime de façon graphique la non-commutativité des rotations.

Propriétés mathématiques

Classification algébrique des algèbres à division de dimension finie

Un théorème de Frobenius généralisé dû à Zorn montre que les ℝ-algèbres à division alternatives de dimension finie sont peu nombreuses. De fait, il n'en existe que quatre : le corps des réels ℝ lui-même, celui des nombres complexes ℂ, celui des quaternions ℍ et celui des octonions 𝕆. Le corps des quaternions n'est pas commutatif et celui des octonions n'est pas associatif. Dans ce contexte, les quaternions peuvent être définis comme le plus petit corps non commutatif contenant ℝ dans son centre.

Dans le même ordre d'idée, un théorème de Hurwitz (1898) montre que les algèbres de composition sur un corps commutatif K, c'est-à-dire les algèbres munies d'une forme quadratique non dégénérée et multiplicative, sont de dimensions 1, 2, 4 ou 8. Ces algèbres peuvent être obtenues à partir de la construction de Cayley-Dickson (en). De plus

• les algèbres de composition de dimension 1 n'existent que lorsque la caractéristique de K est différente de 2.
• les algèbres de composition de dimension 1 et 2 sont commutatives et associatives.
• les algèbres de composition de dimension 2 sont ou bien des extensions quadratiques de K, ou bien isomorphes à K⊕K.
• les algèbres de composition de dimension 4 sont des algèbres de quaternions. Elles sont associatives mais pas commutatives. Elles généralisent le corps des quaternions de Hamilton.
• les algèbres de composition de dimension 8 sont des algèbres d'octonions. Elles ne sont ni associatives, ni commutatives.

Définitions

L'espace ℍ des quaternions est un espace vectoriel réel de dimension 4 rapporté à une base notée (1, i, j, k). Tout quaternion q ∈ ℍ s'écrit donc de manière unique q = a 1 + b i + c j + d k et les deux opérations d'espace vectoriel (addition de deux quaternions et multiplication à gauche d'un quaternion par un réel) se font coordonnée par coordonnée.

Scalaires et vecteurs

L'ensemble des quaternions de la forme Q = a1 + 0i + 0j + 0k = a s'identifie aux nombres réels. Ils sont appelés scalaires ou réels.

Les quaternions de la forme Q = 01 + bi + cj + dk = $\scriptstyle b\vec i+c\vec j+d\vec k=\vec v$ forment un espace vectoriel tridimensionnel, identifié à ℝ³, par identification des bases (i, j, k) = $\scriptstyle(\vec i,\vec j,\vec k)$. On les appelle quaternions purs, quaternions vectoriels, ou par abus de langage, vecteurs.

Tout quaternion Q se décompose de manière unique en une somme d'un réel et d'un vecteur $\scriptstyle Q = a + \vec v \; \in \; \R\oplus\R^3$, appelées partie scalaire (ou réelle) et partie vectorielle de Q.

Multiplication de Hamilton

Le produit de deux quaternions Q = a + b i + c j + d k = $\scriptstyle a+\vec v$ et Q' = a' + b' i + c' j + d' k = $\scriptstyle a'+\vec v'$, s'obtient en développant le produit formellement, puis en effectuant les réductions i² = –1, ij = k, …, k² = –1 définies par la table de multiplication donnée plus haut. Il est commode, pour la distinguer de la multiplication des réels, de représenter la multiplication des quaternions par ✲✲ (une double étoile).

Tous calculs faits, on obtient

$\begin{align} \scriptstyle Q ** Q' &= \scriptstyle (aa'-bb'-cc'-dd') + (ab'+ba'+cd'-dc'){\rm i}+ (ac'-bd'+ca'+db'){\rm j}+ (ad'+bc'-cb'+da'){\rm k}\\ \ &= \scriptstyle (aa'-\vec v \cdot \vec v') + (a \vec v' + a' \vec v + \vec v \wedge \vec v')\end{align}$.

Dans cette dernière formule le $\scriptstyle \cdot$ désigne le produit scalaire et $\scriptstyle \wedge$ le produit vectoriel des composantes vectorielles des deux quaternions.

Cette multiplication fait de ℍ un anneau unitaire.

Autrement dit (outre les propriétés de l'addition déjà inhérentes à la structure d'espace vectoriel) :

• 1 est neutre à gauche et à droite pour la multiplication ;
• la multiplication est distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition (cela résulte de la bilinéarité des produits scalaires et vectoriels) ;
• la multiplication est associative, c'est-à-dire que pour tous quaternions P, Q, R, on a :

P ✲✲ (Q ✲✲ R) = (P ✲✲ Q) ✲✲ R.

Il est possible de retrouver cette multiplication avec une notation plus simple des quaternions : au lieu de voir un quaternion comme un quadruplet de nombres réels, on peut le représenter comme une paire de nombres complexes.

Notant Z₁ = a + b i, Z₂ = c + d i, Z'₁ = a' + b' i et Z'₂ = c' + d' i, alors Q = Z₁ + Z₂ ✲✲ j et Q' = Z'₁ + Z'₂ ✲✲ j.

Cela revient donc à rajouter un nouveau nombre j aux nombres complexes, ayant les deux propriétés suivantes :

1. j² = –1
2. j ✲✲ Z = Z ✲✲ j, où Z désigne le complexe conjugué de Z.

La multiplication s'écrit alors :

$Q ** Q' = (Z_1 + Z_2 **{\rm j}) ** (Z'_1 + Z'_2 **{\rm j}) = (Z_1Z'_1 - Z_2\overline{Z'_2}) + (Z_1Z'_2 + Z_2\overline{Z'_1}) **{\rm j}.$

Non-commutativité

La multiplication de Hamilton n'est pas commutative.

De fait, on montre que pour que $\scriptstyle Q ** Q' = Q' ** Q$, il faut et il suffit que $\scriptstyle \vec v \wedge \vec v' = \vec v' \wedge \vec v$, c'est-à-dire que leurs composantes vectorielles soient colinéaires.

En particulier, un quaternion commute avec tous les quaternions si, et seulement si, sa partie vectorielle est nulle, c'est-à-dire s'il est réel. Pour $\scriptstyle \lambda = \lambda 1 = \lambda + 0i + 0j +0 k \in\R\subset\H$, la formule $\scriptstyle \lambda Q = Q \lambda = \lambda a + \lambda bi + \lambda cj + \lambda dk = \lambda a+ \lambda \vec v$, définit alors une multiplication externe qui munit ℍ d'une structure d'espace vectoriel. Cette opération préserve les sous-espaces des scalaires ℝ et des vecteurs ℝ³. Sur ces sous-espaces, elle coïncide avec les multiplications habituelles.

En résumé :

• $\scriptstyle Q ** Q' = Q' ** Q \iff \vec v, \vec v'$ colinéaires
• $\scriptstyle Z(\H) = \{ Q \in\H | \forall P \in\H , P ** Q = Q ** P \} = 1 \cdot\R=\R.$

Inverses et divisions

Si un quaternion $\scriptstyle Q = a + bi + cj + dk = a + \vec v$ n'est pas nul, il possède un unique inverse

$\scriptstyle Q^{-1} = \frac{Q^*}{Q ** Q^*} = \frac{Q^*}{\|Q\|^2} = \frac{1}{a^2+b^2+c^2+d^2}\ Q^*$

.

Si $\scriptstyle Q = a$ est réel, son inverse $\scriptstyle a^{-1} = \frac 1 a$ est l'inverse de a en tant que réel. Et si $\scriptstyle Q = \vec v$ est un vecteur, son inverse $\scriptstyle {\vec v}^{-1} = \frac {- \vec v} {{\left|| \vec v \right|| }^2}$ est le vecteur pointant dans la direction opposée à $\scriptstyle \vec v$ et de norme inverse.

Reprenant la notation précédemment employée,  $\scriptstyle Z_1 = a + b i$,  $\scriptstyle Z_2 = c + d i$,  $\scriptstyle Z'_1 = a' + b' i$  et  $\scriptstyle Z'_2 = c' + d' i$,  alors  $\scriptstyle Q = Z_1 + Z_2 ** j$  et  $\scriptstyle Q' = Z'_1 + Z'_2 ** j$, l'inverse d'un quaternion se calcule alors facilement :

$\frac1{Q} = \frac{\bar Z_1}{|Z_1|^2 + |Z_2|^2} - \frac{ Z_2}{|Z_1|^2 + |Z_2|^2} ** j.$

On vérifie alors facilement que $\scriptstyle Q ** \frac{1}{Q} = 1$.

La non-commutativité conduit à définir la division du quaternion $\scriptstyle P$ par le quaternion (non nul) $\scriptstyle Q$ de deux façons différentes :

• la division à gauche $\scriptstyle R = Q^{-1} ** P \iff P = Q ** R,$
• la division à droite $\scriptstyle R = P ** Q^{-1} \iff P = R ** Q.$

Conjugaison

Les quaternions sont munis d'une conjugaison, qui est un antiautomorphisme involutif. Le conjugué du quaternion $\scriptstyle Q = a + b i + c j + d k = a + \vec v$ est le quaternion obtenu en conservant sa partie scalaire et en prenant l'opposé de sa partie vectorielle $\scriptstyle Q^* = \bar Q = a - b i - c j - d k = a -\vec v$.

On remarquera que le conjugué d'un scalaire $\scriptstyle Q^* = {a}^* = a$ est lui-même et que le conjugué d'un vecteur pur $\scriptstyle Q^* = {\left( \vec v \right)}^* = -\vec v$ est son opposé. Pour cette raison Hamilton se référait à la conjugaison comme inverse spatial.

La conjugaison est linéaire, i.e. $\scriptstyle (P+Q)^* = P^*+Q^*$, et un anti-morphisme, inversant le sens du produit $\scriptstyle (P ** Q)^* = Q^* ** P^*$

C'est une involution, égale à son propre inverse $\scriptstyle {(Q^*)}^* = Q$.

Les invariants, tels que $\scriptstyle Q^* = Q$, sont les réels et les anti-invariants, tels que $\scriptstyle Q^* = -Q$, sont les quaternions purs.

La conjugaison permet de retrouver facilement la partie réelle et vectorielle d'un quaternion $\scriptstyle Q = a + \vec v$ :

• $\scriptstyle \frac 1 2 (Q+Q^*) = a$
• $\scriptstyle \frac 1 2 (Q-Q^*) = \vec v$

Norme

Le produit d'un quaternion $\scriptstyle Q = a + bi + cj + dk = a + \vec v$ par son conjugué $Q^*$ donne $\scriptstyle Q ** Q^* = a \cdot a + \vec v \cdot \vec v = a^2 + \left|| \vec v \right||^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ qui est un nombre réel positif.

On appelle norme du quaternion $\scriptstyle Q = a + bi + cj + dk = a + \vec v$, le nombre réel positif

$\scriptstyle \left|| Q \right|| = \sqrt{Q ** Q^*} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} = \sqrt{a^2 + \left|| \vec v \right||^2 }$.

Cette norme dérive du produit scalaire canonique sur ℝ⁴, défini par $\scriptstyle Q \cdot Q' = aa' + bb' + cc' + dd' = aa' + \vec v \cdot \vec v'$. Elle coïncide avec la norme euclidienne dans l'espace quadri-dimensionnel ℝ⁴, sa restriction aux scalaires avec la valeur absolue et sa restriction aux vecteurs avec la norme usuelle dans l'espace tridimensionnel standard.

On a :

• $\scriptstyle \left|| P \right|| = 0 \iff P = 0$
• $\scriptstyle \left|| P+Q \right|| \leqslant \left|| P \right|| + \left|| Q \right||$
• $\scriptstyle \left|| P+Q \right|| = \left|| P \right|| + \left|| Q \right|| \iff \exists \lambda \in \R, \; P = \lambda Q$
• $\scriptstyle \left|| P ** Q \right|| = \scriptstyle \left|| Q ** P \right|| = \left|| P \right|| \cdot \left|| Q \right||$
• $\scriptstyle \left|| Q^* \right|| = \left|| Q \right||$

Conjugués particuliers : d'un inverse, d'une somme, d'un produit

On montre aisément les égalités :

$\begin{matrix}(Q^*)^* &=& Q\\(Q^{-1})^* &=& \frac{Q}{\|Q\|^2}\\(Q^*)^{-1} &=& \frac{Q}{\|Q\|^2}\\(Q_1 + Q_2)^* &=& Q^*_1 + Q^*_2\\(Q_1 ** Q_2)^* &=& Q^*_2 ** Q^*_1\\(Q_1 ** Q_2)^{-1} &=& Q^{-1}_2 ** Q^{-1}_1\end{matrix}\,$

Quaternions unitaires et forme polaire

Quaternions unitaires

Les quaternions unitaires sont, par définition, les quaternions Q de norme 1, i.e. tels que Q^-1=Q*. Ils forment un groupe topologique, dont la loi de groupe est le produit de Hamilton et dont l'espace topologique est homéomorphe à l'hypersphère S³.

Nous verrons plus loin que les quaternions unitaires agissent par rotations sur l'espace des quaternions purs (vu comme espace euclidien de dimension 3), et que cette particularité permet une représentation simple du produit de deux rotations vectorielles. Par cette action, les quaternions unitaires forment un revêtement double du groupe spécial orthogonal SO(3) (deux quaternions opposés correspondent à la même rotation).

Versors

Pour tout quaternion Q, le quaternion $\scriptstyle U_Q = \frac Q {\left|| Q \right||}$ est un quaternion unitaire, appelé versor (ou verseur) de Q.

Tout quaternion apparait donc comme le produit $\scriptstyle Q = \rho U_Q$ d'un nombre réel positif $\scriptstyle \rho = \left|| Q \right||$ par un quaternion unitaire.

On remarquera que $\scriptstyle U_{PQ} = U_P ** U_Q$ et que $\scriptstyle U_{Q^{-1}} = \left( U_Q \right) ^{-1}$.

Par ailleurs, $\scriptstyle U_{Q{Q^*}} = \frac {Q ** {Q^*}} {\left|| Q \right|| ^2} = 1$, d'où on déduit que $\scriptstyle U_{Q^*} = \left( U_Q \right) ^* = \frac 1 {U_Q}$.

Forme polaire

On peut poursuivre plus loin la décomposition précédente. En effet, de $\scriptstyle a^2+ \left|| \vec v \right||^2 = 1$, pour un quaternion unitaire $\scriptstyle U_Q = a + \vec v$, on tire l'existence d'un réel $\scriptstyle \theta$, tel que $\scriptstyle a = \cos(\theta)$ et $\scriptstyle \vec v = \sin(\theta) \vec u$ où $\scriptstyle \vec u$ est un vecteur unitaire de ℝ³.

Finalement, tout quaternion s'écrit sous la forme $\scriptstyle Q = \rho\cos(\theta) + \rho\sin(\theta)u_Q$, où $\scriptstyle \rho = \left|| Q \right||$ est un réel positif et $u_Q$ est un quaternion unitaire de composante réelle nulle, représenté par $\scriptstyle \vec u$, vecteur de la sphère $\scriptstyle \left|| \vec u \right|| = 1 \subset$ ℝ³. Si Q est non réel, cette décomposition est unique, à $\scriptstyle 2k\pi$ près pour $\theta$ ; si Q est réel, le choix de $\scriptstyle \vec u$ est arbitraire.

Il est possible de définir (par la série usuelle) une fonction exponentielle dans les quaternions, et l'on montre qu'avec les notations précédentes, on a $\scriptstyle Q = \rho\exp(\theta u_Q)$.

Sous-ensembles particuliers

Racines carrées

Le corps des quaternions n'étant pas commutatif, un polynôme peut avoir plus de racines distinctes que son degré.

Considérons par exemple, le polynôme $\scriptstyle z^2 - \lambda$, où $\scriptstyle \lambda \in\R$ dont les racines sont les racines carrées du nombre réel λ. En écrivant $\scriptstyle z = q = a + \vec v$, elle devient $\scriptstyle q^2 = a^2 - \left|| \vec v \right||^2 + 2 a \vec v = \lambda$. La partie vectorielle de ce carré étant nulle, on doit avoir $\scriptstyle a \vec v = 0$, c'est-à-dire, soit $\scriptstyle \vec v = 0$, auquel cas $\scriptstyle a = \pm \sqrt \lambda$, soit a = 0, auquel cas $\scriptstyle \left|| \vec v \right||^2 = - \lambda$, ce qui montre que les racines carrées d'un nombre réel négatif sont situées sur une sphère dans l'espace ℝ³.

Pour trouver les racines d'un quaternion général $\scriptstyle q = a + \vec v$, écrivons sa racine sous sa forme polaire $\scriptstyle z = \rho\cos(\theta ) + \rho\sin(\theta ) \vec u$, avec $\scriptstyle \left|| \vec u \right|| = 1$. Un calcul immédiat donne $\scriptstyle z^2 = \rho^2\cos^2(\theta ) - \rho^2\sin^2(\theta ) + 2 \rho^2\cos(\theta )\sin(\theta ) \vec u = \rho^2\cos(2\theta ) + \rho^2\sin(2\theta ) \vec u$. D'où on déduit successivement $\scriptstyle \rho = \sqrt {\left|| q \right||}$, au signe près; puis $\scriptstyle \theta$ de $\scriptstyle\cos(2\theta ) = a/ \rho^2,\sin(2\theta ) = \left|| \vec v \right|| / \rho^2$, à $\scriptstyle 2\pi$ près; puis $\scriptstyle \vec u = \vec v / \rho^2\sin(2\theta )$.

On est donc dans l'un des cas suivants :

• la racine carrée de $\scriptstyle \lambda = 0 \, \in\R$ est 0 ;
• les racines carrées d'un réel négatif $\scriptstyle \lambda \in\R_-$ sont les vecteurs de la sphère d'équation $\scriptstyle \left|| \vec v \right||^2 = \sqrt {-\lambda}$;
• un quaternion qui n'est pas un réel négatif, possède deux racines carrées opposées.

Sous-algèbres

Pour un quaternion non réel $\scriptstyle q = a + \vec v$ avec $\scriptstyle \vec v \neq 0$, on peut écrire $\scriptstyle q^2 = a^2 - \left|| \vec v \right||^2 + 2 a \vec v = -\left( a^2 + \left|| \vec v \right||^2 \right) + 2 a q$. Donc $\scriptstyle q^2\in\R\oplus q\R$ et, par récurrence, $\scriptstyle q^n\in\R\oplus q\R$. Ceci montre que la sous-algèbre engendrée par un quaternion q non réel est $\scriptstyle A =\R \oplus q\R$. C'est aussi la sous-algèbre engendrée $\scriptstyle q' = \vec u = \frac {\vec v} {\left|| \vec v \right||}$. Or ce dernier élément est tel que $\scriptstyle q'^2 = - \left|| \vec u \right|| ^2 = -1$. La sous-algèbre est donc isomorphe au plan complexe ℂ.

Si une sous-algèbre A contient deux quaternions $\scriptstyle q = a + \vec v$ et $\scriptstyle p = b + \vec w$, alors elle contient aussi le quaternion $\scriptstyle (q-a)(p-b) = \vec v \wedge \vec w$. Donc, si $\scriptstyle \vec v$ et $\scriptstyle \vec w$ ne sont pas colinéaires, A contient tout l'espace ℝ³, et, par suite, A = ℍ.

En résumé, les sous-algèbres de ℍ sont :

• les sous-algèbres triviales ℝ et ℍ ;
• une infinité de plans isomorphes au corps des complexe ℂ, l'image de i pouvant être prise comme n'importe quel élément arbitraire de la sphère S₂ des quaternions unitaires purs.

La notation (a, V)

Le quaternion Q = a 1 + b i + c j + d k peut être décomposé (et de façon unique) en un couple formé du réel a et du vecteur $\vec V$ de ℝ³ dont les coordonnées sont (b, c, d).

On écrit : $Q = (a\ ,\ \vec V)\,$.

Cette notation permet de définir la somme et le produit de la façon suivante :

$\begin{matrix}Q_1 + Q_2 &=& (a_1\ ,\ \vec V_1) + (a_2\ ,\ \vec V_2) = (a_1+a_2\ , \vec V_1 + \vec V_2) \\Q_1 ** Q_2 &=& (a_1 a_2 - \vec V_1 \cdot \vec V_2\ ,\ a_1 \vec V_2 + a_2 \vec V_1 + \vec V_1 \wedge \vec V_2)\,\end{matrix}$

Elle permet aussi de redéfinir ou définir les trois notions suivantes :

• le conjugué $Q^* = (a\ ,\ -\vec V)\,$ de $Q \,$,
• le produit scalaire de deux quaternions : $Q_1\bullet Q_2 = (a_1\ ,\ \vec V_1) \bullet (a_2\ ,\ \vec V_2) = a_1 a_2 + \vec V_1\cdot \vec V_2$

d'où l'on déduit :

• la norme d'un quaternion : $\|Q\| = \sqrt{Q\bullet Q} = \sqrt{Q ** Q^*} = (Q ** Q^*)^\frac{1}{2} = (a^2 + \vec V\cdot\vec V)^\frac{1}{2} = (a^2+\|\vec V\|^2)^\frac{1}{2} \,$

Remarque : le produit scalaire défini ci-dessus est commutatif et il est donc bien sûr différent du produit de quaternions défini plus haut.

Soit à présent un quaternion $Q = (a\ ,\ \vec V)\,$ quelconque ; notons $q = \|Q\|\,$ et $v = \|\vec V\|\,$. Si le réel $v\,$ positif n'est pas nul, le réel $q\,$ ne l'est pas non plus et l'on peut donc toujours écrire :

$Q = q \cdot \left(\frac{a}{q}\ ,\ \frac{1}{q}\cdot \vec V\right) = q \cdot \left(\frac{a}{q}\ ,\ \frac{v}{q}\frac{1}{v}\cdot \vec V\right)\,$

Or $\frac{1}{v}\cdot \vec V$ est un vecteur normé et l'on peut écrire : $q^2 = a^2 + v^2\,$, ou encore : $\left (\frac{a}{q}\right )^2 + \left (\frac{v}{q}\right )^2= 1$.

Il en résulte qu'il existe :

• un angle $\varphi\,$ (dont le cosinus et le sinus valent respectivement $\frac{a}{q}\,$ et $\frac{v}{q}\,$) et
• un vecteur normé $\vec U = \frac{1}{v}\cdot \vec V$

qui sont tels que l'on puisse écrire le quaternion $Q \,$ (de vecteur $\vec V$ non nul) sous la forme :

$Q = q \left (\cos \varphi\ , \ \sin \varphi \cdot \vec U \right ) = \left (q\cos \varphi\ , \ q\sin \varphi \cdot \vec U \right )\,$

Cette façon d'écrire un quaternion est importante : les termes du couple, $q\cos \varphi\,$ et $q\sin \varphi \cdot \vec U\,$, sont en effet respectivement le produit scalaire et le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec V_1$ et $\vec V_2$ orthogonaux à $\vec V$, ces 2 vecteurs faisant entre eux un angle égal à $\varphi\,$. Et cette écriture permet de construire la multiplication des quaternions grâce à la composition des similitudes de ℝ³.

Les similitudes de l'espace et les quaternions

Pour démystifier les quaternions, nous allons faire un petit détour instructif par la géométrie élémentaire et en particulier par les similitudes dans l'espace. Une similitude dans ℝ³ est entièrement définie par la triple donnée :

• d'un axe de rotation orienté (un vecteur unitaire U),
• d'un angle 2φ défini à 2π près et
• d'un rapport d'homothétie k, un réel strictement positif.

L'effet d'une similitude sur tous les vecteurs peut être considéré grossièrement comme un vissage avec expansion.

Voyage et trajets

Plus précisément, l'image du transformé d'un vecteur V (dont l'origine est supposée située sur l'axe U) est obtenue d'abord par une multiplication (homothétie) de ce vecteur par k, suivi par une rotation d'angle 2φ autour de l'axe de rotation (on pourrait aussi commencer par la rotation et la faire suivre de l'homothétie, mais il faudrait modifier un peu les explications qui vont suivre...). Cette rotation fait tourner d'un angle 2φ l'extrémité du vecteur kV sur un cercle (C) centré sur l'axe et situé dans un plan perpendiculaire à U. Or sur ce cercle, il y a deux façons d'effectuer le trajet : soit en utilisant un arc, soit en utilisant son complémentaire, ces arcs ne pouvant pas malheureusement être distingués par la seule mesure 2φ + 2kπ.

C'est précisément cette difficulté que permet de résoudre la notion de quaternion. Schématiquement, on peut dire qu'un quaternion, c'est comme une similitude qui saurait distinguer les 2 trajets que peut emprunter la rotation associée.

Dans la vie courante, si pour un voyage entre deux localités L₁ et L₂, vous avez a priori deux trajets possibles, la distinction entre ces trajets peut être faite en désignant deux sites-étapes intermédiaires s₁ et s₂. Et en parlant du trajet s₁ et du trajet s₂, vous sous-entendrez les localités de départ et d'arrivée L₁ et L₂.

En conservant cette analogie, il nous faut donc définir deux points intermédiaires sur les deux arcs du trajet.

À mi-chemin

Les points situés à mi-chemin sont parfaits pour cette mission. En effet, si je divise l'angle de vecteurs 2φ + 2kπ par 2, j'obtiens deux angles distincts φ + 2kπ et φ-π + 2kπ. Or, si j'utilise la rotation d'axe U et d'angle φ + 2kπ, je définis un site-étape différent de celui que j'obtiens avec la rotation φ-π + 2kπ. Ainsi à la similitude sim(U, 2φ, k), il correspond deux trajets distincts qui sont représentés par les deux quaternions distincts quat(U, φ, k) et quat(U, −π+φ, k).

Le formalisme

Le triplet (U, φ, k) peut s'écrire de façon équivalente sous la forme du couple (kcos(φ), ksin(φ)∙U) de la notation (a, V). Et en utilisant des vecteurs a et b orthogonaux à U convenables, il est facile de montrer que ce couple prend la forme (a.b, a^b). Ainsi, nos sites-étapes nous permettent de revenir à des opérations très simples sur des vecteurs. Et comme ces opérations sont riches de propriétés remarquables, on sait définir (comme on l'a vu ci-dessus) une multiplication et une addition des quaternions.

Double produit de quaternions

De même que l'on peut calculer un double produit vectoriel, il est possible de calculer un double produit de quaternions.

Correspondance entre quaternion unitaire et rotation vectorielle

On peut démontrer que le transformé $\vec V' = \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec N\right]}(\vec V) \,$ de tout vecteur $\vec V\,$ quelconque (de l'espace euclidien de dimension 3) dans la rotation $\mathbf R\left[2\,\varphi,\,\vec N\right]$ d'angle $2\,\varphi\,$ et d'axe $\vec N\,$ ($\vec N\,$ étant un vecteur normé) peut être calculé grâce au produit de quaternions suivants :

$(0,\ \vec V') = \left(0,\ \mathbf R_{\left[2\varphi, \vec N\right]}(\vec V)\right) = (\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N) ** (0,\ \vec V) ** (\cos \varphi,\ -\sin \varphi\ \vec N)$

où $(\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N)$ et $(\cos \varphi,\ -\sin \varphi\ \vec N)$ sont deux quaternions unitaires conjugués et où $(0,\ \vec V)$ et $(0,\ \vec V')$ sont des quaternions dont la composante scalaire est nulle.

On peut aussi écrire cette transformation avec la notation $Q = a\cdot 1 + b\cdot i + c\cdot j + d\cdot k\,$. Si la rotation est autour d'un axe orienté selon le vecteur $\vec N\,$ de coordonnées (x, y,z) (le vecteur étant normé) et d'angle $2\,\varphi$, le quaternion associé vaut :

$Q = \cos \varphi \cdot 1 + x \sin \varphi \cdot i+ y \sin \varphi \cdot j+ z \sin \varphi \cdot k$

Composition de rotations vectorielles et produit de quaternions

La propriété précédente justifie le fait que l'on a coutume de dire, mais de façon peu rigoureuse, que le quaternion $(\cos \varphi,\ \sin \varphi\ \vec N)$ représente la rotation $\mathbf R\left[2\,\varphi,\,\vec N\right]$.

En utilisant le même langage approximatif, on peut dire que la composition de deux rotations successives $\mathbf R_1$ puis $\mathbf R_2$ est une rotation $\mathbf R$ qui est représentée par le quaternion $Q = Q_2 ** Q_1\,$, les quaternions $Q_1\,$ et $Q_2\,$ étant les représentants respectifs des rotations $\mathbf R_1$ et $\mathbf R_2$.

Montrons-le :

En posant : $\vec V' = \, \mathbf R_1\, (\vec V)\,$, puis $\vec V'' = \, \mathbf R_2\, (\vec V')\,$, la formule encadrée ci-dessus nous donne, écrite de façon condensée, les deux égalités :

$(0,\ \vec V') = Q_1 ** (0,\ \vec V) ** Q^*_1$ et

$(0,\ \vec V'') = Q_2 ** (0,\ \vec V') ** Q^*_2,$

ce qui peut donc encore s'écrire :

$(0,\ \vec V'') = Q_2 ** \left[Q_1 ** (0,\ \vec V) ** Q^*_1\right] ** Q^*_2$

ou, si l'on tient compte de l'associativité du produit de quaternions :

$(0,\ \vec V'') = (Q_2 ** Q_1) ** (0,\ \vec V) ** (Q^*_1 ** Q^*_2),$

ou encore :

$(0,\ \vec V'') = (Q_2 ** Q_1) ** (0,\ \vec V) ** (Q_2 ** Q_1)^*,$

en tenant compte de la valeur du conjugué de deux quaternions.

Ce qui établit la propriété annoncée pour la composition de deux rotations et que nous écrirons :

$\Bigg(0,\ \mathbf R_{\left[2\varphi_2, \vec N_2\right]}\left(\mathrm R_{\left[2\varphi_1, \vec N_1\right]} (\vec V)\right)\Bigg) = (\cos \varphi_2,\ \sin \varphi_2\ \vec N_2) ** (\cos \varphi_1,\ \sin \varphi_1\ \vec N_1) ** (0,\ \vec V) ** (\cos \varphi_1,\ -\sin \varphi_1\ \vec N_1) ** (\cos \varphi_2,\ -\sin \varphi_2\ \vec N_2)$

Notations matricielles

De même qu'il est possible de mettre en correspondance le nombre complexe $z = a + i b\,$ avec la matrice : $\begin{pmatrix}a & -b \\b & a\end{pmatrix}\,$, il est possible de faire correspondre le quaternion $Q = a + b i + c j + d k\,$ avec la matrice complexe suivante :

$\begin{pmatrix}a-id & -b+ic \\ b+ic & a+id\end{pmatrix}\,$

ou encore avec la matrice réelle suivante :

$\begin{pmatrix}\quad a&\quad -b &\quad -c &\quad -d\\ \quad b&\quad a &\quad -d &\quad c\\ \quad c&\quad d &\quad a &\quad -b\\ \quad d&\quad -c &\quad b &\quad a \end{pmatrix}\,$

Il existe plusieurs représentations matricielles d'un quaternion. La matrice précédente en est une. Celle qui suit est plus souvent utilisée. Ainsi, la matrice réelle créée à partir d'un quaternion s'écrit de cette façon (en gardant q=a+ib+jc+kd):

Si le quaternion unitaire représente une rotation depuis l'origine, on peut le représenter à l'aide d'une matrice 3×3

$\begin{pmatrix}\quad 1-2c^2-2d^2&\quad 2bc-2da& 2bd+2ca\\\quad 2bc+2da& \quad1-2b^2-2d^2& \quad2cd-2ba \\\quad 2bd-2ca&\quad2cd+2ba&\quad 1-2b^2-2c^2\end{pmatrix}\,$

Avec ces équivalences, la somme et le produit de deux quaternions correspondent respectivement à la somme et au produit des matrices qui leur correspondent.

Remarque :

La matrice complexe $\begin{pmatrix}a-id & -b+ic \\ b+ic & a+id\end{pmatrix}\,$ peut encore s'écrire sous la forme :

$a\ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} + b\ \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} + c\ \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix} + d\ \begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}$

où les quatre matrices : $E = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, $J = \begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}$ et $K = \begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}$ sont les matrices complexes qui correspondent aux quatre quaternions-unités 1, i, j et k évoquées dans la première définition des quaternions. Il est à noter que la physique quantique utilise régulièrement cette décomposition des quaternions en combinaisons linéaires de matrices 2×2 (dans le traitement du spin en particulier) qui portent alors le nom de matrices de Pauli.

Applications

Alors qu'ils peuvent être utiles en dimension 3, les quaternions ne sont pas employés dans d'autres dimensions (bien que des extensions comme celles des biquaternions et des algèbres de Clifford soient en théorie utilisables). En effet, la notion de vecteur a presque universellement remplacé celle des quaternions en science et en technologie au milieu du XX^e siècle.

Aujourd'hui, les quaternions redeviennent plus populaires et trouvent leur place en infographie, en théorie de la commande, dans le traitement du signal, dans la commande de mouvement et la mécanique spatiale, principalement pour représenter les rotations et les orientations en dimension 3. Par exemple, il est fréquent que les systèmes de commande de déplacement d'un vaisseau spatial soient régis en termes de quaternions. La raison est qu'effectuer beaucoup d'opérations sur les quaternions est numériquement plus stable que d'effectuer beaucoup d'opérations sur les matrices.

Interpolation de rotations

Si l'on prend deux rotations de l'espace r_a et r_b, l'interpolation linéaire de ces rotations n'est en général pas une rotation. Pour pouvoir interpoler, il faut soit

• utiliser les angles d'Euler,
• utiliser les quaternions.

Dans le dernier cas, les deux rotations sont représentées par deux quaternions q_a et q_b sur la sphère unité S₃, et l'interpolation correspond à la géodésique entre ces deux points

Voir aussi

Lien externe

Quaternions sur le site de G. Villemin

Articles connexes

• Groupe spécial unitaire
• Matrice de Dirac
• Quaternions de Hurwitz
• Quaternions et rotation dans l'espace
• Structure presque quaternionique