Puissance de deux

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Visualisation des puissances entières de 2, depuis 1 jusqu'à 1024 (20 à 210).

En arithmétique et dans le sens le plus commun, une puissance de deux désigne le produit du nombre entier « 2 » avec lui-même, répété un certain nombre « n » de fois, c'est-à-dire \underbrace{2 \times \cdots \times 2}_{n\ \mathrm{facteurs}} ; ce produit se note le plus souvent 2^n.

Ce cas particulier des puissances entières de deux se généralise dans l'ensemble des nombres réels, par la fonction exponentielle de base 2, dont la fonction réciproque est le logarithme binaire.

Par convention et pour assurer la continuité de cette fonction exponentielle de base « 2 », la puissance zéro de « 2 » est prise égale à « 1 », c'est-à-dire que 2^0=1.

Écrite en système binaire, une puissance de deux est toujours de la forme « 10000…0 », comme c'est le cas pour une puissance de dix écrite dans le système décimal.

Notations usuelles[modifier | modifier le code]

Suivant le domaine d'activité, une puissance de deux se note :

  • 2n
  • 2 ^ n
  • 2 ** n
  • 2 [3] n
  • 2 ↑n
  • puissance(2,n)
  • 1 << n
  • H_3(2,n)
  • 2 \to n \to 1

Il existe plusieurs prononciations :

  • 2 exposant n
  • 2 puissance n
  • 2 à la puissance n
  • 2 élevé à la puissance n
  • n-ième puissance de 2

Informatique[modifier | modifier le code]

Comme « deux » est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).

Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (23) bits, et un kilooctet contient 1 024 (210) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux.

Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a été abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.

La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.

Les résolutions vidéo sont composées nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, une résolution adaptée aux écrans de diagonale 14 pouces.

Premières puissances de deux[modifier | modifier le code]

Les 64 premières puissances de deux :

  • 20 = 1
  • 21 = 2
  • 22 = 4
  • 23 = 8
  • 24 = 16
  • 25 = 32
  • 26 = 64
  • 27 = 128
  • 28 = 256
  • 29 = 512
  • 210 = 1 024
  • 211 = 2 048
  • 212 = 4 096
  • 213 = 8 192
  • 214 = 16 384
  • 215 = 32 768
  • 216 = 65 536
  • 217 = 131 072
  • 218 = 262 144
  • 219 = 524 288
  • 220 = 1 048 576
  • 221 = 2 097 152
  • 222 = 4 194 304
  • 223 = 8 388 608
  • 224 = 16 777 216
  • 225 = 33 554 432
  • 226 = 67 108 864
  • 227 = 134 217 728
  • 228 = 268 435 456
  • 229 = 536 870 912
  • 230 = 1 073 741 824
  • 231 = 2 147 483 648
  • 232 = 4 294 967 296
  • 233 = 8 589 934 592
  • 234 = 17 179 869 184
  • 235 = 34 359 738 368
  • 236 = 68 719 476 736
  • 237 = 137 438 953 472
  • 238 = 274 877 906 944
  • 239 = 549 755 813 888
  • 240 = 1 099 511 627 776
  • 241 = 2 199 023 255 552
  • 242 = 4 398 046 511 104
  • 243 = 8 796 093 022 208
  • 244 = 17 592 186 044 416
  • 245 = 35 184 372 088 832
  • 246 = 70 368 744 177 664
  • 247 = 140 737 488 355 328
  • 248 = 281 474 976 710 656
  • 249 = 562 949 953 421 312
  • 250 = 1 125 899 906 842 624
  • 251 = 2 251 799 813 685 248
  • 252 = 4 503 599 627 370 496
  • 253 = 9 007 199 254 740 992
  • 254 = 18 014 398 509 481 984
  • 255 = 36 028 797 018 963 968
  • 256 = 72 057 594 037 927 936
  • 257 = 144 115 188 075 855 872
  • 258 = 288 230 376 151 711 744
  • 259 = 576 460 752 303 423 488
  • 260 = 1 152 921 504 606 846 976
  • 261 = 2 305 843 009 213 693 952
  • 262 = 4 611 686 018 427 387 904
  • 263 = 9 223 372 036 854 775 808

Puissance de deux ayant comme exposant une puissance de deux[modifier | modifier le code]

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.

L'encadré ci-dessous montre la courte liste des huit premières occurrences de 2^{2^n} (n allant de 0 à 7) :

  • n = 0 : 21 = 2
  • n = 1 : 22 = 4
  • n = 2 : 24 = 16
  • n = 3 : 28 = 256
  • n = 4 : 216 = 65 536
  • n = 5 : 232 = 4 294 967 296
  • n = 6 : 264 = 18 446 744 073 709 551 616
  • n = 7 : 2128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

La notation 2^{2^n} signifie 2^{(2^n)} et non (2^2)^n, cette dernière expression valant en fait 2^{2n}.

Autres puissances de deux remarquables[modifier | modifier le code]

  • 224 = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateur.
    Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
  • 264 -1 = 18 446 744 073 709 551 615, est le nombre de grains de blé que Sissa, l'inventeur légendaire du jeu d'échecs, a demandé à son seigneur : un (20) sur la première case, deux (21) sur la deuxième case, puis quatre (22), huit (23), seize (24), etc. jusqu'à 263 car un échiquier comporte 64 cases. Il aurait ainsi dû recevoir 264-1 grains, nombre tellement élevé que même en 2012, il représente 1000 fois la production mondiale annuelle de blé.

Théorèmes[modifier | modifier le code]

  • La somme des n premières puissances de 2 est égale à la puissance de 2 suivante moins 1 :
    S_n = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n-1
    ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1 :
    2^n=S_n+1.~
  • Un entier est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres binaires sont tous des zéros.
  • De même en binaire, un entier n est une puissance de 2 si et seulement si tous les bits de n et de n-1 sont différents, ce qui s'écrit : n & (n-1) = 0.
  • Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.
  • Les chiffres de l'unité des puissances successives de 2 est une suite récurrente (2, 4, 8 et 6).

Nombre premier de Mersenne[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Mersenne premier.

On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme 2N–1. Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 25–1.

Pour que 2N–1 soit premier, il est nécessaire que N le soit, mais cette condition n'est pas suffisante. Le plus petit contre-exemple est 211–1 = 2047 = 23 × 89.

Notes et références[modifier | modifier le code]