Puissance de deux

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En mathématiques, la puissance de deux d'un nombre réel x est 2x. C'est un cas particulier des fonctions exponentielles de base a. Sa fonction réciproque est le logarithme binaire.

La restriction de cette fonction sur les entiers naturels donne les puissances entières de deux qui sont un produit construit à partir du nombre deux multiplié par lui-même un certain nombre de fois. Un est une puissance (la puissance zéro) de deux. Écrite en binaire, une puissance de deux est toujours de la forme 10000…0, comme une puissance de dix dans le système décimal.

Comme deux est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).

Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (23) bits, et un kilooctet contient 1 024 (210) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux (on est actuellement en train d'entamer une transition de 32 à 64 sur les PC).

Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et/ou nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors ce que l'on nommait une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a fini par être abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.

La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.

On retrouve dans les résolutions vidéo des nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, une résolution adaptée aux écrans de diagonale 14′′.

On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme 2N–1. Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 25–1. Pour que 2N–1 soit premier, il est nécessaire que N le soit, mais cette condition n'est pas suffisante. Le plus petit contre-exemple est 211–1 = 2047 = 23 × 89.

On peut aussi remarquer que le chiffre de l'unité est une suite (2,4,8,6) : 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, ...

Les quarante premières puissances de deux[modifier | modifier le code]

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1 024
211 = 2 048
212 = 4 096
213 = 8 192
214 = 16 384
215 = 32 768
216 = 65 536
217 = 131 072
218 = 262 144
219 = 524 288
220 = 1 048 576
221 = 2 097 152
222 = 4 194 304
223 = 8 388 608
224 = 16 777 216
225 = 33 554 432
226 = 67 108 864
227 = 134 217 728
228 = 268 435 456
229 = 536 870 912
230 = 1 073 741 824
231 = 2 147 483 648
232 = 4 294 967 296
233 = 8 589 934 592
234 = 17 179 869 184
235 = 34 359 738 368
236 = 68 719 476 736
237 = 137 438 953 472
238 = 274 877 906 944
239 = 549 755 813 888

Puissances de deux qui ont comme exposant des puissances de deux[modifier | modifier le code]

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.
Une courte liste de certaines d'entre-elles :

2   =   21
4   =   22
16   =   24
256   =   28
65 536   =   216
4 294 967 296   =   232
18 446 744 073 709 551 616   =   264
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456   =   2128
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936   =   2256  

Autres puissances de deux remarquables[modifier | modifier le code]

  • 224 = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateur.
    Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
  • 264 -1 = 18 446 744 073 709 551 615 , est le nombre de grains de blé que Sissa, l'inventeur légendaire du jeu d'échecs, a demandé à son seigneur : un (20) sur la première case, deux (21) sur la deuxième case, puis quatre (22), huit (23), seize (24), etc. jusqu'à 263 car un échiquier comporte 64 cases. Il aurait ainsi dû recevoir 264-1 grains, nombre tellement élevé que même en 2012, il représente 1000 fois la production mondiale annuelle de blé.

Théorèmes[modifier | modifier le code]

  • La somme des n premières puissances de 2 est égale à la puissance de 2 suivante moins 1 :
    S_n = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n-1
    ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1 :
    2^n=S_n+1.~
  • Un entier est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres binaires sont tous des zéros.
  • De même en binaire, un entier n est une puissance de 2 si et seulement si tous les bits de n et de n-1 sont différents, ce qui s'écrit : n & (n-1) = 0.
  • Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.


Voir aussi[modifier | modifier le code]