Puissance de deux

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Visualisation des puissances entières de 2, depuis 1 jusqu'à 1024 (20 à 210).

En arithmétique et dans le sens le plus commun, une puissance de deux désigne le produit du nombre entier « 2 » avec lui-même, répété un certain nombre « n » de fois, c'est-à-dire \underbrace{2 \times \cdots \times 2}_{n\ \mathrm{facteurs}} ; ce produit se note le plus souvent 2^n.

Ce cas particulier des puissances entières de deux se généralise dans l'ensemble des nombres réels, par la fonction exponentielle de base 2, dont la fonction réciproque est le logarithme binaire.

Par convention et pour assurer la continuité de cette fonction exponentielle de base « 2 », la puissance zéro de « 2 » est prise égale à « 1 », c'est-à-dire que 2^0=1.

Écrite en système binaire, une puissance de deux est toujours de la forme « 10000…0 », comme c'est le cas pour une puissance de dix écrite dans le système décimal.

Notations usuelles[modifier | modifier le code]

Suivant le domaine d'activité (mathématiques, informatique...) , une puissance de deux se notera :

  • 2n
  • 2 ^ n
  • 2 ** n
  • 2 [3] n
  • 2 ↑n
  • puissance(2,n)
  • 1 << n
  • H_3(2,n)
  • 2 \to n \to 1

et se prononcera selon le contexte (commentaire de démonstration, discours...)

  • 2 exposant n
  • 2 puissance n
  • 2 à la puissance n
  • 2 élevé à la puissance n
  • n-ième puissance de 2

Informatique[modifier | modifier le code]

Comme « deux » est la base du système binaire, les puissances de deux sont importantes en informatique. De manière plus précise, deux à la puissance n est le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés, et ainsi ces nombres représentent une puissance de deux moins un dénotent la limite supérieure des entiers s'ils sont interprétés en tant qu'entiers sans signe (représenter la puissance de 2 elle-même (sans le -1) demanderait un bit de plus).

Les tailles de mémoire des ordinateurs utilisent aussi les puissances de 2. Un octet contient (23) bits, et un kilooctet contient 1 024 (210) octets. Presque tous les registres de processeurs ont des tailles qui sont des puissances de deux (on est actuellement en train d'entamer une transition de 32 à 64 sur les PC).

Les puissances de deux ont occupé une place dans les anciens lecteurs de disques : taille de secteur, nombre de secteur par piste, et/ou nombre de piste par surface étaient souvent des puissances de deux. Les disques avaient alors ce que l'on nommait une géométrie (nombre fixe de secteurs par piste), ce qui a fini par être abandonné au profit d'une densité d'enregistrement à peu près constante (davantage de secteurs vers l'extérieur) au prix d'un peu d'électronique additionnelle.

La taille du bloc logique est restée, pour des raisons historiques et de commodité de calcul, une puissance de deux.

On retrouve dans les résolutions vidéo des nombres qui ne sont pas des puissances de deux, mais sont souvent la somme ou le produit de deux ou trois puissances de deux, ou des puissances de deux moins un. Par exemple, 640 = 512 + 128, et 480 = 32 × 15, une résolution adaptée aux écrans de diagonale 14′′.

Les premières puissances de deux[modifier | modifier le code]

On peut remarquer que les chiffres de l'unité des puissances successives de 2 est une suite récurrente (2,4,8,6). Pour mettre en évidence cette propriété et rythmer la lecture, les puissances d'exposant multiple de 4 sont en gras dans l'encadré et le tableau ci-dessous.

Le premier encadré ci-dessous liste les quarante premières puissances de deux. Les valeurs faisant l'objet d'un article détaillée y sont cliquables.

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1 024
211 = 2 048
212 = 4 096
213 = 8 192
214 = 16 384
215 = 32 768
216 = 65 536
217 = 131 072
218 = 262 144
219 = 524 288
220 = 1 048 576
221 = 2 097 152
222 = 4 194 304
223 = 8 388 608
224 = 16 777 216
225 = 33 554 432
226 = 67 108 864
227 = 134 217 728
228 = 268 435 456
229 = 536 870 912
230 = 1 073 741 824
231 = 2 147 483 648
232 = 4 294 967 296
233 = 8 589 934 592
234 = 17 179 869 184
235 = 34 359 738 368
236 = 68 719 476 736
237 = 137 438 953 472
238 = 274 877 906 944
239 = 549 755 813 888


Le tableau suivant liste les 96 premières puissances de deux (attention : la séparation des milliers par un point est une ancienne convention, actuellement fautive en notation française).

Une liste encore plus étendue, jusqu'à la 1000e puissance de deux, est accessible à partir de la suite A000079 de l'OEIS.

20 = 1 216 = 65.536 232 = 4.294.967.296 248 = 281.474.976.710.656 264 = 18.446.744.073.709.551.616 280 = 1.208.925.819.614.629.174.706.176
21 = 2 217 = 131.072 233 = 8.589.934.592 249 = 562.949.953.421.312 265 = 36.893.488.147.419.103.232 281 = 2.417.851.639.229.258.349.412.352
22 = 4 218 = 262.144 234 = 17.179.869.184 250 = 1.125.899.906.842.624 266 = 73.786.976.294.838.206.464 282 = 4.835.703.278.458.516.698.824.704
23 = 8 219 = 524.288 235 = 34.359.738.368 251 = 2.251.799.813.685.248 267 = 147.573.952.589.676.412.928 283 = 9.671.406.556.917.033.397.649.408
24 = 16 220 = 1.048.576 236 = 68.719.476.736 252 = 4.503.599.627.370.496 268 = 295.147.905.179.352.825.856 284 = 19.342.813.113.834.066.795.298.816
25 = 32 221 = 2.097.152 237 = 137.438.953.472 253 = 9.007.199.254.740.992 269 = 590.295.810.358.705.651.712 285 = 38.685.626.227.668.133.590.597.632
26 = 64 222 = 4.194.304 238 = 274.877.906.944 254 = 18.014.398.509.481.984 270 = 1.180.591.620.717.411.303.424 286 = 77.371.252.455.336.267.181.195.264
27 = 128 223 = 8.388.608 239 = 549.755.813.888 255 = 36.028.797.018.963.968 271 = 2.361.183.241.434.822.606.848 287 = 154.742.504.910.672.534.362.390.528
28 = 256 224 = 16.777.216 240 = 1.099.511.627.776 256 = 72.057.594.037.927.936 272 = 4.722.366.482.869.645.213.696 288 = 309.485.009.821.345.068.724.781.056
29 = 512 225 = 33.554.432 241 = 2.199.023.255.552 257 = 144.115.188.075.855.872 273 = 9.444.732.965.739.290.427.392 289 = 618.970.019.642.690.137.449.562.112
210 = 1.024 226 = 67.108.864 242 = 4.398.046.511.104 258 = 288.230.376.151.711.744 274 = 18.889.465.931.478.580.854.784 290 = 1.237.940.039.285.380.274.899.124.224
211 = 2.048 227 = 134.217.728 243 = 8.796.093.022.208 259 = 576.460.752.303.423.488 275 = 37.778.931.862.957.161.709.568 291 = 2.475.880.078.570.760.549.798.248.448
212 = 4.096 228 = 268.435.456 244 = 17.592.186.044.416 260 = 1.152.921.504.606.846.976 276 = 75.557.863.725.914.323.419.136 292 = 4.951.760.157.141.521.099.596.496.896
213 = 8.192 229 = 536.870.912 245 = 35.184.372.088.832 261 = 2.305.843.009.213.693.952 277 = 151.115.727.451.828.646.838.272 293 = 9.903.520.314.283.042.199.192.993.792
214 = 16.384 230 = 1.073.741.824 246 = 70.368.744.177.664 262 = 4.611.686.018.427.387.904 278 = 302.231.454.903.657.293.676.544 294 = 19.807.040.628.566.084.398.385.987.584
215 = 32.768 231 = 2.147.483.648 247 = 140.737.488.355.328 263 = 9.223.372.036.854.775.808 279 = 604.462.909.807.314.587.353.088 295 = 39.614.081.257.132.168.796.771.975.168

Puissance de deux ayant comme exposant une puissance de deux[modifier | modifier le code]

Les cellules de mémoires modernes et les registres manipulent souvent un nombre de bits qui est une puissance de deux, les puissances les plus fréquentes qui apparaissent sont celles dont l'exposant est aussi une puissance de deux.

L'encadré ci-dessous montre la courte liste des 9 premières occurrences de 2^{2^n} (n = 0 à 8).

Une liste plus étendue, jusqu'à n = 13 c'est-à-dire jusqu'à 2(213) soit 28192, est accessible depuis suite A001146 de l'OEIS.

2   =   21 (n = 0)
4   =   22 (n = 1)
16   =   24 (n = 2)
256   =   28 (n = 3)
65 536   =   216 (n = 4)
4 294 967 296   =   232 (n = 5)
18 446 744 073 709 551 616   =   264 (n = 6)
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456   =   2128 (n = 7)
115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936   =   2256   (n = 8)

Attention, la notation 2^{2^n} signifie 2^{(2^n)} et non (2^2)^n, cette dernière expression valant en fait 2^{2n}.

Autres puissances de deux remarquables[modifier | modifier le code]

  • 224 = 16 777 216, le nombre de couleurs uniques qui peuvent être affichées en couleurs vraies, qui est utilisée par la plupart des écrans d'ordinateur.
    Ce nombre est le résultat de l'utilisation du système à trois canaux RVB, avec 8 bits pour chaque canal, ou 24 bits au total.
  • 264 -1 = 18 446 744 073 709 551 615 , est le nombre de grains de blé que Sissa, l'inventeur légendaire du jeu d'échecs, a demandé à son seigneur : un (20) sur la première case, deux (21) sur la deuxième case, puis quatre (22), huit (23), seize (24), etc. jusqu'à 263 car un échiquier comporte 64 cases. Il aurait ainsi dû recevoir 264-1 grains, nombre tellement élevé que même en 2012, il représente 1000 fois la production mondiale annuelle de blé.

Théorèmes[modifier | modifier le code]

  • La somme des n premières puissances de 2 est égale à la puissance de 2 suivante moins 1 :
    S_n = \sum_{i=0}^{n-1} 2^i = 2^n-1
    ou encore : toute puissance de 2 est égale à la somme de toutes les puissances de 2 inférieures plus 1 :
    2^n=S_n+1.~
  • Un entier est divisible par 2n si et seulement si ses n derniers chiffres binaires sont tous des zéros.
  • De même en binaire, un entier n est une puissance de 2 si et seulement si tous les bits de n et de n-1 sont différents, ce qui s'écrit : n & (n-1) = 0.
  • Les puissances de 2 sont les seuls nombres qui ne sont pas divisibles par un nombre impair autre que 1.

Nombre premier de Mersenne[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre de Mersenne premier.

On nomme nombre premier de Mersenne un nombre premier de la forme 2N–1.

Par exemple, le nombre premier 31, qui s'écrit sous la forme 25–1.

Pour que 2N–1 soit premier, il est nécessaire que N le soit, mais cette condition n'est pas suffisante.

Le plus petit contre-exemple est 211–1 = 2047 = 23 × 89.

Notes et références[modifier | modifier le code]


Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]