Srinivasa Ramanujan

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec cet autre mathématicien : C. P. Ramanujam (en).

Srinivasa Ramanujan

alt=Description de l'image Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg.
Naissance 22 décembre 1887
Erode (Raj britannique)
Décès 26 juin 1920 (à 32 ans)
Kumbakonam, près de Chennai (Raj britannique)
Domicile Tamil Nadu
Drapeau de l'Empire britanniques des Indes Inde britannique
Nationalité Indienne
Champs Mathématiques
Renommé pour Constante de Landau-Ramanujan
Nombre premier de Ramanujan
Constante de Ramanujan-Soldner
Sommes de Ramanujan (en)

Srinivâsa Aiyangâr Râmânujan, en tamoul : ஸ்ரீனிவாஸ ஐயங்கார் ராமானுஜன் (Prononciation du titre dans sa version originale Écouter), (22 décembre 188726 avril 1920) est un mathématicien indien.

Né en Inde, dans une famille de brahmanes pauvre et orthodoxe, il était autodidacte et resta toujours très autonome. Il apprit les mathématiques à partir de deux uniques livres qu'il s'était procurés avant ses 15 ans : La Trigonométrie plane de S. Looney, et Synopsis of Elementary Results in Pure Mathematics de S. Carr qui contenait une liste de quelque 6 000 théorèmes sans démonstration. Ces deux ouvrages lui permirent d'établir une grande quantité de résultats sur la théorie des nombres, les fonctions elliptiques, les fractions continues et les séries impropres, tout en créant son propre système de représentation symbolique pour arriver à ces résultats. Jugeant son entourage académique dépassé, il publia plusieurs articles dans les journaux mathématiques indiens et tenta alors d'intéresser les mathématiciens européens à son travail par des lettres qu'il leur envoyait.

Une lettre de 1913 à Godfrey Harold Hardy contenait une longue liste de formules et de théorèmes sans démonstration. Hardy considéra tout d'abord cet envoi inhabituel comme une supercherie, puis – interpellé par l'étrangeté de certains théorèmes – en discuta longuement avec John Littlewood pour aboutir à la conviction que son auteur était certainement un « homme de génie »[1]. Hardy lui répondit et invita Ramanujan à venir en Angleterre ; une collaboration fructueuse, en compagnie de Littlewood, en résulta.

Hardy déclara, à propos de certaines formules qu'il ne pouvait comprendre, qu'« un seul coup d'œil sur ces formules était suffisant pour se rendre compte qu'elles ne pouvaient être pensées que par un mathématicien de tout premier rang. Elles devaient être vraies, parce que personne n'eût pu avoir l'idée de les concevoir fausses[2]. » Hardy aimait classer les mathématiciens sur une échelle de 1 à 100. Il s'attribuait 25, donnait 30 à Littlewood, 80 à David Hilbert et 100 à Ramanujan.

Tourmenté toute sa vie par des problèmes de santé, Ramanujan vit son état empirer en Angleterre ; il retourna en Inde en 1919 et mourut peu de temps après à Kumbakonam260 km de Madras) à l'âge de 32 ans. Il laissa derrière lui des livres entiers de résultats non démontrés (appelés Cahiers de Ramanujan) qui continuent d'être étudiés au début du XXIe siècle.

Ramanujan travailla principalement en théorie analytique des nombres et devint célèbre pour ses formules sommatoires impliquant des constantes telles que π et e, des nombres premiers et la fonction partage d'un entier obtenue avec Godfrey Harold Hardy.

Ramanujan avait un raisonnement très rapide, ce qui faisait dire à certains de ses contemporains qu'il était un mathématicien « naturel », voire un génie[3].

Biographie[modifier | modifier le code]

Jeunesse[modifier | modifier le code]

Ramanujan est né le 22 décembre 1887 à Erode, dans l'actuel état du Tamil Nadu en Inde, dans la résidence de ses grands-parents maternels. Son père, K. Srinivasa Iyengar, né à Tanjavûr, travaillait comme commis dans un magasin de sari. Sa mère, Komalatammal ou Komal Ammal était femme au foyer et chantait au temple. Ils vivaient dans une maison traditionnelle (aujourd'hui transformée en musée) de la rue Sarangapanidans à Kumbakonam. Lorsqu'il avait un an et demi, sa mère accoucha d'un fils, nommé Sadagopan, qui ne vécut que trois mois. En décembre 1889, Ramanujan eut la variole mais guérit ; il déménagea ensuite dans la maison de ses grands parents maternels, à Kanchipuram, non loin de Madras. En novembre 1891, et de nouveau en 1894, sa mère donna naissance à deux enfants, qui moururent en bas âge.

Le 1er octobre 1892, Ramanujan entra à l'école. Après la perte de son emploi de fonctionnaire à la cour de Kanchipuram, Ramanujan et sa mère retournèrent à Kumbakonam et on sait qu'il a été inscrit à l'école primaire. À la mort de son grand-père paternel, il fut renvoyé chez ses grands-parents maternels, qui ont alors déménagé à Madras. N'aimant pas l'école de Madras, il séchait les cours. C'est pourquoi sa famille fit appel à un agent de police pour s'assurer qu'il fréquentait l'école. Dans les six mois, Ramanujan était de retour à Kumbakonam.

Dès lors, le père de Ramanujan étant au travail toute la journée, sa mère prit grand soin de lui, et sa relation avec elle fut étroite. Elle lui apprit notamment la tradition et le pourâna. Il apprit aussi à chanter des chants religieux, pour assister à pujas au temple. À l'école primaire Kangayan, Ramanujan était un brillant élève. En effet juste avant ses 10 ans, en novembre 1897, il termina premier de son quartier[4] aux examens de primaire (en anglais, en tamoul, en géographie et en arithmétique). Cette même année, Ramanujan rencontre pour la première fois les mathématiques formelles grâce à son passage dans l'enseignement secondaire[4].

À 11 ans, il avait déjà un niveau meilleur que deux étudiants d'université locataires chez lui. Plus tard, il reçut un livre sur la trigonométrie avancée écrit par Sidney Luxton Loney. Dès 13 ans, il maîtrisait les connaissances issues de ce livre, et découvrit déjà quelques théorèmes. À 14 ans, il reçut ses certificats de mérite et une bourse universitaire. À l'âge de 16 ans, Ramanujan eut entre les mains un livre de George S. Carr, intitulé A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics. C'est ce livre qui introduisit le plus profondément Ramanujan dans le monde des mathématiques. À 17 ans, il avait étudié en profondeur les nombres de Bernoulli et avait calculé la constante d'Euler jusqu'à 15 décimales. C'est ce qui explique que ses camarades affirmaient « rarement le comprendre ».

Diplômé de la Town Higher Secondary School de Kumbakonam en 1904, Ramanujan reçut le prix K. Ranganatha Rao pour les mathématiques, des mains du directeur de l'école, M. Krishnaswami Iyer. C'est ce dernier qui introduisit Ramanujan au Government College à Kumbakonam en tant qu'étudiant exceptionnel. Mais à cause de son travail uniquement concentré sur les mathématiques, il perdit sa bourse d'étude, et, en août 1905, il s'enfuit de la maison, en direction de Visakhapatnam. Plus tard, il s'inscrivit au collège Pachaiyappa, à Madras. Encore excellent en mathématiques, mais avec des résultats médiocres dans les autres disciplines telles la physiologie, Ramanujan rata l'examen, en décembre 1906 et de nouveau un an plus tard. Il continua cependant par la suite à poursuivre des recherches indépendantes en mathématiques, tout en vivant dans une pauvreté extrême, et n'ayant bien souvent rien à manger…

Vie en Inde[modifier | modifier le code]

Le 14 juillet 1909, il se maria à Janaki Ammal. Pour gagner de l'argent, il aida des étudiants à préparer leur examen de fin d'année, au Presidency College. Craignant pour sa santé, à la fin des années 1910, il demanda à son ami Radakrishna Iyer, de donner ses cahiers mathématiques au professeur Singaravelu Mudaliar, du Pachaiyappa's College, ou au professeur britannique Edward B. Ross, du Christian College[5]. Après sa guérison, Ramanujan partit en train de Kumbakonam à Viluppuram, ville sous contrôle français.

Attention des mathématiciens à Ramanujan[modifier | modifier le code]

Il rencontra V. Ramaswamy Aiyer (en), fondateur de la Société indienne de mathématiques (en). Ramanujan, qui souhaitait un emploi au département des recettes où Aiyer travaillait, lui montra ses cahiers de mathématiques. Comme Aiyer le raconta plus tard :

« J'ai été frappé par la mathématique des résultats extraordinaires qu'ils contenaient [les cahiers]. Je n'avais pas l'esprit d'étouffer son génie en lui attribuant un poste dans le bas de l'échelle du ministère du Revenu. »

Aiyer envoya Ramanujan, avec des lettres d'introduction, à des amis mathématiciens à Madras, desquels il obtint des lettres d'introduction auprès de R. Ramachandra Rao, le secrétaire de la société indienne de mathématique.

Personnalité et vie religieuse[modifier | modifier le code]

Ramanujan a été décrit comme une personne avec une disposition quelque peu timide et calme, un homme honoré avec des manières agréables[6]. Il a vécu une existence plutôt spartiate à Cambridge. Les premiers biographes indiens de Ramanujan le décrivent comme un hindou rigoureusement orthodoxe. Ramanujan a crédité sa capacité de réflexion à sa déesse familiale (en), Namagiri (en) de Namakkal (en). Il a ainsi compté sur elle pour l'inspiration concernant son travail[7] et revendiqua rêver des gouttes de sang qui symbolisent son époux masculin, Narasimha, avatar de Vishnou, après avoir reçu les visions de rouleaux de contenu mathématique complexe se révélant sous ses yeux[8] Ramanujan disait souvent : « Une équation pour moi n'a aucune signification, à moins qu'elle ne représente une pensée de Dieu[9],[10]. »

Hardy cite Ramanujan concernant les remarques de ce dernier qui pensait que toutes les religions lui semblaient également vraies[11]. Hardy considéra que la piété de Ramanujan avait été idéalisée par les Occidentaux et exagérée — en référence à sa croyance, pas pratique — par des biographes indiens. En même temps, il a fait des remarques sur l'observance stricte de Ramanujan du végétarisme.

Formules[modifier | modifier le code]

Ramanujan est célèbre pour son extraordinaire productivité en matière de formules. Hardy a déclaré, faisant allusion à Leonhard Euler, lui aussi grand créateur de formules extraordinaires, qu'il « était né 200 ans trop tard », et, concernant la lettre qu'il lui avait envoyée en 1913, que les formules qu'elles contenaient (et qui, pour la plupart, « ne ressemblaient à rien de ce qu'il connaissait ») ne pouvaient qu'être justes, car « personne n'aurait eu une imagination suffisante pour les inventer et qu'elles soient fausses[12]. »

Deux exemples spectaculaires de sa créativité sont les formules suivantes :

\sqrt{\varphi+2}- \varphi = \cfrac{{\rm e}^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{{\rm e}^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{{\rm e}^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{{\rm e}^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}}

reliant le nombre d'or, \varphi=\frac{1+\sqrt5}2 et une fraction continue généralisée mettant en jeu e et π ;

 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 +                                     {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{{\rm e}\pi}2}.

Cette seconde formule combine une série infinie et une fraction continue généralisée pour donner une relation entre les deux plus célèbres constantes des mathématiques.

Jonathan (en) et Peter Borwein ont démontré récemment une autre formule qu'il avait découverte en 1910 (comme très souvent, sans en donner de preuve) :

 \pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \displaystyle\sum^\infty_{n=0} \frac{(4n)!}{(n!)^4} \times \frac{1103 + 26390n}{(4 \times 99)^{4n}}}

Elle est très efficace puisqu'elle fournit 8 décimales supplémentaires de π à chaque nouveau terme de la série.

Dans un genre un peu différent, il découvrit également l'étonnante identité suivante, permettant de construire des exemples de sommes de trois cubes égales à un cube :

(3x^2+5xy-5y^2)^3 + (4x^2-4xy+6y^2)^3 + (5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3  ;

cette égalité, qui généralise la curieuse coïncidence numérique 33 + 43 + 53 = 63 = 216, est aisée à vérifier par un simple développement algébrique, mais semble impossible à obtenir sans disposer d'une théorie générale ; là encore, on ignore si Ramanujan en possédait une ; la question est peut-être liée aux nombres de Ramanujan[réf. souhaitée].

Nombres de Ramanujan[modifier | modifier le code]

  • Un « nombre de Ramanujan » est un entier naturel qui peut s'exprimer comme la somme de deux cubes de deux façons différentes.
    Hardy rapporte l'anecdote suivante[12],[13] :

« Je me souviens que j'allais le voir une fois, alors qu'il était malade, à Putney. J'avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait peu intéressant, ajoutant que j'espérais que ce ne fût pas mauvais signe.
- Non, me répondit-il, c'est un nombre très intéressant : c'est le plus petit nombre décomposable en somme de deux cubes de deux manières différentes. »

En effet, 9^3 + 10^3 = 1^3 + 12^3 = 1729.

  • D'autres nombres ayant cette propriété avaient été trouvés par le mathématicien français Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675) :
    • 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3 = 4 104
    • 10^3 + 27^3 = 19^3 + 24^3 = 20 683
    • 2^3+ 34^3 = 15^3 + 33^3 = 39 312
    • 9^3 + 34^3 = 16^3 + 33^3 = 40 033
  • Le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux puissances quatrièmes est 635 318 657, et c'est Euler (1707-1783) qui l'a trouvé : 158^4 + 59^4 = 133^4 + 134^4 = 635 318 657.
  • Le n-ième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Ainsi, Ta(1) = 2 = 13 + 13, Ta(2) = 1 729 et Ta(3) = 87 539 319. Il existe une variante du nombre taxicab : un nombre cabtaxi est défini comme le plus petit entier naturel non nul pouvant s'écrire de n façons différentes (à l'ordre des termes près) comme somme de deux cubes positifs, nuls ou négatifs.
  • La Preuve, de l'Américain David Auburn (en), est une pièce de théâtre évoquant ce concept. Elle a reçu un prix Pulitzer (2001). Les deux personnages principaux sont un mathématicien de génie qui a sombré dans la folie et sa fille qui doit prendre la relève. Une version française, en 2002, réunissait Rufus dans le rôle du mathématicien et Anouk Grinberg (puis Elsa Zylberstein) dans celui de la fille.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Srinivasa Ramanujan » (voir la liste des auteurs).

  1. C. P. Snow, postface de Godfrey Harold Hardy, L'Apologie d'un mathématicien (en), Belin,‎ 1985 (ISBN 2-7011-0530-7).
  2. « Ramanujan, un mathématicien indien » dans Hardy 1985.
  3. « Hardy décida que Ramanujan avait autant de génie naturel que Gauss ou Euler » C.P. Snow, postface de Hardy 1985.
  4. a et b (en) Robert Kanigel (en), The Man Who Knew Infinity (en),‎ 1991, p. 25.
  5. Kanigel 1991, p. 74-75 : « to hand these [my mathematical notebooks] over to Professor Singaravelu Mudaliar [mathematics professor at Pachaiyappa's College] or to the British professor Edward B. Ross, of the Madras Christian College ».
  6. « Ramanujan's Personality ».
  7. Kanigel 1991, p. 36.
  8. Kanigel 1991, p. 281.
  9. (en) « Some Math Quotes ».
  10. Gregory Chaitin, « Less Proof, More Truth », New Scientist, no 2614,‎ 2007-07-28, p. 49.
  11. Kanigel 1991, p. 283.
  12. a et b Hardy 1985.
  13. (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « Quotations by G H Hardy », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews (lire en ligne)..

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) G. H. Hardy, « The Indian Mathematician Ramanujan », dans Amer. Math. Monthly, vol. 44, no 3, mars 1937, p. 137-155
  • Jonathan Borwein et Peter Borwein, « Srinivasa Ramanujan », Pour la Science, dossier hors série Les Mathématiciens, janvier 1994, p. 108-116
  • Bernard Randé, Les carnets indiens de Srivanasa Ramanujan, Cassini, 2002 (ISBN 2-84225-065-6)
  • David Leavitt, Le comptable indien, Denoël, 2009 (ISBN 2-207-26004-6)