Somme (arithmétique)

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En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l'associativité de l'addition, la somme d'un ensemble fini de nombres est bien définie indépendamment de l'ordre dans lequel est faite l'addition, mais il n'existe pas toujours de formule réduite pour l'exprimer. Les méthodes employées pour obtenir de telles formules sont liées à l'étude des séries numériques.

Les sommes de suites de nombres peuvent être notées à l'aide du symbole somme \sum, dont la graphie évoque la lettre grecque Sigma majuscule.

La limite d'une série est également appelée une somme, même si elle ne s'obtient pas directement par une addition finie.

Exemples[modifier | modifier le code]

Somme des premiers entiers[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n, la somme des n premiers entiers fait l'objet de l'identité :

S = 1 + 2 + 3 + ... +(n - 1) + n =\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}

Le calcul de cette somme fait l'objet d'une anecdote concernant Carl Friedrich Gauss, et racontée par lui-même, selon laquelle à l'âge de neuf ans, il aurait stupéfié son enseignant en calculant très rapidement la somme des 200 premiers entiers, alors qu'il s'attendait à ce que ce calcul l'occupât un long moment. La méthode pour effectuer rapidement ce calcul est :


\begin{array}{lr*{10}{c}}
& S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n-1 &+& n\\
\text{ou encore } & S &=& n &+& n-1 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\ 
\mbox{de somme : } & S+S &=& n+1 &+& n+1 &+& \cdots &+& n+1 &+& n+1\\
\end{array}

On a ainsi : \displaystyle 2S = n(n+1) , d'où on tire : S = \frac{n(n+1)}{2}

Somme des premières puissances[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Faulhaber.

Pour tout entier n, la somme des n premiers carrés d'entiers vérifie l'identité :

\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(2n+1)(n+1)n}{6}

Cette identité peut faire l'objet de nombreuses démonstrations différentes. La plus simple consiste en une simple démonstration par récurrence, mais nécessite que la formule soit connue au préalable. Une méthode pour retrouver la formule sans qu'elle soit connue est de considérer le signe somme comme une opération d'intégration, ce qui amène naturellement à chercher une « primitive » de n2 comme un polynôme de degré 3 : P(n) = an³ + bn² + cn + d. Le terme primitive correspond ici à une notion d'intégrale discrète, c'est-à-dire qu'on souhaite que soit vérifiée l'équation :

P(i)-P(i-1)=i^2\,

Cette équation amène aux valeurs a=\frac13,\;b=\frac12,\;c=\frac16, puis en sommant l'identité précédente pour i allant de 0 jusqu'à n, permet de montrer l'identité annoncée.

Une autre méthode, basée aussi sur cette idée de primitive consiste à partir de l'identité :

\int_i^{i+1}x^2dx\,\!=i^2+i+\frac13,

et à la sommer pour i allant de 0 jusqu'à n, ce qui permet d'obtenir :

\frac{(n+1)^3}{3}=\int_0^{n+1}x^2dx\,\!=\sum_{i=0}^n \bigg(i^2+i+\frac13\bigg).

En supposant déjà connue la formule pour la somme des n premiers entiers, l'identité souhaitée s'en déduit.

Ces deux méthodes par primitive permettent de généraliser au calcul de la somme des n premières puissances ke ; la deuxième nécessitant toutefois un calcul par récurrence sur k. Les formules obtenues pour k=3, et k=4 sont :

\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}.
\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n}{30}(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n -1).

Les formules générales, appelées formules de Faulhaber, font intervenir les nombres de Bernoulli.

Diviseurs d'un entier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme des diviseurs.

Tout entier strictement positif a un nombre fini de diviseurs, qui peuvent être listés par test successifs sur les entiers strictement inférieurs ou par produits de combinaisons de ses facteurs premiers.

La somme des diviseurs σ définit une fonction arithmétique, c'est-à-dire que si a et b sont deux entiers premiers entre eux, on a σ(ab) = σ(a) σ(b).

L'entier 6 est parfait car il est égal à la somme de ses diviseurs stricts : s(6) = 1+2+3 = 6. L'entier 10 est déficient : s(10) = 1+2+5 = 8 < 10. L'entier 12 est abondant : s(12) = 1+2+3+4+6 = 16 > 12.

Coefficients binomiaux[modifier | modifier le code]

Pour tout nN, pour tout entier k entre 0 et n, le coefficient binomial \binom{n}{k} correspond au nombre de combinaisons de k éléments dans un ensemble de n éléments.

La somme de ces coefficients pour n fixé, autrement dit la somme des termes sur une ligne du triangle de Pascal, correspond donc au nombre de parties d'un ensemble à n éléments, ce qui donne l'égalité

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.

La somme des coefficients binomiaux selon une diagonale du triangle de Pascal satisfait aussi la formule :

 \sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k} = \binom{n}{k+1}

Sommes de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme de Riemann.

Sous des hypothèses sur les intervalles et la fonction f, les sommes de Riemann s'écrivent :

S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)

Elles permettent de calculer l'intégrale de la fonction f :

\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt\,\!

Autres sommes[modifier | modifier le code]

Les relations suivantes sont des identités :

 \sum_{i=0}^n k \cdot\ i = {k \cdot\ n(n+1) \over 2 } (somme d'une suite arithmétique), d'où
 \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2.
Pour x ≠ 1,  \sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} (voir « Série géométrique »).
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln(n) \right) (voir « Constante d'Euler-Mascheroni »).

Pour des exemples de sommes infinies, voir « Série (mathématiques) ».

Calcul effectif[modifier | modifier le code]

Si l'associativité et la commutativité de l'addition permettent en théorie de calculer une somme de plusieurs termes dans n'importe quel ordre, en pratique les approximations successives peuvent mener à des résultats différents en fonction de l'ordre choisi.

Calcul de la somme des inverses des 100 000 premières puissances quatrièmes par ordre décroissant de valeurs puis par ordre croissant de valeurs.
>>> sum(1/n**4 for n in range(1, 100000))
1.082323233710861
>>> sum(1/n**4 for n in range(100000, 1, -1))
1.082323233711138

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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