Somme (arithmétique)

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En mathématiques, la somme de deux nombres est le résultat de leur addition. Elle se calcule de différentes manières selon le système de numération employé. Du fait de la commutativité et de l'associativité de l'addition, la somme d'un ensemble fini de nombres est bien définie indépendamment de l'ordre dans lequel est faite l'addition, mais il n'existe pas toujours de formule réduite pour l'exprimer. Les méthodes employées pour obtenir de telles formules sont liées à l'étude des séries numériques.

Les sommes de suites de nombres peuvent être notées à l'aide du symbole somme \sum, dont la graphie évoque la lettre grecque Sigma majuscule.

La limite d'une série est également appelée une somme, même si elle ne s'obtient pas directement par une addition finie.

Exemples[modifier | modifier le code]

Somme des premiers entiers[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n, la somme des entiers de 1 à n vaut :

S = 1 + 2 + 3 + ... +(n - 1) + n =\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}2.

Le calcul de cette somme fait l'objet d'une légende[1],[2],[3],[4] concernant Carl Friedrich Gauss, selon laquelle à l'âge de neuf ans, il aurait stupéfié son maître d'école Büttner en calculant très rapidement la somme des entiers de 1 à 100, alors que le maître s'attendait à ce que ce calcul occupât toute la classe un long moment. Gauss additionne 1 avec 100, puis 2 avec 99, puis 3 avec 98 et ainsi de suite jusqu'à 50 avec 51. Il obtient une somme de 50 fois la valeur 101, soit 5 050. Seule l'anecdote est infondée ; la méthode, en revanche, est correcte et s'applique à n'importe quel entier n autre que 100 :


\begin{array}{lr*{10}{c}}
& S &=& 1 &+& 2 &+& \cdots &+& n-1 &+& n\\
\text{ou encore } & S &=& n &+& n-1 &+& \cdots &+& 2 &+& 1\\ 
\mbox{de somme : } & S+S &=& n+1 &+& n+1 &+& \cdots &+& n+1 &+& n+1\\
\end{array}

On a ainsi : 2S = n(n+1), d'où l'on tire : S=\frac{n(n+1)}2.

Une autre méthode consiste à vérifier cette formule par récurrence sur n : notons Sn la somme des entiers de 1 à n. La formule Sn = n(n + 1)/2 est vraie pour n = 1[5] et si elle est vraie à l'ordre n – 1 alors elle l'est à l'ordre n car

S_n=S_{n-1}+n=\frac{(n - 1)n}2+n=\frac{n^2-n+2n}2=\frac {n(n+1)}2.

D'autres démonstrations font appel à l'arithmétique géométrique : voir l'article Nombre triangulaire, § « Méthodes de calcul ».

Somme des premières puissances[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Faulhaber.

Pour tout entier n, la somme des n premiers carrés d'entiers vérifie l'identité :

\sum_{i=1}^n i^2=\frac{(2n+1)(n+1)n}6.

Cette identité peut faire l'objet de nombreuses démonstrations différentes. La plus simple consiste en une simple démonstration par récurrence, mais nécessite que la formule soit connue au préalable. Une méthode pour retrouver la formule sans qu'elle soit connue est de considérer le signe somme comme une opération d'intégration, ce qui amène naturellement à chercher une « primitive » de n2 comme un polynôme de degré 3 : P(n) = an³ + bn² + cn + d. Le terme primitive correspond ici à une notion d'intégrale discrète, c'est-à-dire qu'on souhaite que soit vérifiée l'équation :

P(i)-P(i-1)=i^2\,

Cette équation amène aux valeurs a=\frac13,\;b=\frac12,\;c=\frac16, puis en sommant l'identité précédente pour i allant de 0 jusqu'à n, permet de montrer l'identité annoncée.

Une autre méthode, basée aussi sur cette idée de primitive consiste à partir de l'identité :

\int_i^{i+1}x^2dx\,\!=i^2+i+\frac13,

et à la sommer pour i allant de 0 jusqu'à n, ce qui permet d'obtenir :

\frac{(n+1)^3}{3}=\int_0^{n+1}x^2dx\,\!=\sum_{i=0}^n \bigg(i^2+i+\frac13\bigg).

En supposant déjà connue la formule pour la somme des n premiers entiers, l'identité souhaitée s'en déduit.

Ces deux méthodes par primitive permettent de généraliser au calcul de la somme des n premières puissances ke ; la deuxième nécessitant toutefois un calcul par récurrence sur k. Les formules obtenues pour k=3, et k=4 sont :

\sum_{i=1}^n i^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4}.
\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n}{30}(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n -1).

Les formules générales, appelées formules de Faulhaber, font intervenir les nombres de Bernoulli.

Diviseurs d'un entier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme des diviseurs.

Tout entier strictement positif a un nombre fini de diviseurs, qui peuvent être listés par test successifs sur les entiers strictement inférieurs ou par produits de combinaisons de ses facteurs premiers.

La somme des diviseurs σ définit une fonction arithmétique, c'est-à-dire que si a et b sont deux entiers premiers entre eux, on a σ(ab) = σ(a) σ(b).

L'entier 6 est parfait car il est égal à la somme de ses diviseurs stricts : s(6) = 1+2+3 = 6. L'entier 10 est déficient : s(10) = 1+2+5 = 8 < 10. L'entier 12 est abondant : s(12) = 1+2+3+4+6 = 16 > 12.

Coefficients binomiaux[modifier | modifier le code]

Pour tout nN, pour tout entier k entre 0 et n, le coefficient binomial \binom{n}{k} correspond au nombre de combinaisons de k éléments dans un ensemble de n éléments.

La somme de ces coefficients pour n fixé, autrement dit la somme des termes sur une ligne du triangle de Pascal, correspond donc au nombre de parties d'un ensemble à n éléments, ce qui donne l'égalité

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.

La somme des coefficients binomiaux selon une diagonale du triangle de Pascal satisfait aussi la formule :

 \sum_{i=k}^{n-1} \binom{i}{k} = \binom{n}{k+1}

Sommes de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Somme de Riemann.

Sous des hypothèses sur les intervalles et la fonction f, les sommes de Riemann s'écrivent :

S_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})f(x_k)

Elles permettent de calculer l'intégrale de la fonction f :

\lim_{n\rightarrow+\infty}S_n=\int_a^bf(t)dt\,\!

Autres sommes[modifier | modifier le code]

Les relations suivantes sont des identités :

 \sum_{i=0}^n k \cdot\ i = {k \cdot\ n(n+1) \over 2 } (somme d'une suite arithmétique), d'où
 \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2.
Pour x ≠ 1,  \sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} (voir « Série géométrique »).
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln(n) \right) (voir « Constante d'Euler-Mascheroni »).

Pour des exemples de sommes infinies, voir « Série (mathématiques) ».

Calcul effectif[modifier | modifier le code]

Si l'associativité et la commutativité de l'addition permettent en théorie de calculer une somme de plusieurs termes dans n'importe quel ordre, en pratique les approximations successives peuvent mener à des résultats différents en fonction de l'ordre choisi.

Calcul de la somme des inverses des 100 000 premières puissances quatrièmes par ordre décroissant de valeurs puis par ordre croissant de valeurs.
>>> sum(1/n**4 for n in range(1, 100000))
1.082323233710861
>>> sum(1/n**4 for n in range(100000, 1, -1))
1.082323233711138

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Brian Hayes (en) a recensé 111 versions différentes de cette légende, toutes aussi romancées (voir son article « Gauss's Day of Reckoning » dans American Scientist, vol. 94, n° 3, mai-juin 2006 DOI:10.1511/2006.3.200).
  2. L'origine de l'information remonte à l'essai biographique sur Gauss écrit par Wolfgang Sartorius von Waltershausen, Gauss zum Gedächtnis, 1856, p. 12-13 ; les nombres de 1 à 100 ne sont pas indiqués, ni la méthode pour y parvenir.
  3. « Si non è vero, è bene trovato », sur UJF Grenoble,‎ 2011.
  4. Thérèse Eveilleau, « L'escalier des entiers », sur Mathématiques magiques, présente une version de plus de cette anecdote et des exemples d'application de cette méthode.
  5. Et même pour n = 0, avec la convention que la somme vide S0 est nulle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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