Hexagone

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Hexagone régulier
Représentation d'un hexagone régulier
Représentation d'un hexagone régulier

Type Polygone régulier

Symbole de Schläfli {6}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Groupe de symétrie Diédral (D6)
Angle interne 120°
Propriétés Convexe, cyclique, équilatéral, isogonal, isotoxal

Un hexagone (du grec hexi = six et gonia = angle) est un polygone à six sommets et six côtés. Un hexagone peut être de forme régulière (polygone régulier) ou irrégulière (polygone irrégulier).

Un hexagone régulier est un polygone régulier de forme hexagonale dont les six côtés ont tous la même longueur. Les angles internes d'un hexagone régulier sont tous de 120°.

Les hexagones réguliers peuvent se juxtaposer les uns les autres sans laisser aucune lacune, tel des carrés ou/et des triangles équilatéraux.

  • Les hexagones réguliers permettent une utilisation la plus efficace :
    • de l'espace : les hexagones réguliers sont ainsi très utiles pour construire des pavages.
    • des matériaux de construction : dans la nature, les alvéoles d'abeilles sont hexagonales pour cette raison.

Enfin parmi les polygones, certains hexagones particuliers de forme irrégulière sont dénommés hexagones irréguliers.

Hexagone régulier[modifier | modifier le code]

Un hexagone régulier est un hexagone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Propriétés générales[modifier | modifier le code]

Relations métriques dans l'hexagone régulier[modifier | modifier le code]

Maille hexagonale que l'on peut rencontrer dans un cristal bidimensionnel avec réflexion par rapport à une droite et rotations d'ordre 6 autour d'un point. L'hexagone est ainsi composé de six triangles équilatéraux.

L'hexagone régulier peut se décomposer en six triangles équilatéraux, ce qui lui confère les propriétés suivantes.

Considérons les dimensions caractéristiques suivantes de l'hexagone régulier :

  1. longueur d'un côté, a ;
  2. apothème : ligne droite perpendiculaire à l'un des côtés qui rejoint le centre de l'hexagone ; sa longueur est notée h ;
  3. rayon du cercle circonscrit, r ;
  4. rayon du cercle inscrit, ri.

Nous avons ainsi les relations suivantes :

a = r
h = ri
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a

Calcul de l'aire[modifier | modifier le code]

L'aire d'un hexagone régulier de côté a est

\mathrm{A} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2.

L'aire d'un hexagone régulier dont le rayon du cercle inscrit est ri est

\mathrm{A} = 2\sqrt{3}r_\mathrm{i}^2.

Calcul de l'aire par décomposition en triangles[modifier | modifier le code]

L'hexagone construit a pour tracé la base de six triangles équilatéraux accolés

L'aire d'un hexagone régulier peut aussi se calculer avec la formule suivante :

A =3ah

puisque l'aire d'un polygone régulier à n côtés vaut nah/2.

Cette formule permet de calculer l'aire en divisant l'hexagone en 6 triangles équilatéraux. Comme r=a, l'apothème h\,\! se déduit à l'aide de la formule de Pythagore h = \sqrt{r^2 - (\frac{a}{2})^2} .

On a donc pour un hexagone régulier h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r .

On en déduit(pour un hexagone régulier) A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot r^2 .

a\,\! : Longueur d'un des 6 côtés de l'hexagone.
h\,\! : Longueur de l'apothème
r\,\! : Longueur du rayon (rayon : ligne droite du centre de l'hexagone à l'un des 6 sommets)
n\,\! : Nombre de côtés du polygone régulier (pour la formule générale).
Hexagone et triangle équilatéral[modifier | modifier le code]

On peut considérer que l'hexagone régulier est constitué d'un certain assemblage de six triangles. Il possède 6 triangles strictement équilatéraux (égaux entre eux).

Construction d'un hexagone régulier[modifier | modifier le code]

Un hexagone régulier est constructible car il vérifie le théorème de Gauss-Wantzel [1]: 6 est le produit de 2 (en effet, 2 est puissance de 2) et de 3 (3 est un nombre de Fermat).

Il est possible de construire un hexagone régulier avec un compas et une règle, en suivant la méthode des Éléments d'Euclide, qui consiste à construire 6 triangles équilatéraux :

Regular Hexagon Inscribed in a Circle 240px.gif
HexagonConstructionAni.gif
  • On construit un cercle C de centre O et de diamètre [AD];
  • Puis, on trace un arc de cercle de centre A et de rayon [AO]: l'arc de cercle coupe le cercle C en B et en F; ( 3 )
  • Les diamètres de C passant par B et par F coupent le cercle en C et en E; ( 4 - 5 )
  • En joignant les points du cercle A, B, C, D, E et F, on obtient un hexagone régulier. ( 6 - 11 )

Symétrie[modifier | modifier le code]

pavage hexagonal

Un hexagone possède 6 axes de symétrie :

3 axes de symétrie passant par les sommets opposés et le centre, 3 axes de symétrie passant par les points milieux des côtés opposés et le centre.

Pavages[modifier | modifier le code]

Honey comb.jpg
Honeycomb 3d rot.png

L'hexagone régulier permet de créer un pavage périodique.

Dans la nature[modifier | modifier le code]
  • Il existe de nombreuses molécules et atomes qui prennent une forme hexagonale grâce à leurs liaisons covalentes :
    • En chimie, l'hexagone est le représentant d'un alcane cyclique : le Cyclohexane.
    • En géologie, les fentes de dessiccation et les coulées de lave refroidies prennent cette même configuration géométrique. La Chaussée des Géants en Irlande du Nord est un très bel exemple de ce type de refroidissement optimal d'une coulée basaltique en fusion.
    • Dans la nature, un autre élément fréquent à forme hexagonale est le flocon de neige. Les molécules d'eau qui les composent imposent des angles réguliers à ses cristaux.
  • Et à plus grande échelle macroscopique, cette forme est aussi visible dans notre environnement :
    • Des bulles de savon s'organisent toutes en hexagones lorsqu'il y en a de trop dans un espace fermé. Elles prennent alors la forme d'hexagone, qui correspond ici à un optimum isopérimétrique.
    • Les alvéoles d'abeille, construits afin de stocker le miel et le pollen ou les œufs et les larves, sont des prismes juxtaposés d’axes horizontaux qui constituent le gâteau de cire. Ce gâteau de cire est ainsi formé de deux séries d’alvéoles hexagonaux se rejoignant en leur base. L'hexagone est une figure optimale, pour l'abeille. Non seulement elle permet de paver le plan, mais, de plus, elle correspond à un optimum isopérimétrique, c'est-à-dire que parmi les figures régulières qui permettent de paver l'espace, l'hexagone correspond à la plus grande surface possible pour un périmètre donné. Aucune autre figure permettant de paver l'espace n'utilise moins de cire que celle adoptée par les abeilles. Cette remarque est initialement l'œuvre de Pappus d'Alexandrie, un géomètre grec de l'antiquité.
    • La jonquille possède 6 pétales soudés en tube hexagonal autour de l'ovaire. En effet, c'est ici aussi la plus grande surface possible pour attirer les insectes en son sein.
    • Dans la dynamique des fluides, les flux en rotation produisent des structures instables, telles que des vortex. Ils sont à l'origine des tornades, mais aussi des courants et autres écoulements. La figure géométrique ainsi observable est appelée « seau de Newton » ou tout simplement un hexagone.
    • Au niveau de la région boréale du pôle Nord de Saturne, la sonde spatiale Cassini (2006 à 2013) et Voyager (1980) ont observé à 78 degrés de latitude nord une structure hexagonale. Elle a été observée depuis un point situé à 902 000 km au-dessus des nuages et est particulièrement persistante.

Hexagone irrégulier[modifier | modifier le code]

Tout hexagone qui n'est pas un hexagone régulier est dit : hexagone irrégulier. Ce type d’hexagone peut prendre les formes suivantes :

Hexagons.gif
Hexagone croisé Hexagone convexe Hexagone concave
Sommets Côtés Diagonales
6 6 9
Hexagramme de Pascal

L’hexagramme de Pascal[modifier | modifier le code]

Un hexagramme de Pascal est un hexagone irrégulier très particulier. Il est tel que les côtés opposés se coupent en trois points alignés. Cette configuration, inventée par Blaise Pascal, est très utile pour l'étude des ellipses, hyperboles, paraboles, cercles.

Autres[modifier | modifier le code]

  • De par sa forme grossièrement hexagonale, la France métropolitaine est souvent appelée "Hexagone".
  • Du fait de ses possibilités de pavage et des mouvements simples qu'il permet, l'hexagone est une figure très répandue dans les wargames. Il en est même presque le symbole.

Galeries d'images[modifier | modifier le code]

Études géométriques[modifier | modifier le code]

Exemples dans la Nature[modifier | modifier le code]

Exemples d'usages humains[modifier | modifier le code]

Vue panoramique des structures en dômes géodésiques de l'Eden Project. Ce très visité grand complexe de St Austell, dans les Cornouailles (Royaume-Uni) est composé de deux groupes de dômes transparents faits de bulles d'ETFE hexagonales. Ouverts au public dès mars 2001, chacun simule un biome et contient de nombreuses espèces du monde entier. Le premier groupe simule un écosystème tropical, l'autre un biotope plus tempéré de type méditerranéen
Intérieur du dôme britannique de St Austell (ci-contre)

Note[modifier | modifier le code]

  1. Un polygone régulier à n côtés est constructible si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 et de k nombres de Fermat premiers tous différents.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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