Polygone

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En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du plan.

Il peut être convexe ou non, voire croisé si au moins deux côtés non consécutifs sont d'intersection non vide.

Lorsqu'un polygone n'est pas croisé, la somme de ses angles ne dépend que de son nombre de sommets.

Le bord d'un polygone est un cas particulier de ligne brisée.

La notion de polygone est généralisée en dimension supérieure par celles de polyèdre et de polytope.

Des polygones

Vocabulaire de base

Un polygone est constitué :

• d'une suite finie de points du plan appelés sommets ;
• des segments reliant les couples de sommets consécutifs ainsi que d'un segment reliant le premier et le dernier point, tous ces segments étant appelés côtés ;
• d'une partie ouverte et bornée du plan, appelée intérieur et dont la frontière est contenue dans la réunion des côtés.

Représentation d'un polygone $ABCDE$.

Un polygone est en général désigné par la juxtaposition des lettres désignant les sommets, dans l'ordre de la suite.

L'ordre d'un polygone est le nombre de ses sommets.

La désignation d'un polygone en toute généralité s'écrit donc $A_1 A_2 A_3 ... A_n$, constitué de $n$ sommets et de $n$ segments $[A_1 A_2]$, $[A_2 A_3]$… $[A_{n-1} A_n]$ et $[A_n A_1]$.

On dénomme alors polygone la figure notée « A₁A₂A₃...A_n », et constituée par la suite des n segments : [A₁A₂], [A₂A₃], ... [A_n-1A_n] et [A_nA₁].

À chaque sommet est associé un angle, c'est l'angle entre les deux côtés qui aboutissent au sommet.

Ordre d'un polygone

Le nombre n des côtés d'un polygone est communément appelé ordre de ce polygone. C'est évidemment aussi le nombre de ses sommets ou celui de ses angles. Par exemple, un polygone d'ordre cinq possède cinq sommets, cinq angles et cinq côtés.

Eléments opposés

• Si l'ordre d'un polygone est pair :

• les sommets séparés par n/2 côtés sont dits « opposés » entre eux ;
• même chose pour les angles correspondants ;
• les côtés séparés par n/2 sommets sont dits eux aussi « opposés » entre eux.

• Si l'ordre du polygone est impair, les côtés sont « opposés » aux sommets et aux angles ( et vice versa ) ; plus précisément, chaque sommet ( ou chaque angle ) est « opposé » au côté situé (n - 1)/2 sommets plus loin.

Côtés prolongés et diagonales

Les droites qui portent les côtés d'un polygone sont appelées les côtés prolongés de ce polygone.

Les côtés d'un polygone ne sont pas les seuls segments qui peuvent relier les sommets entre eux. Tout segment reliant deux sommets d'un polygone et autre qu'un côté est appelé diagonale de ce polygone.

Un polygone à n côtés possède ainsi ${n \choose 2} - n = \frac{n(n-3)}{2}\,$ diagonales.

Typologie des polygones

Il existe de nombreuses manières de classer les polygones : en fonction de leur convexité, de leurs symétries, de leurs angles... Mais on les classe d'abord suivant leur nombre de côtés.

Classement suivant le nombre de côtés

Les polygones peuvent être classés entre eux suivant leur nombre de côtés, c'est-à-dire leur ordre.

Le polygone le plus élémentaire est le triangle : un polygone possède au moins trois sommets et trois côtés.

Vient ensuite le quadrilatère, à quatre côtés et quatre sommets.

À partir de l'ordre cinq, chaque nom de polygone est formé d'une racine grecque correspondant à l'ordre du polygone suivie du suffixe -gone.

Pour s'y retrouver dans la dénomination des polygones, il faut retenir que -kai- signifie « et » en grec, et que -conta- signifie « dizaine ». Par exemple, le mot triacontakaiheptagone signifie trois (tria-) dizaines (-conta-) et (-kai-) sept (-hepta-) unités, et correspond donc à un polygone de trente-sept côtés, "et" étant interprété ici comme "plus".

Au-delà de douze côtés, la coutume incite à parler de polygone à n côtés où n est remplacé par le nombre souhaité, ceci afin de simplifier les choses.

Il existe cependant plusieurs dénominations anciennes pour des nombres « ronds » comme pour un polygone à vingt côtés (icosa-), à cent côtés (hecto-) et à dix mille côtés (myria-).

Dénominations des polygones

Nombre de côtés	Nom
1 côté dégénéré	hénagone ou monogone (objet impossible en géométrie euclidienne)
2 côtés dégénérés	digone ou segment
3 côtés	triangle ou trigone
4 côtés	quadrilatère ou tétragone
5 côtés	pentagone
6 côtés	hexagone
7 côtés	heptagone
8 côtés	octogone
9 côtés	ennéagone (appelé à tort nonagone)
10 côtés	décagone
11 côtés	hendécagone
12 côtés	dodécagone
13 côtés	tridécagone ou triskaidécagone
14 côtés	tétradécagone ou tétrakaidécagone ou quadridécagone
15 côtés	pentadécagone ou pentakaidécagone ou quidécagone
16 côtés	hexadécagone ou hexakaidécagone
17 côtés	heptadécagone ou heptakaidécagone
18 côtés	octadécagone ou octakaidécagone
19 côtés	ennéadécagone ou ennéakaidécagone
20 côtés	icosagone
21 côtés	henicosagone ou icosikaihenagone
22 côtés	doicosagone ou icosikaidigone
23 côtés	triaicosagone ou icosikaitrigone
24 côtés	tétraicosagone ou icosikaitétragone
25 côtés	pentaicosagone ou icosikaipentagone
26 côtés	hexaicosagone ou icosikaihexagone
27 côtés	heptaicosagone ou icosikaiheptagone
28 côtés	octaicosagone ou icosikaioctagone
29 côtés	ennéaicosagone ou icosikaiennéagone
30 côtés	triacontagone
31 côtés	hentriacontagone ou triacontakaihenagone
32 côtés	dotriacontagone ou triacontakaidigone
33 côtés	tritriacontagone ou triacontakaitrigone
34 côtés	tétratriacontagone ou triacontakaitétragone
35 côtés	pentatriacontagone ou triacontakaipentagone
36 côtés	hexatriacontagone ou triacontakaihexagone
37 côtés	heptatriacontagone ou triacontakaiheptagone
38 côtés	octatriacontagone ou triacontakaioctogone
39 côtés	ennéatriacontagone ou triacontakaiennégone
40 côtés	tétracontagone
50 côtés	pentacontagone
60 côtés	hexacontagone
70 côtés	heptacontagone
80 côtés	octacontagone
90 côtés	ennéacontagone
100 côtés	hectogone ou hécatontagone
200 côtés	dihectogone
300 côtés	trihectogone
400 côtés	tétrahectogone
500 côtés	pentahectogone
600 côtés	hexahectogone
700 côtés	heptahectogone
800 côtés	octahectogone
900 côtés	ennéahectogone
1 000 côtés	chiliogone ou chiliagone ou chiligone
10 000 côtés	myriagone ou myriogone

Les mêmes principes s'appliquent aux polyèdres, où il suffit de remplacer le suffixe -gone par le suffixe -èdre.

Classement par convexité

On rappelle qu'une diagonale d'un polygone est un segment qui joint deux sommets non consécutifs, c'est-à-dire un segment qui joint deux sommets et qui n'est pas un côté du polygone.

Pentagone croisé.

Exemple : les segments $[AC]$, $[AD]$, $[BD]$, $[BE]$, $[CE]$ sont les 5 diagonales du pentagone $ABCDE$ ci-contre.

Polygone croisé

Un polygone est dit croisé si au moins deux de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone $ABCDE$ ci-contre (à droite).

L'enveloppe d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Polygone non convexe

Polygone non convexe.

Un polygone est dit non convexe s'il n'est pas croisé et si l'une de ses diagonales n'est pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-contre ( à droite ) est dit non convexe car les diagonales $[BC]$ et $[CE]$ sont à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Polygone convexe

Polygone convexe.

Un polygone est dit convexe s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-contre (à droite) est dit convexe.

Polygone étoilé

L'enveloppe convexe d'un polygone est le plus petit polygone convexe le contenant. Attention : l'enveloppe convexe d'un polygone et le polygone lui-même ne se confondent que si celui-ci est convexe.

Un polygone est alors dit étoilé (en) si aucun de ses côtés n'appartient à son enveloppe convexe.

Par exemple, le pentagone croisé précédent et son enveloppe sont étoilés tous les deux.

Classement par symétrie

Notion d'élément de symétrie

Un polygone peut présenter des régularités (appelées symétries) qui le rendent globalement invariant par certaines transformations telles que des rotations ou des réflexions. L'élément de symétrie d'une transformation est l'ensemble des points invariants par cette transformation :

• pour une symétrie centrale, l'élément de symétrie est le centre de symétrie ;
• pour une symétrie axiale, l'élément de symétrie est justement cet axe, dit axe-miroir car il coupe toute figure globalement invariante par cette transformation en deux parties images en miroir l'une de l'autre ;
• pour une rotation, l'élément de symétrie est le centre de rotation. Pour définir précisément une rotation, il faut préciser, outre son centre de rotation, son angle. On peut aussi définir une rotation en donnant son centre et son ordre, qui indique combien de fois il faut appliquer la rotation pour revenir au point de départ. Il existe des rotations d'ordre infini, mais lorsqu'il est fini, son produit avec l'angle de la rotation est toujours égal à un multiple de 2 π radians (ou 1 tour ou 360°...).

On peut remarquer que, dans le plan, la symétrie centrale se confond avec la rotation d'ordre deux.

On dit qu'un polygone (ou plus généralement toute figure de géométrie) présente un élément de symétrie quand il est globalement invariant par la transformation correspondante.

Dans le cas d'un polygone, tous les éléments de symétrie passent par un même point. Lorsqu'il est unique, ce point est appelé centre du polygone.

Lien avec la théorie des groupes

L'ensemble des symétries d'un polygone (ou en fait de tout autre objet géométrique) est un exemple typique de groupe. En effet, lorsqu'on compose deux symétries d'un polygone (c'est-à-dire qu'on effectue l'une puis l'autre) le résultat est encore une symétrie de ce polygone, la composition forme donc une loi de groupe sur l'ensemble des symétries d'un polygone. Ainsi la théorie des groupes permet-elle une étude simple et générale des symétries d'un polygone.

Notion de polygone régulier

Un polygone est dit régulier s'il est convexe et présente un axe de rotation d'ordre égal à son nombre de côtés.

Ennéagone régulier.

Cela signifie qu'il se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de ${2 \pi \over n}$ , où n est l'ordre du polygone.

Le polygone présente ainsi la même configuration en chacun de ses sommets qui sont donc disposés régulièrement sur un cercle centré sur l'axe de rotation.

Un polygone régulier est donc un polygone convexe inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur (et les angles la même mesure).

Inversement, si un polygone convexe est inscriptible dans un cercle et si ses côtés sont égaux, alors il est régulier.

L'ensemble des symétries d'un polygone régulier est appelé un groupe dihédral.

Quelques exemples et contre-exemples :

• le triangle équilatéral est un polygone régulier ;
• le carré est un polygone régulier ;
• le losange (non carré) n'est pas régulier (il n'est pas inscriptible dans un cercle).
• le rectangle (non carré) n'est pas régulier (il est inscriptible dans un cercle mais ses côtés ne sont pas égaux).

Polygone isocèle

Polygone isocèle d'ordre impair (triangle isocèle).

Un polygone est dit isocèle quand il présente au moins un axe-miroir.

Les axes-miroirs passent nécessairement par des sommets ou des milieux des côtés du polygone.

Plus précisément :

• si l'ordre du polygone est impair, tout axe-miroir passe par un sommet et le milieu du côté opposé ( médiane, voir plus bas );
• si l'ordre du polygone est pair, tout axe-miroir passe soit par deux sommets opposés ( diagonale principale, voir plus bas ), soit par les milieux de deux côtés opposés ( médiane, voir plus bas ).

Un polygone isocèle qui présente plusieurs axes-miroir a nécessairement un centre, le point d'intersection des axes-miroir.

Quelques exemples et contre-exemples :

• tout polygone régulier est isocèle et présente autant d'axes-miroir que de côtés ;
• le triangle isocèle, qui a deux côtés égaux, présente un axe-miroir passant par le sommet commun aux deux côtés égaux et le milieu du côté opposé ;
• les quadrilatères isocèles convexes sont :

• le trapèze isocèle ; son axe-miroir passe par les milieux de ses deux côtés parallèles ;
• le cerf-volant est isocèle ; il présente un axe-miroir qui est porté par une diagonale et qui est la médiatrice de l'autre diagonale ;
• le rectangle peut être vu comme un cas particulier de trapèze isocèle ; il présente deux axes-miroirs qui sont portés par ses médianes ;
• le losange, qui est un cas particulier de cerf-volant, est donc isocèle ; il présente deux axes-miroirs qui sont portés par ses diagonales ;
• le carré est un polygone régulier donc il est isocèle ; il présente quatre axes-miroir : ceux du losange et ceux du rectangle dont il est un cas particulier ;

• le parallélogramme n'est pas isocèle (sauf s'il s'agit d'un losange ou d'un rectangle).

Polygone centrosymétrique

Un polygone est dit centrosymétrique quand il présente un centre de symétrie.

Tout polygone centrosymétrique a nécessairement un nombre pair de sommets, et inversement, seuls les polygones d'ordre pair peuvent être centrosymétriques.

Les côtés opposés d'un polygone centrosymétrique sont parallèles et de même longueur (ordre du polygone pair).

Polygone centrosymétrique (parallélogramme).

Quelques exemples et contre-exemples :

• les triangles ne peuvent pas avoir de centre de symétrie ;
• les quadrilatères centrosymétriques sont les parallélogrammes (côtés opposés parallèles et de même longueur) ;
• les seuls quadrilatères présentant à la fois un centre de symétrie et un axe-miroir sont les rectangles et les losanges ;
• tout polygone régulier d'ordre pair a un centre de symétrie.

Polygone rotosymétrique

Un polygone est dit rotosymétrique d'ordre n ou plus brièvement n-rotosymétrique quand il présente un axe de rotation d'ordre n.

Un polygone rotosymétrique d'ordre n a un nombre de côtés multiple de n. Inversement, un polygone ne peut présenter d'axe de rotation que si l'ordre de ce dernier divise son nombre de côtés.

Les polygones réguliers et centrosymétriques sont des cas particuliers de polygones rotosymétriques.

Quelques exemples et contre-exemples :

• un triangle ne peut présenter d'axe de rotation que s'il est d'ordre 3 ; il est alors régulier, donc équilatéral ;
• tout quadrilatère rotosymétrique est centrosymétrique ;
• le cas le plus simple de polygone rotosymétrique sans être centrosymétrique ou régulier est celui de l'hexagone 3-rotosymétrique ;
• tout polygone régulier présente par définition un axe de rotation du même ordre que le polygone ;
• tout polygone convexe d'ordre premier présentant un axe de rotation est régulier.

Polygone scalène (triangle scalène).

Polygone scalène

Un polygone scalène est un polygone qui ne présente aucun élément de symétrie. Un polygone scalène n'a donc pas de centre de symétrie.

Classement par les angles

Un polygone convexe ne peut présenter plus de quatre angles droits.

Polygone rectangle

Un polygone est dit rectangle quand il comporte au moins un angle droit.

Quelques exemples et contre-exemples :

• un triangle rectangle comporte un angle droit et deux angles aigus ;
• un quadrilatère rectangle comporte au moins un angle droit ; ce n'est cependant pas forcément un rectangle, qui en comporte quatre ;
• dès qu'un trapèze comporte un angle droit, c'est un trapèze rectangle ; mais tout trapèze rectangle comporte forcément au moins deux angles droits adjacents ;
• le seul polygone régulier rectangle est le carré. C'est d'ailleurs un cas particulier de rectangle, avec quatre côtés égaux.

Polygone birectangle

Un polygone est dit birectangle quand il comporte au moins deux angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

• aucun triangle n'est birectangle, du moins en géométrie euclidienne (il existe des triangles birectangles, et même trirectangles, sur une sphère) ;
• les quadrilatères convexes birectangles sont :

• les trapèzes rectangles, qui présentent deux angles droits consécutifs ;
• les semi-rectangles, qui présentent deux angles droits non consécutifs ; on peut les décrire comme deux triangles rectangles accolés par leur hypoténuse ;

• le seul trapèze semi-rectangle est le rectangle ;
• le seul polygone régulier birectangle est le carré.

Un polygone avec deux angles droits consécutifs présente deux côtés parallèles.

Polygone trirectangle

Un polygone est dit trirectangle quand il comporte au moins trois angles droits, consécutifs ou non.

Quelques exemples et contre-exemples :

• aucun triangle n'est trirectangle ;
• les seuls quadrilatères convexes trirectangles sont les rectangles, qui comptent d'ailleurs quatre angles droits ;
• le seul polygone régulier trirectangle est le carré.

Un polygone convexe avec trois angles droits consécutifs présente deux fois deux côtés parallèles. Il ressemble en fait à un rectangle avec un coin découpé.

Polygone équiangle

Un polygone est dit équiangle quand tous ses angles sont égaux.

Quelques exemples et contre-exemples :

• le seul triangle équiangle est le triangle équilatéral ;
• les quadrilatères convexes équiangles sont les rectangles ;
• tous les polygones réguliers sont équiangles.

Autres classements

Polygone équilatéral

Polygone équilatéral (heptagone régulier).

Un polygone est dit équilatéral quand tous ses côtés ont la même longueur.

Quelques exemples et contre-exemples :

• les quadrilatères convexes équilatéraux sont les losanges ;
• tous les polygones réguliers sont équilatéraux.

Polygone inscriptible (dans un cercle)

Un polygone est dit inscriptible quand tous ses sommets se trouvent sur un même cercle, dit circonscrit au polygone. Ses côtés sont alors des cordes de ce cercle, d'où le nom de polygone de cordes donné par les anglophones aux polygones inscriptibles.

Quelques exemples et contre-exemples :

• tout triangle est inscriptible ;
• un trapèze n'est inscriptible que s'il est isocèle ;
• tout semi-rectangle est inscriptible ;
• le seul parallélogramme inscriptible est le rectangle ;
• tout polygone régulier est inscriptible.

Article détaillé : Quadrilatère inscriptible.

Polygone circonscriptible (à un cercle)

Un polygone est dit circonscriptible quand tous ses côtés sont tangents à un même cercle, dit inscrit dans le polygone. Les anglophones ont baptisés polygone de tangentes ce type de polygone.

Quelques exemples et contre-exemples :

• tout triangle est circonscriptible ;
• les seuls parallélogrammes circonscriptibles sont les losanges ;
• tout polygone régulier est circonscriptible ;
• voir aussi : Théorème de Pitot

Autres définitions et propriétés

Médiatrices d'un polygone

Ce sont les médiatrices ( la droite qui coupe perpendiculairement et en son milieu un segment ) de ses côtés.

Bissectrices d'un polygone

Ce sont les bissectrices (segment qui divise un angle en deux parties égales) de ses angles.

Médianes et diagonales principales d'un polygone

• Si l'ordre n du polygone est pair :

• on appelle diagonale principale de ce polygone tout segment reliant deux sommets opposés. Ces diagonales principales sont au nombre de $\frac{n}{2}\,$. Si le polygone est régulier, ses diagonales principales sont aussi appelées diamètres, car elles sont alors aussi des diamètres du cercle circonscrit au polygone.
• on appelle médiane de ce polygone tout segment reliant les milieux de deux côtés opposés. Ces médianes sont aussi au nombre de $\frac{n}{2}\,$.

• Si l'ordre du polygone est impair, il n'y a pas de diagonales principales, seulement des médianes. Chaque médiane relie alors un sommet au milieu du côté opposé. Elles sont alors au nombre de $n \,$.

Apothèmes et rayons d'un polygone à centre

Apothéme d'un hexagone.

Les apothèmes d'un polygone à centre relient les milieux de ses côtés à son centre.

Si le polygone est régulier, ce sont aussi :

• les demi-médianes du polygone, s'il est d'ordre pair ;
• les lignes de construction définissant les médiatrices de ses côtés ;
• des rayons du cercle inscrit dans le polygone.

Les rayons d'un polygone à centre relient ses sommets à son centre.

Si le polygone est régulier, ce sont aussi :

• les demi-diamètres du polygone, s'il est d'ordre pair ;
• des rayons du cercle circonscrit au polygone.

Notion d'angle au centre

Soit A₁A₂A₃...A_n un polygone à n côtés muni d'un centre O.

On appelle angle au centre du polygone l'angle $\widehat{A_i O A_i}_{+1} \,$ formé par deux rayons consécutifs de ce polygone.

Si le polygone considéré est régulier, les n angles au centre ont tous la même mesure, 2π / n radians, et c'est aussi la mesure de l'angle entre deux apothèmes consécutifs.

Somme des angles

La somme des angles d'un polygone non croisé d'ordre n ne porte pas de nom particulier, mais vaut (en radians et en degrés) :

$S = (n - 2)\times\pi~\mathrm{rad}=(n-2)\times180^\circ=n \times180^\circ-360^\circ$.

En effet, cette formule, bien connue pour n=3, se généralise en découpant le polygone en n-2 triangles.

À noter que lorsque l'ordre d'un polygone augmente d'une unité, la somme de ses angles augmente de 180° ou π radians : c'est le supplément d'angle.

Périmètre d'un polygone

Le périmètre d'un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. La formule en est donnée par François Viète au XVI^e siècle.^{[réf. souhaitée]}

Si le polygone est régulier, son périmètre P vaut :

$P = 2 n R \sin( \alpha / 2 ) \,$

où :

• n est l'ordre du polygone ;
• $\alpha \,$ est son angle au centre ;
• et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit.

Comme $\alpha \,$ vaut 2π / n radians, et que sin x ≈ x quand x est voisin de 0, le périmètre tend vers 2 π R quand n tend vers l'infini. On retrouve bien le périmètre du cercle.

Aire d'un polygone

Article détaillé : Aire et centre de masse d'un polygone.

L'aire d'un polygone non croisé est l'aire de la surface enclose par le polygone.

Si le polygone est régulier, son aire A vaut :

$A = n R^2 \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \,$

où :

• n est l'ordre du polygone ;
• $\alpha \,$ est son angle au centre ;
• et R le rayon du cercle qui lui est circonscrit.

Comme l'angle au centre vaut 2 π / n radians, et que sin x ≈ x et cos x ≈ 1 quand x est voisin de 0, l'aire tend vers π R² quand n tend vers l'infini. On retrouve bien l'aire du disque.

Il existe une seconde formule possible pour calculer l'aire d'un polygone régulier : $A = \frac{a \times P}{2}$

où a est l'apothème du polygone et P son périmètre.

Lorsque le polygone est irrégulier, il est facile de le partitionner en triangles à partir des diagonales. Pour calculer son aire, il suffit alors de faire la somme des aires des triangles obtenus.

Voir aussi

Articles connexes

• Aire et centre de masse d'un polygone
• Construction à la règle et au compas
• Théorème de Gauss-Wantzel
• Triangulation d'un polygone
• Forme cristalline
• Polyèdre
• Polytope
• Polygone convexe
• Surface de sustentation

Liens externes

• Quelques informations sur les polygones
• De nombreuses informations complémentaires sur les polygones