Pentagone

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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Pentagone (homonymie).
Pentagone régulier
Représentation d'un pentagone régulier
Représentation d'un pentagone régulier

Type Polygone régulier

Symbole de Schläfli {5}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Groupe de symétrie Diédral (D5)
Angle interne 108°
Propriétés Convexe, inscriptible, équilatéral, isogonal, isotoxal (en)

Un pentagone (du grec pentagon = cinq angles) est un polygone à cinq sommets et cinq côtés.

Pentagone régulier[modifier | modifier le code]

Un pentagone régulier convexe est un pentagone dont tous les côtés sont de même longueur et dont tous les angles internes ont pour mesure 108°, d'après la formule générale sur les angles dans un polygone régulier.

L'aire A d'un pentagone régulier convexe de côté a vaut A = \frac{5a^2}{4}\cot \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} = \frac {a^2}{4} \sqrt{15+20\varphi} \simeq 1,72048 a^2

Pentagramme inscrit dans un pentagone régulier

Si on trace les diagonales d'un pentagone régulier convexe, on obtient un pentagone régulier non simple, le pentagramme. Le pentagone est très lié au nombre d'or. En effet, dans la figure ci-contre, on peut déceler de nombreux triangles d'or obtus (comme ceux formés par deux côtés et une diagonale) ou aigus (comme ceux formés par deux diagonales et un côté). Le découpage fait aussi apparaître de nouveaux triangles d'or dont la taille a été divisée par φ ainsi qu'un nouveau pentagone dont la taille est divisée par φ².

Pentagone avec ses pentagramme, cercle inscrit et cercle circonscrit
Pentagone obtenu en faisant un nœud avec une feuille rectangulaire.

Construction[modifier | modifier le code]

Il est possible de construire un pentagone régulier à la règle et au compas.

Une méthode par pliage simple permet de faire un pentagone. Il suffit de prendre une bande de papier suffisamment longue et faire une boucle, puis de passer un bout dans la boucle et enfin serrer en ajustant.

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Voir aussi[modifier | modifier le code]

Livre IV des Éléments d'Euclide