Diagramme de Coxeter-Dynkin

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Les groupes de Coxeter dans le plan avec les diagrammes équivalents. Les miroirs du domaine sont nommés par les arêtes m1, m2, etc. Les sommets sont colorés par leur ordre de réflexion. Le groupe prismatique [W2xW2] est montré comme un doublement de R3, mais il peut aussi être créé comme des domaines rectangulaires à partir du doublement des triangles V3. Le P3 est un doublement du triangle V3.
Les groupes de Coxeter dans la sphère avec les diagrammes équivalents. Un domaine fondamental est bordé en jaune. Les sommets sont colorés par leur ordre de réflexion.
Les groupes de Coxeter dans l'espace tridimensionnel avec les diagrammes. Les miroirs (faces triangulaires) sont nommés par le sommet opposé 0..3. Les arêtes sont colorées par leur ordre de réflexion.
R4 remplit 1/24 du cube. S4 remplit 1/12 du cube. P4 remplit 1/6 du cube.

En géométrie, un diagramme de Coxeter-Dynkin est un graphe représentant un ensemble relationnel de miroir (ou d'hyperplans de réflexion) dans l'espace pour une construction kaléidoscopique.

En tant que graphe lui-même, le diagramme représente les groupes de Coxeter, chaque nœud du graphe représente un miroir (facette du domaine) et chaque branche du graphe représente l'ordre de l'angle diédral entre deux miroirs (sur une arête du domaine).

En plus, les graphes ont des anneaux (cercles) autour des nœuds pour les miroirs actifs représentant un polytope uniforme (en) précis.

Le diagramme est issu du diagramme de Dynkin.

Description[modifier | modifier le code]

Le diagramme peut aussi représenter les polytopes en ajoutant des anneaux (des cercles) autour des nœuds. Chaque diagramme doit avoir au moins un nœud actif pour représenter un polytope.

Les anneaux expriment une information : si un point générateur est dans ou en dehors du miroir. Plus précisément, un miroir est actif (il crée des réflexions) seulement lorsque des points sont en dehors du miroir, donc ajouter un anneau signifie qu'un point est en dehors du miroir et créé une réflexion.

Les arêtes sont étiquetées avec un entier n (ou quelquefois plus généralement un nombre rationnel p/q) représentant un angle diédral de 180/n. Si une arête n'est pas étiquetée, elle est supposée être 3. Si n=2, l'angle est 90 degrés et les miroirs n'ont pas d'interaction, et l'arête peut être omise. Deux miroirs parallèles peuvent être marqués avec « ∞ ».

En principe, n miroirs peuvent être représentés par un graphe complet dans lequel toutes les n*(n-1)/2 sont dessinées. En pratique, les configurations intéressantes de miroirs incluront un nombre d'angles droits, et les arêtes correspondantes peuvent être omises.

Les polytopes et les pavages peuvent être engendrés en utilisant ces miroirs et un point générateur unique. Les images miroir créent des nouveaux points comme réflexions. Les arêtes peuvent être créées entre les points et une image miroir. Les faces peuvent être construites par cycles d'arêtes créées, etc.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un nœud unique représente un miroir unique. Ceci est appelé le groupe A1. S'il est annelé, il crée un digone ou une arête perpendiculaire au miroir, représenté par {} ou {2}.
  • Deux nœuds non attachés représentent deux miroirs perpendiculaires. Si les deux nœuds sont annelés, un rectangle peut être créé ou un carré si le point est à égale distance des deux miroirs.
  • Deux nœuds attachés par une arête d'ordre n peut créer un n-gone si le point est sur un miroir, et un 2n-gone si le point est en dehors des deux miroirs. Ceci forme le groupe D2n.
  • Deux miroirs parallèles peuvent représenter un groupe de polygone infini D2, aussi appelé W2.
  • Trois miroirs dans un triangle forment des images vues dans un kaléidoscope traditionnel et sont représentées par 3 nœuds attachés dans un triangle. En répétant les exemples auront des arêtes étiquetées comme (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), bien que les deux derniers peuvent être dessinés dans une droite avec l'arête 2 ignorée. Ceux-ci engendreront les pavages uniformes.
  • Trois miroirs peuvent engendrer les polyèdres uniformes, incluant les nombres rationnels est l'ensemble des triangles de Schwarz (en).
  • Trois miroirs avec un perpendiculaire aux deux autres peuvent former les prismes uniformes.

En général, tous les n-polytopes réguliers, représentés par le symbole de Schläfli {p,q,r,...} peuvent avoir leur domaines fondamentaux représentés par un ensemble de n miroirs et sont reliés dans un diagramme de Coxeter-Dynkin dans une droite de nœuds et d'arêtes étiquetées par p,q,r...

Groupes finis de Coxeter[modifier | modifier le code]

Les familles de polytopes convexes uniformes sont définis par les groupes de Coxeter.

Notes :

  • Trois symboles différents sont donnés pour les mêmes groupes - une lettre/nombre, un ensemble de nombres avec des accolades et le diagramme de Coxeter.
  • Les groupes bifurqués Bn sont aussi donnés par la notation h[] représentant le fait que c'est une version demie ou alternée des groupes réguliers Cn.
  • Les groupes bifurqués Bn et En sont aussi étiquetés par un exposant [3a,b,c] où a,b,c sont le nombre de segments dans chacune des 3 branches.
n A1+ B4+ C2+ D2p E6-8 F4 G2-4
1 A1=[]
CDW dot.svg
           
2 A2=[3]
CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
  C2=[4]
CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg
D2p=[p]

CDW dot.svgCDW p.svgCDW dot.svg

    G2=[5]
CDW dot.svgCDW 5.pngCDW dot.svg
3 A3=[3²]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B3=A3=[30,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.png

C3=[4,3]
CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
      G3=[5,3]
CDW dot.svgCDW 5.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
4 A4=[3³]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B4=h[4,3,3]=[31,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

C4=[4,3²]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E4=A4=[30,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.png

F4=[3,4,3]
CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
G4=[5,3,3]
CDW dot.svgCDW 5.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
5 A5=[34]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B5=h[4,3³]=[32,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C5=[4,3³]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E5=B5=[31,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
6 A6=[35]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B6=h[4,34]=[33,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C6=[4,34]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E6=[32,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
7 A7=[36]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B7=h[4,35]=[34,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C7=[4,35]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E7=[33,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
8 A8=[37]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B8=h[4,36]=[35,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C8=[4,36]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

  E8=[34,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

   
9 A9=[38]

CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

B9=h[4,37]=[36,1,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

C9=[4,37]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg

       
10+ .. .. ..

(Note : les noms alternatifs comme les groupes de Lie simples (en) sont donnés.)

  1. An forme la famille des polytopes simpliciaux (même nom : An).
  2. Bn est la famille des demi-hypercubes, commençant à n=4 avec le 24-cellules et n=5 avec le penteract (en) (aussi nommé Dn).
  3. Cn forme la famille des hypercubes (même nom : Cn).
  4. D2n forme les polygones réguliers (aussi nommé I1n).
  5. E6,E7,E8 sont les générateurs des polytopes semi-réguliers de Gosset (mêmes noms : E6,E7,E8).
  6. F4 est la famille du polychore 24-cellules (même nom : F4).
  7. G3 est la famille du polyèdre dodécaèdre/icosaèdre (aussi nommé H3).
  8. G4 est la famille du polychore 120-cellules/600-cellules (aussi nommé H4).

Les groupes de Coxeter infinis[modifier | modifier le code]

Les familles de pavages uniformes convexes sont définis par les groupes de Coxeter.

Notes :

  • Les groupes réguliers (linéaires) peuvent être donnés avec une notation équivalente avec des accolades.
  • Le groupe Sn peut aussi être étiqueté par une notation h[] comme une moitié d'un régulier.
  • Le groupe Qn peut aussi être étiqueté par une notation q[] comme un quart d'un régulier.
  • Les groupes bifurqués Tn sont aussi étiquetés par une forme exposant [3a,b,c] où a,b,c sont le nombre de segments dans chacune des 3 branches.
n P3+ Q5+ R3+ S4+ T7-9 U5 V3 W2
2               W2=[∞]
CDW dot.svgCDW infin.pngCDW dot.svg
3 P3=h[6,3]
CD righttriangle-000.png
  R3=[4,4]
CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg
      V3=[6,3]
CDW dot.svgCDW 6.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
 
4 P4=q[4,3,4]
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-00.png
  R4=[4,3,4]
CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg
S4=h[4,3,4]
CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD 4.pngCD dot.png
       
5 P5
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD righttriangleopen 000.png
Q5=q[4,3²,4]

CD leftbranch-00.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

R5=[4,3²,4]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg

S5=h[4,3²,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 4.pngCD dot.png

  U5=[3,4,3,3]
CDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svg
   
6 P6
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-00.png
Q6=q[4,3³,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

R6=[4,3³,4]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg

S6=h[4,3³,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 4.pngCD dot.png

       
7 P7
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD righttriangleopen 000.png
Q7=q[4,34,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

R7=[4,34,4]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg

S7=h[4,34,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 4.pngCD dot.png

T7=[32,2,2]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD 3b.pngCD dot.png

     
8 P8
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-00.png
Q8=q[4,35,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

R8=[4,35,4]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg

S8=h[4,35,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 4.pngCD dot.png

T8=[33,3,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

     
9 P9
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD righttriangleopen 000.png
Q9=q[4,36,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

R9=[4,36,4]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg

S9=h[4,36,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 4.pngCD dot.png

T9=[35,2,1]

CD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.png

     
10 P10
CD downbranch-00.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-open.pngCD downbranch-33.pngCD downbranch-00.png
Q10=q[4,37,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.png

R10=[4,37,4]

CDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 3b.pngCDW dot.svgCDW 4.pngCDW dot.svg

S10=h[4,37,4]

CD dot.pngCD 3b.pngCD downbranch-00.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 3b.pngCD dot.pngCD 4.pngCD dot.png

       
11 ... ... ... ...        

(Note : les noms alternatifs comme les groupes de Lie simples sont aussidonnés.)

  1. Pn est un groupe cyclique (aussi nommé ~An-1).
  2. Qn (aussi nommé ~Dn-1)
  3. Rn forme la famille de pavage régulier de l'hypercube {4,3,....} (aussi nommé ~Bn-1).
  4. Sn forme la famille de pavage alternée hypercubique (aussi nommé ~Cn-1).
  5. T7,T8,T9 sont les pavages de Gosset (aussi nommés ~E6,~E7,~E7).
  6. U5 est le pavage régulier du 24-cellules {3,4,3,3} (aussi nommé ~F4).
  7. V3 est le pavage hexagonal (aussi nommé ~H2).
  8. W2 est composé de deux miroirs parallèles (aussi nommé ~I1).

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coxeter–Dynkin diagram » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience, 1995 (ISBN 978-0-471-01003-6), paper 17 : The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
  • (en) H. S. M. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover, 1999 (ISBN 978-0-486-40919-1) (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
  • (en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes (en) (Macmillian, 1963), 3e éd., Dover, 1973 (ISBN 0-486-61480-8) (Chapter 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) [PDF] Regular Polytopes, Root Lattices, and Quasicrystals, R. Bruce King