Pavage par des polygones réguliers

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Cet article traite des pavages par des polygones réguliers.

Plan euclidien[modifier | modifier le code]

Combinaisons possibles[modifier | modifier le code]

Dans un pavage du plan euclidien, la somme des angles internes des polygones se rencontrant à un sommet est égale à 360 degrés. Sachant que l'angle interne d'un polygone régulier convexe à n côtés est égal à 180*(1-2/n) degrés, il existe 21 combinaisons possibles de ce type de polygones, dont 11 seulement peuvent conduire à un pavage :

Il n'existe pas de pavage du plan avec des polygones réguliers étoilés.

Pavages réguliers[modifier | modifier le code]

Un pavage est dit régulier s'il consiste en un seul type de polygone régulier. Dans le cas du plan euclidien, il existe trois pavages réguliers :

Pavages semi-réguliers[modifier | modifier le code]

Un pavage est dit semi-régulier s'il est constitué de deux polygones réguliers convexes ou plus, de telle façon qu'un sommet soit toujours entouré des mêmes polygones, dans le même ordre. Dans le cas du plan euclidien, il existe huit pavages semi-réguliers :

Le pavage hexagonal adouci est chiral : il en existe deux formes distinctes par symétrie. Les autres pavages sont achiraux.

Autres pavages[modifier | modifier le code]

Il est possible de construire des pavages périodiques du plan ni réguliers ni semi-réguliers avec des polygones réguliers convexes. Ces pavages peuvent être classés selon le nombre d'orbites des sommets, arêtes et pavés. Si un pavage comprend n orbites de sommets, il est dit n-uniforme ou n-isogonal ; s'il comprend n orbites d'arêtes, n-isotoxal. Il existe par exemple 20 pavages 2-uniformes, dont 3 exemples sont mentionnés ci-dessous.

Plan hyperbolique[modifier | modifier le code]

En géométrie hyperbolique, les polygones réguliers ont des angles internes plus petits que leurs équivalent en géométrie euclidienne. Il est possible de réaliser des pavages du plan hyperbolique avec ces polygones.

La galerie ci-dessous affiche quelques exemple de pavages réguliers dans le plan hyperbolique, en utilisant le modèle du disque de Poincaré.

Annexes[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Uniform Tilings (Steve Dutch, université du Wisconsin à Green Bay)

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) Branko Grünbaum et Geoffrey Shephard (trad. du grec ancien), Tilings and Patterns, New York, W. H. Freeman,‎ 1987 (ISBN 978-0-7167-1193-3, LCCN 86002007)
  • (en) Darrah Chavey, « Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings », Computers & Mathematics with Applications, vol. 17,‎ 1989, p. 147–165 (DOI 10.1016/0898-1221(89)90156-9)
  • (en) Duncan Sommerville (en), An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover ed. 1958) Chapter X: The Regular Polytopes