Digone

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Un digone dégénéré avec deux arêtes se partageant les mêmes sommets

En géométrie, un digone est un polygone dégénéré avec deux côtés (arêtes) et deux sommets.

Un digone doit être régulier parce que ses deux arêtes ont la même longueur. Son symbole de Schläfli est {2}.

Dans les pavages sphériques[modifier | modifier le code]

Un digone antipodal sur la sphère.

En géométrie euclidienne, un digone est toujours dégénéré. Néanmoins, en géométrie sphérique, un digone non-dégénéré (avec une aire intérieure différente de zéro) peut exister si les sommets sont antipodaux. L'angle interne du sommet du digone sphérique peut être tout angle compris entre 0 et 180 degrés. Un tel polygone sphérique peut aussi être appelé une lune.

Dans les polyèdres[modifier | modifier le code]

Un digone est considéré comme une face dégénérée d'un polyèdre parce qu'elle n'a pas d'aire géométrique, ni de bords de recouvrement, mais elle peut avoir quelquefois une existence topologique utile dans la transformation des polyèdres.

Tout polyèdre peut être modifié topologiquement en remplaçant une arête avec un digone. Une telle opération ajoute une arête et une face au polyèdre, bien que le résultat est géométriquement identique. Cette transformation n'a pas d'effet sur la caractéristique d'Euler (χ=S-A+F).

Une face digone peut aussi être créée par effondrement géométrique d'une face quadrilatèrale en déplaçant les paires de sommets pour les faire coïncider dans l'espace. Ce digone peut alors être remplacé par une arête unique. Il perd une face, deux sommets et trois arêtes de nouveau, laissant la caractéristique d'Euler inchangée.

Des classes de polyèdres peuvent être dérivées comme formes dégénérées d'un polyèdre primaire, avec les faces étant quelquefois dégénérées sur les sommets coïncidents. Par exemple, cette classe de polyèdres uniformes avec la symétrie octaédrique existe en tant que formes dégénérées du grand rhombicuboctaèdre (4.6.8). Ce principe est utilisé dans la construction de Wythoff.

Uniform polyhedron-43-t0.png
4.4.4
Uniform polyhedron-43-t01.png
3.8.8
Uniform polyhedron-43-t1.png
3.4.3.4
Uniform polyhedron-43-t12.png
4.6.6
Uniform polyhedron-43-t2.png
3.3.3.3
Uniform polyhedron-43-t02.png
3.4.4.4
Uniform polyhedron-43-t012.png
4.6.8

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • Dièdre - un polyèdre dégénéré avec 2 faces.
  • Hosoèdre - un polyèdre dégénéré avec 2 sommets.