Icosagone

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Un icosagone régulier.
Polygone régulier à 20 côtés avec ses diagonales.

Un icosagone est un polygone à 20 côtés possédant 170 diagonales.

Caractéristiques d'un icosagone régulier[modifier | modifier le code]

Si a est la longueur d'une arête.

Périmètre[modifier | modifier le code]

\,P = 20 a

Aire[modifier | modifier le code]

\,S = \frac {20 a^2} {4 \tan(\frac {\pi} {20})}

Apothème[modifier | modifier le code]

\,H = \frac {2A} {P} = \frac {a} {2 \tan(\frac {\pi} {20})}

Rayon[modifier | modifier le code]

\,R = \frac {H} {\cos(\frac {\pi} {20})} = \frac {a} {2 \sin(\frac {\pi} {20})}

Angles remarquables d'un icosagone régulier[modifier | modifier le code]

Les formules générales pour un polygone régulier donnent, pour l'icosagone :

Angles au centre[modifier | modifier le code]

  • Angle au centre : 18°
  • Somme des angles au centre : 360°

Angles internes[modifier | modifier le code]

  • Angle interne : 162°
  • Somme des angles internes : 3 240°

Angles externes[modifier | modifier le code]

  • Angle externe : 198°
  • Somme des angles externes : 3 960°

Construction exacte d'un icosagone régulier à partir d'un rectangle d'or[modifier | modifier le code]

  • La médiatrice de [AB] coupe le cercle \Gamma en C et en un autre point D.
  • Le cercle \Gamma' de centre H et de rayon HC coupe [OB] en E.
  • Ici, OC et AE représentent respectivement la largeur et la longueur d'un rectangle d'Or.
  • On reporte maintenant la longueur OE sur le cercle \Gamma à partir du point B (au compas) et on obtient le point M.
  • La médiatrice de [MB] coupe le cercle \Gamma en I.
  • L'arc de cercle BI est en fait la vingtième partie du cercle \Gamma. Le segment [BI] est donc un côté de l'icosagone régulier inscrit dans le cercle.
  • Il ne reste plus qu'à reporter cinq fois la longueur BI sur le cercle, et ce jusqu'au point C.
  • Il suffit maintenant de construire le symétrique des cinq points précédemment obtenus par rapport à (CO).
  • La construction du symétrique des dix points précédemment obtenus par rapport à (AB) permet alors d'obtenir la division du cercle en vingt parties égales.
  • Joindre enfin les vingt points pour tracer l'icosagone.

Voir aussi[modifier | modifier le code]