Ennéagone

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Ennéagone régulier

Un ennéagone[1], ou nonagone[2], est un polygone à neuf sommets et à neuf côtés. Un tel polygone possède donc 27 diagonales et s'il est non croisé, la somme de ses angles vaut 1 260°. Enfin, la mesure d'un angle au centre d'un ennéagone régulier est égale à 40°.

Le mot « nonagone » associe un préfixe latin et un suffixe grec. Il est qualifié par certains auteurs d'aberration étymologique à éviter[réf. nécessaire].

Aire d'un ennéagone régulier[modifier | modifier le code]

L'aire d'un ennéagone régulier vaut\frac{9a^2}4\operatorname{cot}\left(\frac{\pi}9\right),a étant la longueur d'un côté.

Construction d'un ennéagone régulier[modifier | modifier le code]

Un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis », avec une règle marquée et un compas.

Pour construire un ennéagone régulier dont un des côtés est le segment AB, de longueur u, on procède ainsi :

  • Appelons D1 la droite contenant A et B.
  • Tracer les cercles C1 de centre A passant par B, et le cercle C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennéagone.
  • Tracer la droite D2 passant par E et F.
  • Tracer le cercle C3 de centre F passant par A.
  • Tracer les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
  • Marquer la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral.
  • Faire glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3.
  • Tracer le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A.
  • Tracer la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K.
  • Tracer le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
  • C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K.
  • C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N.
  • Tracer la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N.
  • Le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.

La démonstration complète est un peu longue mais relève de la géométrie élémentaire.

Construction d'un ennéagone régulier

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Denis Henrion, Mémoires mathématiques,‎ 1613 (lire en ligne), p. 358.
  2. Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M. Hayez,‎ 1837 (lire en ligne), p. 453, 480 et 484.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]