Parallélogramme

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Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Un parallélogramme

Propriétés[modifier | modifier le code]

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :

  • il a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales ;
  • ses diagonales ont le même milieu ;
  • ses côtés opposés ont la même longueur ;
  • ses angles opposés sont égaux ;
  • ses angles consécutifs sont supplémentaires ;
  • ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Propriétés caractéristiques[modifier | modifier le code]

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :

  • ses côtés opposés sont parallèles deux à deux ;
  • le quadrilatère est convexe et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux ;
  • ses diagonales se coupent en leurs milieux ;
  • ABCD est un parallélogramme si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} ;
  • le quadrilatère est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux ;
  • ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Reconnaître un parallélogramme[modifier | modifier le code]

Avec les diagonales[modifier | modifier le code]

Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Avec les côtés[modifier | modifier le code]

Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si un quadrilatère (non croisé) a une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Aire d'un parallélogramme[modifier | modifier le code]

Soient b la longueur d'un côté du parallélogramme et h la longueur de la hauteur associée. L'aire A du parallélogramme vaut :

A=b \times h.

Soit un parallélogramme centré sur l'origine du repère cartésien et défini par m_1 milieu d'un côté du parallélogramme et par m_2 extrémité dudit coté. Alors l'aire du parallélogramme est égale à quatre fois l'aire du parallélogramme bâti sur les segments Om_1 et m_1 m_2. Par conséquent : A = 4 |Om_1 \wedge m_1 m_2| = 4 |y_1 x_2 - y_2 x_1|

Aspect abstrait[modifier | modifier le code]

(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :

  • on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
  • deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati ;
on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;
dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens ».
La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.
  • on appelle vecteur \overrightarrow{AB} la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

Un contre-exemple[modifier | modifier le code]

Contre-exemple montrant l'importance de la convexité.

Un antiparallélogramme

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure.

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Articles connexes[modifier | modifier le code]