Parallélogramme

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Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux ;

Un parallélogramme

Propriétés

Si un quadrilatère est un parallélogramme alors :

• il a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales,
• ses diagonales ont le même milieu,
• ses côtés opposés ont la même longueur,
• ses angles opposés sont égaux,
• ses angles consécutifs sont supplémentaires,
• ses côtés opposés sont parallèles.

Propriétés caractéristiques

Les propriétés suivantes d'un quadrilatère sont équivalentes et définissent chacune un parallélogramme :

• ses côtés opposés sont parallèles deux à deux,
• le quadrilatère est convexe et ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux,
• ses diagonales se coupent en leur milieu,
• ABDC est un parallélogramme si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$,
• le quadrilatère est convexe et ses angles opposés ont la même mesure deux à deux,
• ses angles consécutifs sont supplémentaires deux à deux.

Reconnaître un parallélogramme

Avec les diagonales

Si les diagonales d'un quadrilatère ont le même milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Avec les côtés

Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Si un quadrilatère (non croisé) a une paire de côtés opposés parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Aire d'un parallélogramme

Soient $b$ la longueur d'un côté du parallélogramme et $h$ la longueur de la hauteur associée. L'aire $A$ du parallélogramme vaut :

$A=b \times h$

Aspect abstrait

(C,D) et (E,F) sont équipollents à (A,B).

La notion de parallélogramme permet de définir la relation d'équipollence de deux bipoints, ce qui amène à la notion de vecteur en géométrie euclidienne :

• on appelle bipoint tout couple de points (l'ordre des points a une importance) ;
• deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ;

on peut dire de manière équivalente que (A,B) et (C,D) sont équipollents si [AD] et [BC] ont le même milieu (ce qui règle le problème des parallélogrammes aplatis) ;

dans ce cas, les segments [AB] et [CD] sont parallèles et de même longueur, mais pas seulement : ils ont aussi « le même sens ».

La relation d'équipollence est une relation d'équivalence.

• on appelle vecteur ${}^{\overrightarrow{AB}}$ la classe d'équivalence du bipoint (A,B), c'est-à-dire l'ensemble des bipoints équipollents à (A,B).

Un contre-exemple

Contre exemple montrant l'importance de la convexité.

Un antiparallélogramme

Un antiparallélogramme est un quadrilatère croisé dont les côtés opposés ont la même longueur deux à deux.

Dans un antiparallélogramme, les angles opposés ont la même mesure.

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