Heptagone

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Heptagone
Représentation d'un heptagone régulier
Représentation d'un heptagone régulier

Type polygone

Symbole de Schläfli
Propriétés

Un heptagone est un polygone à sept sommets et sept côtés.

Un heptagone régulier est un heptagone dont tous les côtés sont égaux et dont tous les angles sont égaux. Les angles sont alors tous égaux à \frac{5\pi}{7}.

L'heptagone régulier s'inscrit dans un cercle et les angles au centre associés à chacun de ses côtés sont tous égaux à \frac{2\pi}{7}.

Le rapport entre la longueur d'un côté et le rayon du cercle circonscrit est alors :

\frac{c}{r}=2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\approx 0,86777

L'aire A d'un heptagone régulier est déterminée par la formule suivante où c représente la longueur d'un côté :

A = \frac{7}{4}c^2 \cot \frac{\pi}{7} \approx 3,63391 c^2.

L'heptagone régulier est le plus petit des polygones réguliers non constructible à la règle et au compas car 7 est un nombre premier qui n'est pas de Fermat (théorème de Gauss-Wantzel) .

Il est cependant possible de réaliser une construction à la règle et au compas si on s'aide d'autres outils géométriques ou si la règle peut être graduée. Il est aussi possible d'en tracer une version approchée, aux erreurs faibles, avec le compas et la règle.

Non-constructibilité par règle et compas[modifier | modifier le code]

L'heptagone régulier n'est pas constructible à la règle et compas car 7 n'est pas un nombre de Fermat. On peut aussi démontrer cette propriété de non-constructiblité sans faire appel au nombre de Fermat, en faisant seulement appel au théorème de Wantzel

Si l'heptagone était constructible alors \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) serait un nombre constructible. Notons x=\cos\left(\frac{\pi}{7}\right). Les angles \frac{3\pi}{7} et \frac{4\pi}{7} étant supplémentaires, on a l'égalité suivant comme première équation :

\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)=-\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right)

Les identités trigonométriques

\cos(4a) = 8\cos^4(a) - 8\cos^2(a) +1
\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3 \cos(a)

transforment la première équation en :

8x^4 - 8x^2 + 1 = - 4x^3 + 3x

Le passage de tout dans un membre et une factorisation par x + 1 conduit à :

(x + 1) (8x^3 - 4x^2 - 4x + 1)=0

Le réel x est donc racine de 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1 irréductible sur \mathbb Q et de degré 3. Ceci est en contradiction avec le résultat établi par Wantzel qui énonce que le polynôme minimal d'un nombre constructible a toujours pour degré une puissance de 2. Donc \cos\left(\frac{\pi}{7}\right) n'est pas constructible, par conséquent l'heptagone n'est pas constructible.

Construction par intersection de coniques[modifier | modifier le code]

Voir l'article d'Arnaudiès-Delezoïde Nombres 2-3-constructibles (Advances in Mathematics) ou la figure jointe (qui est notamment détaillée dans le livre de JD Eiden Le jardin d'Eiden(ISBN 978-2916352275)). Le secret qui sous-tend cette possibilité de construction est que le tracé de coniques étend l'ensemble des nombres complexes constructibles.

Construction par intersection de coniques

Dans cette construction, quatre des sept sommets apparaissent comme points d'intersection du cercle circonscrit à l'heptagone et d'une hyperbole équilatère constructible grâce à un logiciel de Géométrie, comme CaBri.

Construction par neusis[modifier | modifier le code]

Une construction par neusis ou par inclinaison est un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données. Il s'agit ici de construire un angle de \frac{\pi}{7}.

Une construction préliminaire[modifier | modifier le code]

Heptagone triangle.png

Dans la figure jointe, ABCDEFGA est un polygone où tous les segments sont de longueur 1. ABFD sont alignés et AGCE aussi.

L'angle DAE vaut \frac{\pi}{7}

Si on note cet angle a, alors le triangle ABC étant isocèle, l'angle CBD vaut 2a.
Le triangle BCD étant isocèle, la somme des angles DCE et BCA vaut 4a, comme BCA vaut a, l'angle DCE vaut 3a
Le triangle CDE étant isocèle, l'angle AED vaut 3a
Le triangle ADE étant isocèle, la somme des angles vaut 7a donc a=\frac{\pi}{7}

La longueur BE vaut \sqrt 2

On note s et t les longueurs BF et FD.
Le triangle FDE étant isocèle, 2\cos(EDF) = t
Les droites (FC) et (DE) étant parallèles, l'angle ACF vaut 3a. Comme l'angle ACB vaut a, l'angle BCF vaut 3a-a = 2a. Le triangle BFC est donc isocèle et FC = FB = s
Le même parallélisme permet de dire, d'après le théorème de Thales, que
\frac{1+s}{1+s+t}=\frac{s}{1}
qui par produit en croix et simplification donne  s^2+st = 1
Le théorème d'Al-Kashi dans le triangle BDE donne alors
BE^2 = BD^2 + DE^2 - 2.BD.DE.\cos(EDF) = 1 + (s+t)^2-t(s+t) = 1 + s^2+st = 2

La construction par neusis[modifier | modifier le code]

Heptagone neusis.svg

Il s'agit de construire un point A sur la médiatrice d'un segment [DE] et un point B sur le segment [AD] tels que AB = 1 et BE = \sqrt 2. On aura alors reconstitué le triangle précédent.

On construit un carré CDEF de côté 1, on trace la médiatrice (d) de [DE], et aussi de [CF], ainsi que le cercle de centre E et de rayon EC.
On place l'origine de la règle sur la médiatrice, la règle s'appuie sur le point D, on fait glisser le long de la médiatrice l'origine de la règle vers le haut de la figure tout en conservant l'appui sur D, jusqu'à ce que le cercle (C) traverse la règle à la graduation 1. On obtient alors les points B et A aux graduations 0 et 1 respectivement.
On construit le cercle circonscrit au triangle isocèle ADE (par la méthode de l'intersection des médiatrices de deux de ses côtés, qui détermine le centre O du cercle à construire, le positionnement le plus précis étant de prendre les deux côtés les plus longs qui doit aussi coïncider sur la médiatrice déjà tracée (d) de DE), qui se trouve être aussi le cercle circonscrit de l'heptagone DEGHAIJ de base DE, qu'il suffit de construire en reportant au compas autour du cercle circonscrit la longueur de son premier arc DE en partant des points D, E et A déjà tracés (DE = EG = GH = HA = AI = IJ = JD).

Cette méthode permettant de tracer au moins un heptagone régulier de côté 1 (mais de rayon circonscrit au départ inconnu) permet ensuite de diviser un disque en 7 parties égales, en déplaçant le centre de cet hexagone de référence au centre du cercle à diviser, puis en utilisant la règle en s'appuyant sur le centre commun et les sommets du premier heptagone pour tracer les rayons coupant le cercle à découper en 7 arcs égaux :

Cette seconde construction ne nécessite que la règle et le compas pour faire « glisser » l'heptagone unitaire déjà construit pour faire coïncider les centres de l'hexagone déplacé avec le centre du cercle à diviser.
Il suffit juste de tracer une première droite joignant le centre du premier hexagone avec le centre du cercle à diviser, puis de tracer les parallèles passant par les sommets du premier hexagone, et de reporter au compas sur ces parallèles la distance entre les deux centres.
Une fois le second hexagone unitaire tracé et aligné au centre du cercle à diviser, il ne reste qu'à l'utiliser pour tracer les 7 rayons coupant le cercle à diviser et passant par les sommets de l'heptagone unitaire déplacé, pour obtenir un heptagone régulier de rayon quelconque inscrit dans le disque à diviser en 7 parts égales.

Constructions approchées[modifier | modifier le code]

À l'aide d'un triangle équilatéral[modifier | modifier le code]

Siebeneck Konstruktion1.jpg

La recherche approchée de la solution de l'équation 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1  = 0 comprise entre \frac{1}{2} et 1 par la méthode de Newton donne pour valeur de x une valeur voisine de 0,901. En prenant comme valeur approchée de \sin(\pi/7), le réel \frac{\sqrt{3}}{4} , on obtient pour une valeur approchée de \cos\left(\frac{\pi}{7}\right), la valeur \frac{\sqrt{13}}{4} très voisine de 0,901. Or la longueur \frac{\sqrt{3}}{4} est très facile à obtenir à l'aide d'un triangle équilatéral.


D'où la construction suivante :

Tracer un cercle de rayon 1 et de centre M.
Prendre un point X sur le cercle. Le cercle de centre X et de rayon XM rencontre le cercle précédent en A et Y
Les droites (AY) et (MX) se coupent en H.
La longueur AH est une bonne approximation du côté de l'heptagone inscrit dans ce même cercle.

Par cette méthode l'angle au centre est d'environ 51,32 degrés au lieu des 51,43 (environ) attendu, soit une erreur relative de 2,15 pour mille

Heptagone régulier dans la vie courante[modifier | modifier le code]

Rosace heptagonale, Eglise de l'Abbaye de Beaulieu-en-Rouergue
Fenêtre heptagonale dans le jardin Yu de Shanghai (Chine).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Heptagramme

Liens externes[modifier | modifier le code]