Heptagone

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Heptagone
Représentation d'un heptagone régulier
Représentation d'un heptagone régulier

Type polygone

Symbole de Schläfli
Propriétés

Un heptagone est un polygone à sept sommets et sept côtés.

Un heptagone régulier est un heptagone dont tous les côtés sont égaux et dont tous les angles sont égaux. Les angles sont alors tous égaux à \frac{5\pi}{7}.

L'heptagone régulier s'inscrit dans un cercle et les angles au centre associés à chacun de ses côtés sont tous égaux à \frac{2\pi}{7}.

Le rapport entre la longueur d'un côté et le rayon du cercle circonscrit est alors :

\frac{c}{r}=2\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)\approx 0,86777

L'aire A d'un heptagone régulier est déterminée par la formule suivante où c représente la longueur d'un côté :

A = \frac{7}{4}c^2 \cot \frac{\pi}{7} \approx 3,63391 c^2.

L'heptagone régulier est le plus petit des polygones réguliers non constructible à la règle et au compas car 7 est un nombre premier qui n'est pas de Fermat (théorème de Gauss-Wantzel) .

Il est cependant possible de réaliser une construction à la règle et au compas si on s'aide d'autres outils géométriques ou si la règle peut être graduée. Il est aussi possible d'en tracer une version approchée, aux erreurs faibles, avec le compas et la règle.

Non-constructibilité par règle et compas[modifier | modifier le code]

L'heptagone régulier n'est pas constructible à la règle et compas car 7 n'est pas un nombre de Fermat. On peut aussi démontrer cette propriété de non-constructiblité sans faire appel au nombre de Fermat, en faisant seulement appel au théorème de Wantzel

Si l'heptagone était constructible alors \cos\left(\frac{2k\pi}{7}\right) serait un nombre constructible. Notons a=\frac{2k\pi}{7}. Les angles 3a et 4a ayant pour somme  2k\pi, on a l'égalité suivante comme première équation :

\cos(4a)=\cos(3a)

Les identités trigonométriques

\cos(4a) = 8\cos^4(a) - 8\cos^2(a) +1
\cos(3a) = 4\cos^3(a) - 3 \cos(a)

transforment, si on note  x=\cos(a), la première équation en :

8x^4 - 8x^2 + 1 =  4x^3 - 3x

Le passage de tout dans un membre et une factorisation par x - 1 conduit à :

(x - 1) (8x^3 + 4x^2 - 4x + 1)=0

Pour k non multiple de 7, le réel x est donc racine de 8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 irréductible sur \mathbb Q et de degré 3. Ceci est en contradiction avec le résultat établi par Wantzel qui énonce que le polynôme minimal d'un nombre constructible a toujours pour degré une puissance de 2. Donc \cos\left(\frac{2k\pi}{7}\right) n'est pas constructible si k n'est pas multiple de 7, par conséquent l'heptagone n'est pas constructible.

Construction par intersection de coniques[modifier | modifier le code]

Construction par intersection de coniques

Puisque 7 est premier de la forme 2^{\alpha}3^{\beta}+1, l'heptagone est constructible à l'aide de coniques[1]. Le secret qui sous-tend cette possibilité de construction est que le tracé de coniques étend l'ensemble des nombres complexes constructibles.

La figure jointe[2] offre une construction de l'heptagone à l'aide du cercle unité et d'une hyperbole équilatère de centre \Omega(1/4,\sqrt{7}/4) et passant par A(1,0). Dans cette construction, quatre des sept sommets apparaissent comme points d'intersection du cercle circonscrit et de l' hyperbole équilatère.

Construction par neusis[modifier | modifier le code]

Une construction par neusis ou par inclinaison est un procédé de construction utilisant une règle graduée et consistant à construire un segment de longueur donnée dont les extrémités se trouvent sur deux courbes données. Il s'agit ici de construire un angle de \frac{\pi}{7}.

Une construction préliminaire[modifier | modifier le code]

Heptagone triangle.png

Dans la figure jointe, ABCDEFGA est un polygone où tous les segments sont de longueur 1. ABFD sont alignés et AGCE aussi.

L'angle DAE vaut \frac{\pi}{7}

Si on note cet angle a, alors le triangle ABC étant isocèle, l'angle CBD vaut 2a.
Le triangle BCD étant isocèle, la somme des angles DCE et BCA vaut 4a, comme BCA vaut a, l'angle DCE vaut 3a
Le triangle CDE étant isocèle, l'angle AED vaut 3a
Le triangle ADE étant isocèle, la somme des angles vaut 7a donc a=\frac{\pi}{7}

La longueur BE vaut \sqrt 2

On note s et t les longueurs BF et FD.
Le triangle FDE étant isocèle, 2\cos(EDF) = t
Les droites (FC) et (DE) étant parallèles, l'angle ACF vaut 3a. Comme l'angle ACB vaut a, l'angle BCF vaut 3a-a = 2a. Le triangle BFC est donc isocèle et FC = FB = s
Le même parallélisme permet de dire, d'après le théorème de Thales, que
\frac{1+s}{1+s+t}=\frac{s}{1}
qui par produit en croix et simplification donne  s^2+st = 1
Le théorème d'Al-Kashi dans le triangle BDE donne alors
BE^2 = BD^2 + DE^2 - 2.BD.DE.\cos(EDF) = 1 + (s+t)^2-t(s+t) = 1 + s^2+st = 2

La construction par neusis[modifier | modifier le code]

Heptagone neusis.svg

Il s'agit de construire un point A sur la médiatrice d'un segment [DE] et un point B sur le segment [AD] tels que AB = 1 et BE = \sqrt 2. On aura alors reconstitué le triangle précédent.

On construit un carré CDEF de côté 1, on trace la médiatrice (d) de [DE], et aussi de [CF], ainsi que le cercle de centre E et de rayon EC.
On place l'origine de la règle sur la médiatrice, la règle s'appuie sur le point D, on fait glisser le long de la médiatrice l'origine de la règle vers le haut de la figure tout en conservant l'appui sur D, jusqu'à ce que le cercle (C) traverse la règle à la graduation 1. On obtient alors les points B et A aux graduations 0 et 1 respectivement.
On construit le cercle circonscrit au triangle isocèle ADE (par la méthode de l'intersection des médiatrices de deux de ses côtés, qui détermine le centre O du cercle à construire, le positionnement le plus précis étant de prendre les deux côtés les plus longs qui doit aussi coïncider sur la médiatrice déjà tracée (d) de DE), qui se trouve être aussi le cercle circonscrit de l'heptagone DEGHAIJ de base DE, qu'il suffit de construire en reportant au compas autour du cercle circonscrit la longueur de son premier arc DE en partant des points D, E et A déjà tracés (DE = EG = GH = HA = AI = IJ = JD).

Cette méthode permettant de tracer au moins un heptagone régulier de côté 1 (mais de rayon circonscrit au départ inconnu) permet ensuite de diviser un disque en 7 parties égales, en déplaçant le centre de cet hexagone de référence au centre du cercle à diviser, puis en utilisant la règle en s'appuyant sur le centre commun et les sommets du premier heptagone pour tracer les rayons coupant le cercle à découper en 7 arcs égaux :

Cette seconde construction ne nécessite que la règle et le compas pour faire « glisser » l'heptagone unitaire déjà construit pour faire coïncider les centres de l'hexagone déplacé avec le centre du cercle à diviser.
Il suffit juste de tracer une première droite joignant le centre du premier hexagone avec le centre du cercle à diviser, puis de tracer les parallèles passant par les sommets du premier hexagone, et de reporter au compas sur ces parallèles la distance entre les deux centres.
Une fois le second hexagone unitaire tracé et aligné au centre du cercle à diviser, il ne reste qu'à l'utiliser pour tracer les 7 rayons coupant le cercle à diviser et passant par les sommets de l'heptagone unitaire déplacé, pour obtenir un heptagone régulier de rayon quelconque inscrit dans le disque à diviser en 7 parts égales.

Constructions approchées[modifier | modifier le code]

À l'aide d'un triangle équilatéral[modifier | modifier le code]

Heptagon construction 1.svg

Le rapport entre le côté de l'heptagone et le rayon du cercle circonscrit est de  2\sin(\pi/7) \approx 0,8677. Ce nombre est très voisin de \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866 et ce nombre est très facile à obtenir à l'aide d'un triangle équilatéral.

D'où la construction suivante :

Tracer un cercle de rayon 1 et de centre M.
Prendre un point X sur le cercle. Le cercle de centre X et de rayon XM rencontre le cercle précédent en A et Y
Les droites (AY) et (MX) se coupent en H.
La longueur AH est une bonne approximation du côté de l'heptagone inscrit dans ce même cercle.

Par cette méthode l'angle au centre est d'environ 51,32 degrés au lieu des 51,43 (environ) attendu, soit une erreur relative de 2,15 pour mille

Heptagone régulier dans la vie courante[modifier | modifier le code]

Rosace heptagonale, Eglise de l'Abbaye de Beaulieu-en-Rouergue
Fenêtre heptagonale dans le jardin Yu de Shanghai (Chine).

Fragments d'histoire[modifier | modifier le code]

L'heptagone est le premier polygone régulier à n'être pas constructible à la règle et au compas. Il est donc naturel qu'après la construction du pentagone et de l'hexagone, les Grecs puis les Arabes se soient penchés sur la construction de l'heptagone. Le seul texte d'origine grecque dont on ait trace sur une construction exacte de l'heptagone est attribué à Archimède : Sur la division d'un cercle en sept parties égales. Il nous est parvenu par une traduction arabe de Thābit ibn Qurra[3]. La méthode de construction utilise une étape intermédiaire consistant à construire un point égalisant l'aire de deux triangles[4] mais les détails de cette construction ne sont pas donnés. Les avis des commentateurs sont donc partagés : est-ce un trou dans la démonstration ? - la construction absente faisait-elle appel à une construction par neusis[5] ?- le point a-t-il été obtenu par intersection de coniques ?

Nombreux sont les mathématiciens arabes à avoir commenté ce texte d'Archimède et dès le Xe siècle des méthodes de construction utilisant l'intersection de deux coniques (deux hyperboles ou une hyperbole et une parabole ) sont proposées, soit pour combler le trou de la démonstration d'Archimède soit pour proposer d'autres constructions (Abū al-Jūd, Al-Sijzi, Al-Saghani (en), Abū Sahl al-Qūhī, Ibn Sahl, Ibn al Haytham, Kamal al-Din ibn Yunus(m. vers 1242))[6]. La relation existant entre la construction de l'heptagone et la résolution d'une équation de degré trois est étudiée dès Abu Nasr Mansur[7].

De tous ces traités sur l'heptagone, il semble qu'aucun n'ait été traduit en latin. On trouve cependant trace d'une construction de l'heptagone faisant référence à la méthode d'Archimède dans le De Triangularis de Jordanus Nemorarius[8].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir théorème 3.6, p. 195, de l'article d'Arnaudiès-Delezoïde Nombres 2-3-constructibles (Advances in Mathematics)
  2. Cette figure est abondamment détaillée dans le livre de JD Eiden Le jardin d'Eiden (ISBN 978-2916352275))
  3. Jan P. Hogendijk, « Greek and Arabic constructions of the regular heptagon », Archive for History of Exact Sciences, vol. 30,‎ 1984, p. 197-330, p. 204
  4. Henry Mendell, Archimedes and the Regular Heptagon, according to Thabit Ibn Qurra, California State University, Los Angeles
  5. Roshdi Rashed, Ibn Al-Haytham's Theory of Conics, Geometrical Constructions and Practical Geometry: A History of Arabic Sciences and Mathematics, Volume 3, p. 299
  6. Hogendijk 1984, p. 201
  7. Hogendijk 1984, p. 240
  8. Hogendijk 1984, p. 270

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Heptagramme

Liens externes[modifier | modifier le code]