Trapèze

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Un trapèze est un quadrilatère, possédant deux côtés opposés parallèles. Ces deux côtés parallèles sont appelés bases.

Avec cette définition, les quadrilatères ABCD et ABDC de la figure sont tous deux des trapèzes (dont les côtés (AB) et (CD) sont parallèles).

Certains auteurs imposent comme condition supplémentaire la convexité du quadrilatère, ce qui conduit à exclure les « trapèzes croisés » tels que ABDC.

Propriétés du trapèze[modifier | modifier le code]

Exemple de trapèze

Un quadrilatère convexe est un trapèze si et seulement s’il possède une paire d’angles consécutifs de somme égale à 180° ou π radians. La somme des deux autres angles est alors la même. Par exemple : Ici les deux paires d'angles ont pour sommets (A,D) et (B,C).

Attention : Dans un trapèze, la somme de deux angles consécutifs n'est pas toujours égale à 180 degrés. (exemple : les angles de sommets A et B)

Cas particuliers du trapèze[modifier | modifier le code]

  • Un trapèze est qualifié de trapèze rectangle dès qu’il possède un angle droit.
Trapeze isocele.gif

Un trapèze est qualifié d’isocèle lorsqu'il vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  • Deux angles adjacents à une même base sont égaux.
  • Les côtés non parallèles sont de même longueur.
  • Les deux bases du trapèze ont la même médiatrice, et celle-ci est un axe de symétrie du trapèze.

Un trapèze convexe dont les bases ont même longueur est un parallélogramme. Les deux autres côtés sont alors parallèles. Le parallélogramme est donc un trapèze particulier. Un trapèze ABCD dans lequel on sait seulement que (AB) et (CD) sont parallèles, et AD=BC, peut être un trapèze isocèle ou un parallélogramme. Ainsi, dans la deuxième des propriétés équivalentes précédentes, il faut s'assurer que les côtés qui ne sont pas les « bases » du trapèze sont effectivement non parallèles.

Aire du trapèze[modifier | modifier le code]

L’aire du trapèze vaut le produit de sa hauteur par la demi-somme de ses bases.

C’est-à-dire, soit h la hauteur, a la première base, et c la deuxième.

\dfrac{(a+c)h}{2}

Ceci peut se démontrer facilement en remarquant que le trapèze est un rectangle (d'aire ch) auquel on accole deux triangles (dont la somme des aires est (AH + BK)h/2 = (a – c)h/2) ou encore en considérant le parallélogramme obtenu après symétrie de centre le milieu d'un des côtés non

Aire trapeze decoupage.gif

parallèles. On peut aussi[1],[2] considérer les triangles ADC et ACB, respectivement de bases c et a, et de hauteur commune h.

Trapezoid.gif

Une autre formule donne l'aire du trapèze lorsque ne sont connues que les quatre longueurs a, b, c, d des quatre côtés[3] :

 \frac{a+c}{4|a-c|}\sqrt{(a+b-c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)(-a+b+c+d)}

a et c représentent encore les longueurs (supposées distinctes) des deux bases.

Pour c = 0, on retrouve la formule de Héron.

Barycentre du trapèze[modifier | modifier le code]

Centre de masse d'un trapèze quelconque.
Le barycentre d'un trapèze de bases a et b et de hauteur h est situé sur la médiane joignant les deux bases et à une distance \frac{h}{3}\times\frac{a+2b}{a+b} de la base de longeur a. C'est le barycentre des milieux I_{a} et I_{b} pondérés respectivement par 2a + b et 2b + a.

Diagonales[modifier | modifier le code]

En supposant à nouveau que les deux bases a et c sont distinctes, les diagonales p et q sont liées aux quatre côtés par les formules[3] :

p^2=ac+\frac{ad^2-cb^2}{a-c},\quad q^2=ac+\frac{ab^2-cd^2}{a-c},

équivalentes à

2ac=p^2+q^2-b^2-d^2,\quad a(p^2-q^2+b^2-d^2)=c(p^2-q^2+d^2-b^2)

donc à

a^2=\frac{(p^2-b^2)^2-(q^2-d^2)^2}{2(p^2+b^2-q^2-d^2)},\quad c^2=\frac{(p^2-d^2)^2-(q^2-b^2)^2}{2(p^2+d^2-q^2-b^2)}.

Théorème du trapèze[modifier | modifier le code]

Trapeze complet.svg

Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

En effet, soit ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ayant pour milieux I et J. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Les droites (BC) et (AD) se coupent en P.

Les points I, J, O et P sont alignés.

Démonstration avec l'homothétie :

Utiliser les propriétés des homothéties transformant le segment [AB] en [CD].

Réciproque : CDP est un triangle, J le milieu de [CD], O un point de la droite (PJ) distinct de P, de J et du symétrique de J par rapport à P.

(CO) coupe (PD) en A et (DO) coupe (PC) en B.

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles et le point I, intersection de (AB) et (PJ), est le milieu de [AB].

Méthode des trapèzes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Méthode des trapèzes.

La méthode d’intégration approchée, dite des trapèzes, décrite par Isaac Newton et son élève Roger Cotes, consiste à remplacer les arcs de courbe successifs MiMi+1 par les segments [MiMi+1] : c'est une interpolation linéaire.

La méthode des trapèzes est plus précise que la méthode élémentaire, dite des rectangles, correspondant aux sommes de Riemann, consistant à remplacer la fonction donnée par une fonction en escalier.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. S.-F. Lacroix, Éléments de géométrie, Mallet-Bachelier,‎ 1855, 17e éd. (lire en ligne), p. 85.
  2. Eugène Rouché et Charles de Comberousse (de), Éléments de géométrie, Gauthier-Villars,‎ 1867 (lire en ligne), p. 177.
  3. a et b (en) Eric W. Weisstein, « Trapezoid », MathWorld.

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