Triangle rectangle

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Représentation d'un triangle ABC rectangle en C.

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit. On nomme alors hypoténuse le côté opposé à l'angle droit. De plus, on appelle cathète chaque côté adjacent à l'angle droit.

Dans un triangle ABC rectangle en C , le côté [AC] est appelé côté adjacent à l'angle de sommet A et le côté [CB] , côté opposé à l'angle de sommet A. Par rapport à l'angle de sommet A , le côté [AC] est dit la cathète adjacente tandis que le côté [BC] est la cathète opposée.


Intérêt[modifier | modifier le code]

La connaissance des triangles rectangles et de leurs relations métriques permettent de travailler sur de nombreux problèmes. Par exemple :

  • on peut décomposer tout triangle en deux triangles rectangles ;
  • dans un repère orthonormé (O,\vec{\imath},\vec{\jmath}), si un point M se projette selon H sur l'axe (O,\vec{\imath}) et selon I sur l'axe (O,\vec{\jmath}), alors OHM et OMI sont des triangles rectangles ;
  • d'un point de vue vectoriel, un vecteur \vec{v} se décompose selon
    \vec{v} = x_v \cdot \vec{\imath} + y_v \cdot \vec{\jmath}
    les vecteurs (x_v \cdot \vec{\imath},y_v \cdot \vec{\jmath}, \vec{v}) forment un triangle rectangle ;
  • de manière générale, la trigonométrie concerne les relations dans le triangle rectangle.

Principales propriétés[modifier | modifier le code]

Aire[modifier | modifier le code]

Comme pour tout triangle, pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on multiplie base et hauteur correspondantes, et on divise le tout par deux. Si ABC est rectangle en A, chacun des côtés AB et AC peut être considéré comme une hauteur, la base étant alors l'autre côté de l'angle droit (AC et AB respectivement). L'aire S du triangle est donc égale à S = (AB*AC)/2  .

Par exemple, on a un triangle rectangle en A avec AB = 4 cm, AC = 3 cm, et l'hypoténuse BC = 5 cm. On a S = (4*3)/2 = 6, donc l'aire du triangle rectangle est de 6 cm².

Remarque : On pourrait bien sûr utiliser aussi le troisième côté, l'hypoténuse BC, comme base, et trouver le même résultat, mais la hauteur associée à BC devrait être calculée, elle n'est pas directement un côté.

Théorème de Pythagore[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème de Pythagore.

Le théorème de Pythagore précise que :

si un triangle ABC est rectangle en A, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs des côtés de l’angle droit, soit :

BC2 = AC2 + AB2.

Réciproquement, tout triangle ABC vérifiant l'égalité précédente est un triangle rectangle en A.

Droites remarquables[modifier | modifier le code]

Médiane[modifier | modifier le code]

Médiane de l'angle droit d'un triangle rectangle
Articles détaillés : Théorème de Thalès et Médiane.

La médiane issue de l'angle droit d'un triangle rectangle possède une propriété caractéristique démontré par Thalès :

si M est le milieu de l'hypoténuse, alors AM=½BC. On peut également dire que le point A est situé sur le cercle de diamètre [BC].
Réciproquement, si A est un point quelconque du cercle de diamètre [BC] alors le triangle ABC est rectangle en A.

Il existe plusieurs démonstrations de ce théorème. Le sens direct peut se montrer de manière purement géométrique : par définition M est le milieu de [BC]. Le triangle rectangle ABC est un demi-rectangle ABCD. Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu, donc M, milieu de [BC], est aussi celui de [AD]. Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC et AM = AD / 2 = BC / 2.

On peut aussi faire appel aux vecteurs :

\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} et \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}, d'où : \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}),

Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc : AM² = (AB² + AC²)/4.

D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient : BC² = AB² + AC². Et finalement : AM = BC / 2.

On peut également appliquer le théorème de l'angle au centre, qui permet en outre de démontrer la réciproque. Considérons le cercle circonscrit au triangle ABC et notons O son centre. D'après le théorème de l'angle au centre l'angle BOC est le double de l'angle BAC. Donc

\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} = \pi.

Ainsi les points B, O et C sont alignés. Comme de plus BO=OC on voit que O est le milieu de [BC] donc O=M.

Réciproquement, si on sait que A est un point du cercle de diamètre [BC]. D'après le théorème de l'angle au centre, l'angle BAC est la moitié de l'angle BOC, donc il vaut π/2. Ainsi le triangle BAC est rectangle en A.

Avec les notations précédentes (ABC rectangle en A et M le milieu de [BC]) : le centre de gravité G vérifie

\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}

(voir médianes et centre de gravité), et M se projette aux milieux de [AB] et de [AC] (ABM et ACM sont des triangles isocèles). Le point G se projette donc au tiers de [AB] et de [AC] :

\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}).

Hauteur[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Hauteur d'un triangle.
Triangle rectangle et pied de la hauteur

La hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle possède des propriétés caractéristiques dont l'une apparaît dans les premières pages du livre de René Descartes, La géométrie.

Dans tout triangle ABC dont H est le pied de la hauteur issue de C.

  • Si le triangle est rectangle en C alors
    • H appartient à [AB] et CH^2 = HA \times HB ;
    • H appartient à [AB] et AC^2 = AH \times AB ou BC^2 = BH \times AB ;
    • CH \times AB = CA\times CB.
  • Réciproquement, un triangle dans lequel l'une de ces trois propriétés est réalisée est un triangle rectangle en C.

Les deux premières propriétés se déduisent de l'observation des trois triangles semblables ABC, CBH et ACH. La troisième consiste à écrire l'aire du triangle rectangle en considérant successivement BC et BA comme base.

Les réciproques utilisent les mêmes outils : les premières égalités traduisent des égalités de rapports et la présence d'un angle droit ou d'un angle en commun confirment la présence de triangle semblables. donc certains sont rectangles.

L'orthocentre d'un triangle rectangle est de manière évidente le sommet où se trouve l'angle droit.

Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit, a une longueur HC égale à la somme des rayons des cercles inscrits respectivement dans le triangle rectangle initial ABC et les deux triangles rectangles délimités par la hauteur. Si on appelle r le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC, r1 celui du cercle inscrit dans le triangle AHC , r2 celui du cercle inscrit dans le triangle BHC, et h la hauteur CH , on a :

h = r + r1 + r2

La hauteur h , les rayons r, r1 et r2 sont liés par les relations : \frac{h}{r_1}=\frac{a}{r} et \frac{h}{r_2}=\frac {b}{r}

r^2 = r_1^2 + r_2^2

et

\frac{r_1}{b} = \frac{r_2}{a}=\frac{r}{c}.

Bissectrice[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Bissectrices d'un triangle.
Triangle rectangle et son cercle inscrit

Dans tout triangle rectangle, les bissectrices se rencontrent en un point O centre du cercle inscrit au triangle. Le rayon de ce cercle inscrit est égal au demi-périmètre moins l'hypoténuse. Il est aussi égal à deux fois la surface du triangle divisée par le périmètre.

Soit ABC un triangle rectangle en C. Le segment bissectrice intérieure de l'angle droit BCA soit [CM] a une longueur égale au quotient de la division du produit de deux côtés de l'angle droit par \sqrt2 et la somme de ces côtés :

CM=\frac{CB\times CA\sqrt2}{CB+CA}.

Quand le triangle rectangle n'est pas isocèle, le segment bissectrice extérieure de l'angle droit BCA soit [CN] a une longueur égale au quotient de la division du produit de deux côtés de l'angle droit par \sqrt2 et la différence de ces côtés :

CN=\frac{CB\times CA\sqrt2}{|CB-CA| }

Médiatrice[modifier | modifier le code]

Les médiatrices des côtés adjacents à l'angle droit dans un triangle rectangle possèdent une propriété caractéristique, conséquence directe du théorème de Thalès dans un cercle.

Pour tout triangle ABC dont la médiatrice du côté [BC] rencontre la droite (AB) en I

  • Si le triangle est rectangle en C alors I est le milieu de [AB].
  • Réciproquement, si le point I est le milieu de [AB] alors le triangle est rectangle en C.

La même réflexion sur l'inscription du triangle rectangle dans un demi-cercle permet de préciser le point d'intersection des médiatrices : c'est le milieu de l'hypoténuse.

Autres propriétés[modifier | modifier le code]

Pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 3, on peut toujours trouver un triangle rectangle dont la longueur d'un côté de l'angle droit est n et la longueur des deux autres côtés sont des nombres entiers. En effet :

  • Si n est un nombre pair, n = 2k
    Il suffit de prendre la longueur de l'autre côté de l'angle droit égal à k2 - 1. Le théorème de Pythagore nous donne alors une hypoténuse de longueur égale à k2+1.
  • Si n est un nombre impair, n = 2k + 1
    Il suffit de prendre la longueur de l'autre côté de l'angle droit égal à 2k2 + 2k. Le théorème de Pythagore nous donne alors une hypoténuse de longueur égale à 2k2 + 2k + 1.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]