Icosaèdre tronqué

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Icosaèdre tronqué

alt=Description de l'image truncatedicosahedron.gif.
Faces Arêtes Sommets
32 hexagones et pentagones 90 60 de degré 3
Type Solide d'Archimède
Caractéristique 2
Propriétés Semi-régulier et convexe, zonoèdre
Groupe de symétrie A5 × C2
Dual Pentakidodécaèdre

L'icosaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il comprend 12 faces pentagonales régulières, 20 faces hexagonales régulières, 60 sommets et 90 arêtes.

Ce polyèdre peut être construit à partir d'un icosaèdre avec une troncature sur les 12 sommets telle qu'un tiers de chaque arête est enlevé à chaque extrémité. Ceci crée 12 nouvelles faces pentagonales, et remplace les 20 faces triangulaires d'origine par des hexagones réguliers. Ainsi, la longueur des arêtes est un tiers de la longueur des arêtes originales.

Coordonnées canoniques[modifier | modifier le code]

Les coordonnées canoniques pour les sommets d'un icosaèdre tronqué centré à l'origine sont les rectangles orthogonaux (0,±1,±3φ), (±1,±3φ,0), (±3φ,0,±1) et les pavés orthogonaux (±2,±(1+2φ),±φ), (±(1+2φ),±φ,±2), (±φ,±2,±(1+2φ)) le long des pavés orthogonaux (±1,±(2+φ),±2φ), (±(2+φ),±2φ,±1), (±2φ,±1,±(2+φ)), où φ = (1+√5)/2 est le nombre d'or. En utilisant φ2 = φ + 1, on vérifie que tous les sommets sont sur une sphère, centrée à l'origine, avec le carré du rayon égal à 9φ + 10. Les arêtes sont de longueur 2.

Relations géométriques[modifier | modifier le code]

L'icosaèdre tronqué vérifie facilement la caractéristique d'Euler :

32 + 60 − 90 = 2.

Avec des arêtes égales à l'unité, la surface est (arrondie) de 21 pour les pentagones et 52 pour les hexagones, faisant 73 en tout (voir aires des polygones réguliers).

Applications[modifier | modifier le code]

Comparé à un ballon de football.

Un ballon de football comprend le même motif de pentagones réguliers et d'hexagones réguliers, mais est plus sphérique en raison de la pression du gonflage et de l'élasticité de la balle.

Cette forme fut aussi la configuration des lentilles utilisées pour concentrer les ondes de choc d'explosion des détonateurs dans le gadget (le prototype de la bombe atomique) et Fat Man (la bombe atomique lancée sur Nagasaki)[1].

L'icosaèdre tronqué est aussi utilisé comme un modèle de la molécule de buckminsterfullerène (C60). Les diamètres du ballon de football et de la molécule de buckminsterfullerène sont respectivement de 22 cm et d'environ 0,1 nm, par conséquent, le rapport de taille est de 200 000 000 pour 1.

L'icosaèdre tronqué dans les arts[modifier | modifier le code]

Un icosaèdre tronqué avec des « arêtes solides » est un dessin de Lucas Pacioli illustrant La Divine Proportion.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références et bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X
  1. Richard Rhodes. Dark Sun: The Making of the Hydrogen Bomb, ISBN 0-684-82414-0. Touchstone Books, 1996., p. 195

Liens externes[modifier | modifier le code]