Construction du pentagone régulier à la règle et au compas

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Une construction du pentagone régulier à la règle et au compas

La construction d'un pentagone régulier à la règle et au compas est une des premières constructions (après le triangle équilatéral et le carré) non triviale réalisable grâce aux axiomes d'Euclide.

La construction exacte d'un pentagone régulier fait intervenir le nombre d'or et surtout son pendant géométrique : le triangle d'or. Euclide propose une construction d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle donné.

Mais d'autres méthodes de construction plus rapides existent[1], certaines sont exposées ci-dessous.

D'autres mathématiciens ou géomètres proposent aussi des constructions approchées réalisables avec un seul écartement de compas. C'est le cas par exemple d'Abu l-Wafa dans son Livre sur l’indispensable aux artisans en fait de construction (Xe siècle), ou de Matthaüs Roritzer dans sa Geometria deutsch (1486), construction qu'Albrecht Dürer reprend dans son Instructions pour la mesure, à la règle et au compas, des lignes, plans et corps solides (1525)

Construction selon Euclide[modifier | modifier le code]

Euclide construit un pentagone régulier (équilatéral et équiangle) inscrit dans un cercle. Son élément de base est le triangle d'or : un triangle isocèle dont les angles avec la base sont double de l'angle au sommet (et ainsi l'angle au sommet est le 5e de l'angle plat). 180/5=36

Construction du triangle d'or[modifier | modifier le code]

Triangleor.svg

Dans la figure jointe, I est le milieu de [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Euclide démontre que le triangle ABF est un triangle d'or en utilisant des propriétés assez longues

De nos jours, la démonstration est plus simple car si on note AC = 1, on obtient

Les dimensions du triangle ABF sont donc 1, 1 et  \frac{1}{\varphi}. C'est bien un triangle d'or.

Construction du pentagone[modifier | modifier le code]

PentagonEuclide.svg

Euclide prouve qu'il peut construire un triangle d'or inscrit dans un cercle.

  1. À partir du triangle d'or OA'C construire le triangle d'or CDA grâce à l'arc de cercle de centre A' et de rayon A'C
  2. En prenant les bissectrices des angles C et D en les prolongeant jusqu'au cercle, il obtient les deux sommets B et E manquant.

Constructions contemporaines[modifier | modifier le code]

Commentaires de l'animation[modifier | modifier le code]

L'animation utilise la propriété suivante : dans le pentagone ABCDE ci-dessus, inscrit dans un cercle de rayon 1, on peut démontrer, en utilisant le théorème de Pythagore, que les côtés AC et AB ont pour longueurs respectives :

Commentaires de l'animation
AC = \frac{\sqrt{10+2\sqrt 5}}{2}
AB=CD = \frac{\sqrt{10-2\sqrt 5}}{2}

En effet, AC est un côté de l'angle droit dans le triangle rectangle AA'C, dont les deux autres dimensions sont 2 et \scriptstyle \frac{\sqrt 5 - 1}{2}.

Quant à DC, la présence d'angles droits dans le quadrilatère ACA'D permet d'affirmer que AA' × DC = 2 × AC × A'C

Dans l'animation présentée, les deux derniers cercles construits ont pour rayons AM et AN (voir figure ci-contre). Or AM est l'hypoténuse du triangle rectangle MOA dont les deux autres dimensions sont 1 et \scriptstyle \frac{\sqrt 5 - 1}{2}. donc le théorème de Pythagore permet de prouver que AM correspond bien à la longueur AB.

Quant à AN, c'est l'hypoténuse du triangle rectangle ONA dont les autres dimensions sont 1 et \scriptstyle \frac{\sqrt 5 + 1}{2} donc AN correspond bien à la longueur AC.

Pentagone inscrit dans un cercle[modifier | modifier le code]

On peut grandement simplifier la construction d'Euclide en conservant le même principe : construire des triangles d'or ou d'argent.:

construction du pentagone
  1. Tracer un cercle Γ de centre O et de rayon R (unité quelconque)
  2. Tracer 2 diamètres perpendiculaires
    • les jonctions à Γ formant les point A, B, C, D
    • A étant diamétralement opposé à C
    • B étant diamétralement opposé à D
  3. Tracer un cercle Γ ' de diamètre [OA] (rayon R' = R/2) et de centre I
    • Γ ' passe donc en O et A
  4. Tracer une droite (d) passant par B et I
    • (d) intercepte Γ ' en E et F (E est le plus proche de B)
  5. Tracer 2 (arc de) cercles Γ1 et Γ2 de centre B et de rayons (respectivement) BE et BF
    • Γ1 et Γ2 interceptent Γ en 4 pts (D1, D2, D3, D4)

D, D1, D2, D3, D4 forment un pentagone régulier

En effet, on vérifie que BOD2 est un triangle d'or, BOD1 un triangle d'argent (leurs bases valent respectivement R/\varphi et \varphi R alors que leurs côtés valent R).

Pentagone dans un cercle dont le rayon n'est pas l'unité[modifier | modifier le code]

construction du pentagone
  1. On utilise un repère orthonormé (OIJ) (Constructible puisque l'on sait construire un angle droit et reporter une longueur!)
  2. On place le point A(-1/2,0) et on trace le cercle bleu de centre A passant par J. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en deux points, soit B le point d'abscisse positive
  3. On trace le cercle vert de centre O passant par J
  4. Soit C le milieu de [OB]. La parallèle à l'axe des ordonnées passant par C coupe le cercle vert en un point D.
  5. Avec le compas on reporte successivement la longueur ID sur le cercle vert
  6. On obtient ainsi le pentagone rouge

Démonstration :

Montrons que OC = cos(2\pi/5)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Le Théorème de Pythagore dans le triangle AOJ donne AJ2 = (1/2)2 + 12.
Or AB = AJ (rayons du cercle bleu) et OB = AB - AO. D'où OB = AJ -(1/2), soit OB =\sqrt{(1/2)^2+1}-1/2, d'où le résultat puisque OC = 1/2 OB.

Pentagone inscrit dans un cercle inscrit dans un carré.[modifier | modifier le code]

Pentagonecarre.svg
  1. Tracer un carré ABCD. Placer E milieu de [CD].
  2. Tracer le cercle \Gamma de centre O et de rayon OE inscrit dans ce carré.
  3. Placer T le point de la demi-droite [DC) tel que: ET=EB.
  4. Placer I le milieu de [DT].
  5. Tracer le triangle OHE isocèle en H tel que: OH=DI. La droite (OH) coupe le cercle \Gamma en M.
  6. La distance EM est la longueur des côtés du pentagone inscrit dans \Gamma .

Démonstration : Si on appelle r le rayon du cercle inscrit, on peut démontrer grâce au théorème de Pythagore que EB = ET = r\sqrt 5. D'où il vient que OH = DI = r\frac{1 + \sqrt 5}{2}= \varphi r\varphi est le nombre d'or. Le triangle OEH est alors un triangle d'or et l'angle EOM vaut donc 72° (angle au centre dans un pentagone régulier).


Pentagone approché[modifier | modifier le code]

PentagonDurer.svg

Méthode de Dürer[modifier | modifier le code]

Dans son livre ''Instructions pour la mesure, à la règle et au compas, des lignes, plans et corps solides, Albrecht Dürer propose cette construction qu'il estime exacte. L'intérêt de cette construction vient du fait de l'économie de moyens mis en œuvre: tous les cercles tracés ont même rayon.

Cependant, le pentagone tracé est bien équilatéral mais il n'est pas équiangle : les angles de base font environ 108,35 ° au lieu des 108° attendus et l'angle au sommet fait un peu plus de 109° . Cette preuve est apportée par les géomètres Giovanni Battista Benedetti et Clavius.

  1. Tracer le segment [AB]
  2. Tracer les cercles de rayon AB de centres A et B. Ils se coupent en I et J
  3. Tracer la droite (d) passant par I et J
  4. Tracer un cercle de centre I et de rayon AB. Il coupe les cercles précédents en K et L et la droite (d) en M. les droites (KM) et (LM) recoupent les cercles en C et E
  5. D est tel que CD = ED = AB


construction d'un pentagone régulier
Construction d'un pentagone régulier inscrit

Avec découpage de segments[modifier | modifier le code]

En s'inspirant de la construction de l'enneagone[2], on peut tracer une construction approchée d'un pentagone régulier, à la règle et au compas, selon la méthode identique à celle donnée pour l'heptagone.

Tracer le cercle de centre O de rayon OX, avec un angle OÂB = 120°.
Tracer l'arc de cercle de rayon XY et de centre X
Tracer l'arc de cercle de rayon YX et de centre Y
Ces arcs se coupent en U
Tracer les droites (UA) et (UB). Ils coupent le diamètre (XY) en C et D
À partir de C, sur une droite quelconque, porter avec un compas cinq segments égaux CE = EF = FG = GH = HI
Tracer la droite ( ID) et tracer la parallèle à celle-ci passant par G (au moyen de la règle et du compas). Elle coupe (XY) en G’.
Tracer la droite (UG').Elle coupe le cercle en G’’.
Reportez au compas tout le long du cercle la longueur AG’’, on trouve alors les cinq sommets du pentagone régulier inscrit dans le cercle.

Remarque : pour faire un pentagone comprenant le point B, il aurait fallu prendre le point F’.

Par cette construction, l'angle au centre AOG’’est d'environ 72,14 degré au lieu des 72 attendus, soit une erreur relative de 1,92 pour mille.

Cette méthode permet de faire n'importe quel polygone régulier. Il suffit de sectionner le segment CD en autant de secteurs identiques qu'il y a de côtés souhaités pour le polygone. Ensuite, on prend le troisième point en partant de C (G’), on trace le segment qui le relie à U et on obtient G’’ à l'intersection entre le cercle et ce segment (dans le demi-plan inférieur à XY). L'erreur commise sur l'angle au centre pour cette méthode varie de 1,92 pour mille à 11,7 pour mille selon le nombre de côtés.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Constructions du Pentagone (Douze constructions exactes du pentagone à la « règle et au compas »)
  2. http://www.chateau-de-mezerville.org/curiosites-geometriques/trace-enneagone.php

Sources[modifier | modifier le code]

  • Euclide Les éléments, Livre 4, propositions XII et XIII
  • Jeanne Peiffer, La géométrie d'Albrecht Dürer et ses lecteurs, Bulletin de l'APMEP. Num. 442. p. 630-648

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Série animée de pentagones et pentagrammes

Liens internes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]