Loi de Burr

Loi de Burr
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$c>0\!$ $k>0\!$
Support	$x>0\!$
Densité de probabilité	$ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\!$
Fonction de répartition	$1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}$
Espérance	$k\operatorname {B} (k-1/c,\,1+1/c)$ où B est la fonction bêta
Médiane	$\left(2^{\frac {1}{k}}-1\right)^{\frac {1}{c}}$
Mode	$\left({\frac {c-1}{kc+1}}\right)^{\frac {1}{c}}$

En théorie des probabilités, en statistique et en économétrie, la loi de Burr, loi de Burr de type XII, loi de Singh-Maddala, ou encore loi log-logistisque généralisée est une loi de probabilité continue dépendant de deux paramètres réels positifs c et k. Elle est communément utilisée pour étudier les revenus des ménages.

Si X suit une loi de Burr (ou Singh-Maddala), on notera $X\sim SM(c,k)$.

Caractérisation

La densité de probabilité de la loi de Burr est donnée par :

$f(x;c,k)={\begin{cases}ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

et sa fonction de répartition est :

$F(x;c,k)={\begin{cases}1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Si c=1, la loi de Burr est la Distribution de Pareto.

Références

• Burr, I.W. (1942) "Cumulative frequency functions", Annals of Mathematical Statistics, 13, 215–232
• Rodriguez, R.N. (1977) "A guide to Burr Type XII distributions", Biometrika, 64, 129–134

Voir également

Articles connexes

• loi de Dagum, également connue comme la loi de Burr inversée.