Nombre taxicab

Cet article doit être wikifié (février 2009). Le texte ne correspond pas à la mise en forme Wikipédia (style de Wikipédia, typographie, liens internes, lien entre les wikis, etc.). Téléchargez le guide de syntaxe et modifiez !

En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire.

Nombres Taxicab connus

$\operatorname{Ta}(1) = 2 = 1^3 + 1^3$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(2)&=&1729&=&1^3 + 12^3 \\&&&=&9^3 + 10^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(3)&=&87539319&=&167^3 + 436^3 \\&&&=&228^3 + 423^3 \\&&&=&255^3 + 414^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(4)&=&6963472309248&=&2421^3 + 19083^3 \\&&&=&5436^3 + 18948^3 \\&&&=&10200^3 + 18072^3 \\&&&=&13322^3 + 16630^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(5)&=&48988659276962496&=&38787^3 + 365757^3 \\&&&=&107839^3 + 362753^3 \\&&&=&205292^3 + 342952^3 \\&&&=&221424^3 + 336588^3 \\&&&=&231518^3 + 331954^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(6)&=&24153319581254312065344&=&582162^3 + 28906206^3 \\&&&=&3064173^3 + 28894803^3 \\&&&=&8519281^3 + 28657487^3 \\&&&=&16218068^3 + 27093208^3 \\&&&=&17492496^3 + 26590452^3 \\&&&=&18289922^3 + 26224366^3\end{matrix}$

Limites supérieures de nombres Taxicab

De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab.

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(7)& \le &24885189317885898975235988544&=&2648660966^3 + 1847282122^3 \\&&&=&2685635652^3 + 1766742096^3 \\&&&=&2736414008^3 + 1638024868^3 \\&&&=&2894406187^3 + 860447381^3 \\&&&=&2915734948^3 + 459531128^3 \\&&&=&2918375103^3 + 309481473^3\\&&&=&2919526806^3 + 58798362^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(8)& \le &50974398750539071400590819921724352&=&299512063576^3 + 288873662876^3 \\&&&=&336379942682^3 + 234604829494^3 \\&&&=&341075727804^3 + 224376246192^3 \\&&&=&347524579016^3 + 208029158236^3 \\&&&=&367589585749^3 + 109276817387^3 \\&&&=&370298338396^3 + 58360453256^3\\&&&=&370633638081^3 + 39304147071^3\\&&&=&370779904362^3 + 7467391974^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(9)& \le &136897813798023990395783317207361432493888&=&41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\&&&=&46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\&&&=&47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\&&&=&48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\&&&=&51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\&&&=&51471469037044^3 + 8112103002584^3\\&&&=&51518075693259^3 + 5463276442869^3\\&&&=&51530042142656^3 + 4076877805588^3\\&&&=&51538406706318^3 + 1037967484386^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(10)& \le &7335345315241855602572782233444632535674275447104&=&15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\&&&=&17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\&&&=&17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\&&&=&18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\&&&=&19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\&&&=&19404743826965588^3 + 3058262831974168^3\\&&&=&19422314536358643^3 + 2059655218961613^3\\&&&=&19426825887781312^3 + 1536982932706676^3\\&&&=&19429379778270560^3 + 904069333568884^3\\&&&=&19429979328281886^3 + 391313741613522^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(11)& \le &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632&=&11410505395325664056^3 + 11005214445987377356^3 \\&&&=&12815060285137243042^3 + 8937735731741157614^3 \\&&&=&12993955521710159724^3 + 8548057588027946352^3 \\&&&=&13239637283805550696^3 + 7925282888762885516^3 \\&&&=&13600192974314732786^3 + 6716379921779399326^3 \\&&&=&14004053464077523769^3 + 4163116835733008647^3\\&&&=&14107248762203982476^3 + 2223357078845220136^3\\&&&=&14120022667932733461^3 + 1497369344185092651^3\\&&&=&14123302420417013824^3 + 1117386592077753452^3\\&&&=&14125159098802697120^3 + 657258405504578668^3\\&&&=&14125594971660931122^3 + 284485090153030494^3\end{matrix}$

$\begin{matrix}\operatorname{Ta}(12)& \le &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152&=&33900611529512547910376^3 + 32696492119028498124676^3 \\&&&=&38073544107142749077782^3 + 26554012859002979271194^3\\&&&=&38605041855000884540004^3 + 25396279094031028611792^3 \\&&&=&39334962370186291117816^3 + 23546015462514532868036^3 \\&&&=&40406173326689071107206^3 + 19954364747606595397546^3 \\&&&=&41606042841774323117699^3 + 12368620118962768690237^3 \\&&&=&41912636072508031936196^3 + 6605593881249149024056^3 \\&&&=&41950587346428151112631^3 + 4448684321573910266121^3 \\&&&=&41960331491058948071104^3 + 3319755565063005505892^3 \\&&&=&41965847682542813143520^3 + 1952714722754103222628^3 \\&&&=&41965889731136229476526^3 + 1933097542618122241026^3 \\&&&=&41967142660804626363462^3 + 845205202844653597674^3\end{matrix}$

Histoire

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anecdote impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes. »

Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Ta(6) fut annoncé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list le 9 mars 2008.

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre cabtaxi
• Nombre taxicab généralisé

Liens externes

• suite A011541 de l’OEIS
• Message électronique de Randall L. Rathbun annonçant sa découverte de 24 153 319 581 254 312 065 344
• (en) Lien vers les recherches sur les taxicabs 6 à 11 (trouvés en 2006)

Références

• (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, London et New York, Oxford University Press, 1954, 3^e éd. , Thm. 412.
• (en) J. Leech, « Some Solutions of Diophantine Equations », dans Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 53, 1957, p. 778-780 .
• (en) E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel, « The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³ », dans Bull. Inst. Math. Appl., vol. 27, 1991, p. 155-157; MR 92i:11134 [texte intégral (page consultée le 14 décembre 2009)] .
• (en) David W. Wilson, « The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496 », dans Journal of Integer Sequences, vol. 2, 1999 [texte intégral (page consultée le 14 décembre 2009)] .
• (en) D. J. Bernstein, « Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) », dans Mathematics of Computation, vol. 70, n^o 233, 2000, p. 389-394 .
• (en) C. S. Calude, E. Calude et M. J. Dinneen, « What is the value of Taxicab(6)? », dans Journal of Universal Computer Science, vol. 9, 2003, p. 1196-1203 .