Nombre taxicab

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En mathématiques, le nième nombre taxicab, noté Ta(n) ou Taxicab(n), est défini comme le plus petit nombre qui peut être exprimé comme une somme de deux cubes positifs non nuls de n façons distinctes à l'ordre des opérandes près. Hardy et E. M. Wright démontrèrent en 1954 que de tels nombres existent pour tous les entiers n ; néanmoins, leur preuve n'indique pas comment les construire.

Nombres Taxicab connus[modifier | modifier le code]

\operatorname{Ta}(1) = 2 = 1^3 + 1^3
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(2)&=&1729&=&1^3 + 12^3 \\&&&=&9^3 + 10^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(3)&=&87539319&=&167^3 + 436^3 \\&&&=&228^3 + 423^3 \\&&&=&255^3 + 414^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(4)&=&6963472309248&=&2421^3 + 19083^3 \\&&&=&5436^3 + 18948^3 \\&&&=&10200^3 + 18072^3 \\&&&=&13322^3 + 16630^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(5)&=&48988659276962496&=&38787^3 + 365757^3 \\&&&=&107839^3 + 362753^3 \\&&&=&205292^3 + 342952^3 \\&&&=&221424^3 + 336588^3 \\&&&=&231518^3 + 331954^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(6)&=&24153319581254312065344&=&582162^3 + 28906206^3 \\&&&=&3064173^3 + 28894803^3 \\&&&=&8519281^3 + 28657487^3 \\&&&=&16218068^3 + 27093208^3 \\&&&=&17492496^3 + 26590452^3 \\&&&=&18289922^3 + 26224366^3\end{matrix}

Limites supérieures de nombres Taxicab[modifier | modifier le code]

De tels nombres plus grands sont connus, mais on ne sait pas encore si ce sont les plus petits possibles à répondre aux exigences Taxicab.

\begin{matrix}\operatorname{Ta}(7)& \le &24885189317885898975235988544&=&2648660966^3 + 1847282122^3 \\&&&=&2685635652^3 + 1766742096^3 \\&&&=&2736414008^3 + 1638024868^3 \\&&&=&2894406187^3 + 860447381^3 \\&&&=&2915734948^3 + 459531128^3 \\&&&=&2918375103^3 + 309481473^3\\&&&=&2919526806^3 + 58798362^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(8)& \le &50974398750539071400590819921724352&=&299512063576^3 + 288873662876^3 \\&&&=&336379942682^3 + 234604829494^3 \\&&&=&341075727804^3 + 224376246192^3 \\&&&=&347524579016^3 + 208029158236^3 \\&&&=&367589585749^3 + 109276817387^3 \\&&&=&370298338396^3 + 58360453256^3\\&&&=&370633638081^3 + 39304147071^3\\&&&=&370779904362^3 + 7467391974^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(9)& \le &136897813798023990395783317207361432493888&=&41632176837064^3 + 40153439139764^3 \\&&&=&46756812032798^3 + 32610071299666^3 \\&&&=&47409526164756^3 + 31188298220688^3 \\&&&=&48305916483224^3 + 28916052994804^3 \\&&&=&51094952419111^3 + 15189477616793^3 \\&&&=&51471469037044^3 + 8112103002584^3\\&&&=&51518075693259^3 + 5463276442869^3\\&&&=&51530042142656^3 + 4076877805588^3\\&&&=&51538406706318^3 + 1037967484386^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(10)& \le &7335345315241855602572782233444632535674275447104&=&15695330667573128^3 + 15137846555691028^3 \\&&&=&17627318136364846^3 + 12293996879974082^3 \\&&&=&17873391364113012^3 + 11757988429199376^3 \\&&&=&18211330514175448^3 + 10901351979041108^3 \\&&&=&19262797062004847^3 + 5726433061530961^3 \\&&&=&19404743826965588^3 + 3058262831974168^3\\&&&=&19422314536358643^3 + 2059655218961613^3\\&&&=&19426825887781312^3 + 1536982932706676^3\\&&&=&19429379778270560^3 + 904069333568884^3\\&&&=&19429979328281886^3 + 391313741613522^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(11)& \le &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632&=&11410505395325664056^3 + 11005214445987377356^3 \\&&&=&12815060285137243042^3 + 8937735731741157614^3 \\&&&=&12993955521710159724^3 + 8548057588027946352^3 \\&&&=&13239637283805550696^3 + 7925282888762885516^3 \\&&&=&13600192974314732786^3 + 6716379921779399326^3 \\&&&=&14004053464077523769^3 + 4163116835733008647^3\\&&&=&14107248762203982476^3 + 2223357078845220136^3\\&&&=&14120022667932733461^3 + 1497369344185092651^3\\&&&=&14123302420417013824^3 + 1117386592077753452^3\\&&&=&14125159098802697120^3 + 657258405504578668^3\\&&&=&14125594971660931122^3 + 284485090153030494^3\end{matrix}
\begin{matrix}\operatorname{Ta}(12)& \le &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152&=&33900611529512547910376^3 + 32696492119028498124676^3 \\&&&=&38073544107142749077782^3 + 26554012859002979271194^3\\&&&=&38605041855000884540004^3 + 25396279094031028611792^3 \\&&&=&39334962370186291117816^3 + 23546015462514532868036^3 \\&&&=&40406173326689071107206^3 + 19954364747606595397546^3 \\&&&=&41606042841774323117699^3 + 12368620118962768690237^3 \\&&&=&41912636072508031936196^3 + 6605593881249149024056^3 \\&&&=&41950587346428151112631^3 + 4448684321573910266121^3 \\&&&=&41960331491058948071104^3 + 3319755565063005505892^3 \\&&&=&41965847682542813143520^3 + 1952714722754103222628^3 \\&&&=&41965889731136229476526^3 + 1933097542618122241026^3 \\&&&=&41967142660804626363462^3 + 845205202844653597674^3\end{matrix}


Histoire[modifier | modifier le code]

Ta(2) fut publié en premier par Bernard Frénicle de Bessy en 1657 et fut plus tard immortalisé par une anecdote impliquant les mathématiciens Hardy et Srinivasa Ramanujan :

« Je [G. H. Hardy] me rappelle qu'une fois en allant le voir [Ramanujan] lorsqu'il était couché et malade à Putney, j'ai été conduit dans un taxi-cab portant le n°1729, et remarquai que le nombre (7·13·19) semblait plutôt ennuyeux, et j'espérai qu'il ne fût pas un présage défavorable. « Non », me dit-il, « c'est un nombre très intéressant ; il est le plus petit nombre exprimable comme une somme de deux cubes [positifs] en deux manières différentes[1]. »

Les nombres taxicab postérieurs furent trouvés avec l'aide d'ordinateurs; John Leech obtint Ta(3) en 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel trouvèrent Ta(4) en 1991, et David W. Wilson trouva Ta(5) en novembre 1997.

Ta(6) fut annoncé par Uwe Hollerbach sur la NMBRTHRY mailing list le [2].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) G. H. Hardy et E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, London et New York, Oxford University Press,‎ 1954, 3e éd., Thm. 412.
  • (en) J. Leech, « Some Solutions of Diophantine Equations », Proc. Cambridge Phil. Soc., vol. 53,‎ 1957, p. 778-780.
  • (en) E. Rosenstiel, J. A. Dardis et C. R. Rosenstiel, « The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 », Bull. Inst. Math. Appl., vol. 27,‎ 1991, p. 155-157; MR 92i:11134 (lire en ligne).
  • (en) David W. Wilson, « The Fifth Taxicab Number is 48 988 659 276 962 496 », Journal of Integer Sequences, vol. 2,‎ 1999 (lire en ligne).
  • (en) D. J. Bernstein, « Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) », Mathematics of Computation, vol. 70, no 233,‎ 2000, p. 389-394.
  • (en) C. S. Calude, E. Calude et M. J. Dinneen, « What is the value of Taxicab(6)? », Journal of Universal Computer Science, vol. 9,‎ 2003, p. 1196-1203.

Références[modifier | modifier le code]