Théorème de Gelfond-Schneider

En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider, s'énonce de la façon suivante :

Si $\alpha$ est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si $\beta$ est un nombre algébrique irrationnel alors $\alpha^\beta$ est un nombre transcendant.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert, et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 2^√2 (la constante de Gelfond-Schneider), √2^√2, ou encore $e^{\pi\gamma}$ pour tout nombre réel algébrique $\gamma$ (en posant $\alpha=e^{i\pi}=-1$ et $\beta=-i\gamma$), par exemple $e^\pi=(-1)^{-i}$ (la constante de Gelfond) ou $e^{-\pi/2}=i^i$.

Mais par contraposée on en déduit aussi :

Si $\beta$ est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique $\alpha$ différent de 0 et de 1 pour lequel $\alpha^\beta$ soit algébrique, alors $\beta$ est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel $\ln 3/\ln 2$ est transcendant (en utilisant $\alpha=2$).

Voir aussi

Articles connexes

• Théorème de Baker
• Conjecture de Schanuel

Lien externe

Un texte de Julien Haristoy et Édouard Oudet