Théorème de Gelfond-Schneider

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En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider, s'énonce de la façon suivante :

Si \alpha est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si \beta est un nombre algébrique irrationnel alors \alpha^\beta est un nombre transcendant.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert, et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 22 (la constante de Gelfond-Schneider), 22, ou encore e^{\pi\gamma} pour tout nombre réel algébrique \gamma (en posant \alpha=e^{i\pi}=-1 et \beta=-i\gamma), par exemple e^\pi=(-1)^{-i} (la constante de Gelfond) ou e^{-\pi/2}=i^i.

Mais par contraposée on en déduit aussi :

Si \beta est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique \alpha différent de 0 et de 1 pour lequel \alpha^\beta soit algébrique, alors \beta est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel \ln 3/\ln 2 est transcendant (en utilisant \alpha=2).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]