Carré magique (mathématiques)

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Un exemple de carré magique : carré magique normal d’ordre 3 et de constante magique 15.

En mathématiques, un carré magique d’ordre n est composé de n^2 nombres entiers, écrits sous la forme d’un tableau carré. Ces nombres sont disposés de sorte que leurs sommes sur chaque rangée, sur chaque colonne et sur chaque diagonale principale soient égales. On nomme alors constante magique (et parfois densité) la valeur de ces sommes.

Un carré magique normal est un cas particulier de carré magique, constitué de tous les nombres entiers de 1 à n^2, où n est l’ordre du carré.

Histoire[modifier | modifier le code]

Les carrés magiques étaient connus des mathématiciens chinois, à partir de -650[1], et des mathématiciens arabes, probablement vers le VIIe siècle, lorsque les armées arabes firent la conquête du nord-ouest de l'Inde, apprenant des mathématiciens indiens, ce qui incluait certains aspects de la combinatoire. Les premiers carrés magiques d'ordres 5 et 6 apparurent dans une encyclopédie publiée à Baghdad vers 983, l’Encyclopédie de la Fraternité de la pureté (Rasa'il Ikhwan al-Safa). Des carrés magiques plus simples étaient connus de plusieurs mathématiciens arabes antérieurs[1]. Quelques uns de ces carrés furent utilisés en conjonction avec des « lettres magiques » par des illusionnistes et des magiciens arabes[2].

Les Arabes seraient les premiers, au Xe siècle, à les utiliser à des fins purement mathématiques. Ahmad al-Buni (en), vers 1250 leur attribue des propriétés magiques.

En Chine (nommés Luoshu : 洛书 (littéralement Livre de la rivière Luo), ils furent représentés par différents symboles, puis symbolisés par des chiffres en Inde où furent inventés les chiffres arabes. On les retrouve dans de nombreuses civilisations d'Asie et d'Europe avec généralement une connotation religieuse.

En 1510, le philosophe allemand Cornelius Agrippa (1486-1535), parle de nouveau des carrés magiques, avec toujours une connotation religieuse, il écrit un traité De Occulta Philosophia où il expose une théorie mêlant astrologie et carrés magiques. S'appuyant sur les écrits de Marsilio Ficino et de Pico della Mirandola, il explique les propriétés de sept carrés magiques d'ordre 3 à 9, chacun étant associé à l'une des planètes astrologiques. Cet ouvrage eut une influence marquée en Europe jusqu'à la Contre-Réforme. Les carrés magiques d'Agrippa continuent à être utilisés lors de cérémonies magiques modernes selon ce qu'il a prescrit[1],[3].

Simon de La Loubère, diplomate et mathématicien français, publie en 1691 Du Royaume de Siam. Il introduit pour la première fois dans la langue française le terme « carré magique », et expose une nouvelle méthode de construction, dite « méthode siamoise », permettant de construire des carrés d'ordre impair arbitraire.

Au XVIIe siècle, Le juriste et mathématicien français Pierre de Fermat étend le principe des carrés magiques aux cubes magiques. Bernard Frénicle de Bessy écrit un traité sur les carrés magiques (rédigé dans les années 1640, mais publié à titre posthume en 1693) et des tables pour tous les carrés d'ordre 4.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le seul carré magique d'ordre 3 (tous les autres d'ordre 3 sont obtenus par réflexion ou rotation).

Il existe des dispositions magiques pour tout carré d'ordre n ≥ 1. Le carré d'ordre 1 est trivial, n'importe quel nombre indiqué dans l'unique case permet de satisfaire les règles. Le carré d'ordre 2 est également trivial puisqu'il n'utilise tout au plus que deux nombres différents. Le plus petit cas non trivial est le carré d'ordre 3.

Tout carré magique d'ordre 3 s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante. Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.

Graphes superposés sur des grilles de carrés magiques. Les tracés présentent des propriétés de symétrie centrale.

La constante magique d'un carré magique normal dépend uniquement de n et vaut : {n(n^2+1) \over 2}. En fonction de l'ordre n = 3, 4, 5, 6, 7, 8… elle vaut ainsi : 15, 34, 65, 111, 175, 260…[4]. En excluant les rotations et les réflexions[note 1], le nombre de carrés magiques normaux pour les dimensions 1 à 5 est donné par la suite : 1, 0, 1, 880, 275 305 224[6]. Le nombre de carrés magiques pour les dimensions supérieures était inconnu en date de 1999[7], et l'est probablement en 2010. Par exemple, Pinn et Wieczerkowski en 2004 estimaient que pour le carré magique d'ordre 6, le nombre était d'environ 0,17×1020[6], soit plus de 10 milliards de milliards.

Si l'on relie les nombres de certains carrés magiques dans l'ordre croissant, on obtient une figure qui présente une symétrie centrale (voir image ci-contre). Cette propriété est fausse dans le cas général[note 2].

Opérations[modifier | modifier le code]

Les sommes des deux carrés magiques des mêmes ordres donnent également des carrés magiques[8], mais le résultat n'est pas normal, c'est-à-dire que les nombres ne forment pas la suite 1, 2, 3... Également, deux carrés magiques du même ordre peuvent être soustraits.

Le « produit » de deux carrés magiques crée un carré magique d'ordre supérieur aux deux multiplicandes[9]. Ce produit s'effectue ainsi[note 3]. Soit les carrés magiques M et N :

  1. Le carré final sera d'ordre MxN.
  2. Diviser le damier final en NxN sous-damiers de MxM cases.
  3. Dans le carré N, réduire de 1 la valeur de tous les nombres.
  4. Multiplier ces valeurs réduites par M × M. Les résultats sont reportés dans les cases de chaque sous-damier correspondant du carré final.
  5. Les cases du carré M sont additionnées NxN fois aux cases du damier final.
Soit à effectuer le « produit » de ces deux carrés magiques, un de 3x3 et l'autre de 4x4. Le carré magique final sera de 12x12.
Le carré magique de 3x3 est remplacé par le produit (3 × 3), alors que chaque nombre du carré 4x4 est diminué de 1. Le damier final, de taille 12x12, est divisé en 4x4 sous-damiers, chacun ayant 3x3 cases. Chacune de ses cases s'obtient en multipliant (3 × 3) par l'une des cases du carré magique 4x4 « diminué ». Par exemple, 117 est le produit de 3 × 3 × 13. Ce carré est magique, mais n'est pas normal. La prochaine étape va « corriger » cette « anomalie ».
Après 4x4 additions du carré 3x3, le carré final est magique et normal.

La multiplication de carrés magiques permet de générer des carrés magiques de plus grandes tailles. Cette technique produit plus rapidement des carrés de grande taille que la construction à l'aide de l'une des méthodes directes (celles de la Loubère ou de Strachey, par exemple)[10].

Méthodes de construction[modifier | modifier le code]

En 1976, Benson et Jacoby ont publié une méthode qui s'applique tant aux carrés magiques d'ordre pair que d'ordre impair[11]. Elle est cependant plus difficile à appliquer que d'autres méthodes « spécialisées ». Pour cette raison, elle ne sera pas expliquée dans cet article.

Il existe plusieurs méthodes directes pour construire les carrés d'ordre impair et les carrés d'ordre pair[12],[13]. Parmi les méthodes de construction indirectes, il en existe au moins trois. La multiplication de carrés magiques en est une (voir la section Opérations). Si un carré magique est déjà construit, il est possible d'en dériver d'autres par permutations de ses colonnes et de ses rangées. Finalement, il est possible d'en créer un autour d'un carré magique déjà construit : c'est le carré magique à enceinte.

Ordre impair[modifier | modifier le code]

Méthode du damier crénelé[modifier | modifier le code]

Cette méthode de construction a été publiée en 1612 par Claude-Gaspard Bachet de Méziriac dans Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres[14]. Elle se base sur un damier crénelé.

Par exemple, pour un carré magique de côté 5 :

Premières étapes de construction d'un carré magique d'ordre 5. Chaque diagonale allant de gauche à droite comporte un entier unique en ordre croissant. Ensuite, le contour du carré magique final est esquissé.
Dernières étapes de construction d'un carré magique d'ordre 5. Chaque case qui se trouve en-dehors du contour est « glissé » de 5 places en direction du centre. Une fois les déplacements effectués, le carré magique final est complet.

Méthode siamoise[modifier | modifier le code]

La méthode siamoise a été introduite en France par Simon de La Loubère en 1688 alors qu'il revenait de son ambassade au Siam[15].

Construction d'un carré magique d'ordre impair selon la méthode siamoise.
Dans cet exemple, le carré est rempli selon les diagonales nord-est (NE), mais elles pourraient être parallèles à sud-est (SE), à sud-ouest (SO) ou à nord-ouest (NO).
1) Placer le 1 tel que montré.
2) Décaler d'une case vers la droite puis d'une case vers le haut pour le 2, et ainsi de suite pour le 3, puis le 4, etc.
3) Si la pointe de la flèche sort du carré, revenir de l'autre côté, comme si le carré était enroulé sur un tore.
4) Si la prochaine case est occupée, décaler d'une case vers le bas.

La méthode exposée par de la Loubère peut être généralisée. Supposons que nous nous déplacions dans un plan cartésien. Dans la figure plus haut, aller en diagonale vers la droite et vers le haut revient à effectuer la translation (1,1). Lorsqu'il y a une collision, c'est-à-dire que la prochaine case est occupée, il y a une translation (0,-1). Philippe de La Hire a établi les conditions pour lesquelles un carré d'ordre N est magique. Les coordonnées du vecteur « déplacement » (C, L) et du vecteur « collision » (C + c, L + l) doivent respecter les conditions suivantes[16],[17] :

  1. C, c, L et l sont des entiers relatifs tous différents de zéro (par exemple, -7, 9 ou 4), mais leur somme peut égaler zéro (par exemple, C = -6 et c = 6).
  2. C, c, L et l sont tous premiers avec N (par exemple, 3 est premier avec 11, mais pas avec 15).
  3. (C × l) - (c × L) est premier avec N.

De plus, le carré ainsi construit est diabolique si[16] :

  1. (C + L) et (c + l) sont tous deux premiers avec N (les diagonales brisées allant de la gauche en haut à la droite en bas égalent la constante magique), et
  2. (C - L) et (c - l) sont tous deux premiers avec N (les diagonales brisées allant de la droite en haut à la gauche en bas égalent la constante magique).
Un carré magique d'ordre 5 construit selon la méthode de Moschopoulos.

Par exemple, la méthode de construction proposée par le Byzantin Manuel Moschopoulos, dite « parcours en cavalier d'échecs », se représente par le vecteur déplacement (1, 2) et le vecteur collision (1 + 1, 2 - 2) = (2, 0)[16].

Méthode du losange[modifier | modifier le code]

Les nombres impairs sont inscrits de manière à former un losange au « centre » du carré, d'où le nom de la méthode publiée par John Horton Conway[13],[note 4].

1. Les nombres impairs 1, 3 et 5 sont inscrits selon une diagonale montante qui va de gauche à droite.
2. Les nombres pairs 2 et 4 sont ensuite inscrits pour compléter la diagonale brisée.
3. « Descendre » à la prochaine diagonale.
4. Recommencer avec les nombres suivants.
 
Le résultat final est un carré magique dont la constante est 65.

Ordre pair[modifier | modifier le code]

Créer des carrés magiques d’ordre pair est plus difficile. Certaines méthodes permettent de construire :

  1. des carrés magiques d'ordre pairement pair (divisible par 2 et par un nombre pair), par exemple :
    1. méthode des permutations autour des diagonales[7].
    2. méthode de W. S. Andrews[18].
  2. des carrés magiques d'ordre pairement impair (divisible par 2 et par un nombre impair), par exemple :
    1. méthode LUX de John H. Conway[7].
  3. des carrés magiques dont l'ordre est divisible par 8, par exemple :
    1. méthode de Benjamin Franklin[19].
  4. des carrés magiques d'ordre pair, par exemple :
    1. méthode de de La Hire[20].
    2. méthode de Strachey[21].

Selon Gérardin, 1986[19], la méthode de Strachey est la plus générale. Par contre, elle s'appuie sur des carrés magiques déjà construits et ne peut servir à construire des carrés magiques d'ordre 4. Par ailleurs, la méthode de Benjamin Franklin crée des carrés magiques possédant de multiples propriétés. Pour ces raisons, plusieurs méthodes seront présentées dans cette section. Ensemble, elles permettent de construire n'importe quel carré d'ordre pair.

Méthode des permutations autour des diagonales[modifier | modifier le code]

Cette méthode sert à construire des carrés d'ordre pairement pair (4, 8, 12...)[7]. Elle se base sur l'observation que ces carrés « se laissent aisément couper et recouper par moitié », ils possèdent donc « des propriétés géométriques de symétrie »[22] :

  1. Soit une grille vide d'ordre N, celui-ci valant 4, 8, 12...
  2. Dans cette grille, inscrire les nombres naturels dans l'ordre : 1, 2, 3... Il y a donc N2 nombres à inscrire (16, 64, 144...).
  3. Le damier ainsi construit est composé de 1, 4, 9... sous-damiers d'ordre 4. Dans chacun de ces sous-damiers, tracer une ligne passant par les deux diagonales principales.
  4. Remplacer chaque nombre n qui n'est pas recouvert par son complément qui vaut (N2 + 1) - n. Par exemple, pour un carré magique 8x8, N vaut 8, le complément de 2 est donc (82 + 1) - 2 = 65 - 2 = 63.
Construction d'un carré magique d'ordre 8. Dans le carré de gauche, les nombres naturels sont inscrits dans l'ordre. De plus, les diagonales principales de chaque sous-damier 4x4 sont recouvertes de lignes en pointillés. À droite, le carré final, magique, est inscrit. Chaque nombre qui n'était pas recouvert par une ligne en pointillés a été remplacé par son complément à (82 + 1) = 65.

Méthode de Strachey[modifier | modifier le code]

Cette méthode, initialement publiée par Ralph Strachey et ensuite présentée sous une « forme élégante » par William H. Benson et Oswald Jacoby, permet de construire des carrés magiques d'ordre pair[19], mais elle ne permet pas de construire tous les carrés d'ordre pairs[23]. Cependant, le nombre de carrés magiques ainsi construits est très élevé. Par exemple, le nombre de carrés magiques d'ordre 5 s'élève à 275 305 224 et la méthode de Strachey permet de créer, au minimum, un carré magique d'ordre 10 à partir de chacun de ces carrés magiques[24].

Puisque le damier final est d'ordre pair, il est toujours divisible en quatre sous-damiers que nous nommons A, B, A' et B'. Soit N l'ordre du carré magique.

Si N ÷ 2 est impair 
  1. Poser N = 2 × (2n + 1).
  2. Dans le sous-damier A, la diagonale qui va du haut à gauche en bas à droite contient exactement (n + 1) fois le nombre 3.
  3. Chaque rangée du sous-damier A contient exactement n fois le nombre 3. Les autres cases contiennent 0.
  4. Dans le sous-damier A', remplir les cases « en miroir » (selon la ligne de séparation) en se basant sur les cases de A.
  5. Dans le sous-damier B, la diagonale qui va du haut à droite en bas à gauche contient exactement (n + 2) fois le nombre 2.
  6. Chaque rangée du sous-damier B contient exactement (n + 2) fois le nombre 2. Les autres cases contiennent le nombre 1.
  7. Dans le sous-damier B', remplir les cases « en miroir » en se basant sur les cases de B.
    Carrés servant à construire un carré magique d'ordre 10. Le carré est divisé en quatre parties égales.
    1. Ici, 10 = 2 × (2n + 1). Donc, n = 2.
    2. Dans le sous-damier A, la diagonale qui va du haut à gauche en bas à droite contient 3 fois le nombre 3.
    3. Chaque rangée du sous-damier A contient 2 fois le nombre 3. Les autres cases contiennent 0.
    4. Le sous-damier A étant rempli, remplir le sous-damier A' « en miroir » (la ligne de séparation fait office de miroir en quelque sorte).
    5. Dans le sous-damier B, la diagonale qui va du haut à droite en bas à gauche contient également 4 fois le nombre 2.
    6. Chaque rangée du sous-damier B contient 4 fois le nombre 2.
  8. Multiplier chaque case par le quart de N2.
  9. Choisir n'importe quel carré magique d'ordre 2n + 1 (impair).
  10. Créer une image « miroir » de ce carré et la glisser sous le carré magique initial, formant ainsi un rectangle vertical.
  11. Additionner les cases de ce rectangle aux cases des sous-damiers A, B, A' et B'.
  12. Le carré final est magique.
Dernières étapes menant à un carré magique d'ordre 10.
8. Chaque case est multipliée par 102 ÷ 4 = 25.
9. Un carré magique d'ordre 5 a été choisi (et son image a été inscrite).
10. Les cases des carrés magiques sont additionnées.
11. Le résultat apparaît.
Si N ÷ 2 est pair 
  1. Poser N = 2 × (2n)[note 5].
  2. Dans le sous-damier A, la diagonale qui va de haut à gauche en bas à droite contient exactement n fois le nombre 3.
  3. Chaque rangée du sous-damier A contient exactement n fois le nombre 3. Les autres cases contiennent 0.
  4. Dans le sous-damier A', remplir les cases « en miroir » (selon la ligne de séparation) en se basant sur les cases de A.
  5. Dans le sous-damier B, la diagonale qui va de haut à droite en bas à gauche contient exactement n fois le nombre 2.
  6. Chaque rangée du sous-damier B contient exactement n fois le nombre 2. Les autres cases contiennent le nombre 1.
  7. Dans le sous-damier B', remplir les cases « en miroir » en se basant sur les cases de B.
  8. Multiplier chaque case par le quart de N2.
  9. Choisir n'importe quel carré magique d'ordre 2n (pair).
  10. Créer une image « miroir » de ce carré et la glisser sous le carré magique initial, formant ainsi un rectangle vertical.
  11. Additionner les cases de ce rectangle aux cases des sous-damiers A, B, A' et B'.
  12. Le carré final est magique.
Carrés servant à construire un carré magique d'ordre 8. Se reporter aux explications du carré magique 10x10 construit par la même méthode pour plus de détails.
A. Ici, 8 = 2 × (2n). Donc, n = 2.
B. Dans le sous-damier A, la diagonale qui va du haut à gauche au bas à droite contient 2 fois le nombre 3.
C. Chaque rangée du sous-damier A contient 2 fois le nombre 3. Les autres cases contiennent 0.
D. Dans le sous-damier B, la diagonale qui va du haut à droite au bas à gauche contient 2 fois le nombre 2.
E. Chaque rangée du sous-damier B contient également 2 fois le nombre 2.
F. Un carré magique d'ordre 4 est choisi et son image apparaît en dessous.
G. N2 = 64. Son quart vaut 16.
H. Le carré final est magique.

Permutations des colonnes et des rangées[modifier | modifier le code]

Par convention, la rotation ou la réflexion d'un carré magique ne crée pas de nouveau carré. Par contre, « [en] échangeant deux colonnes et deux lignes (symétriquement placés par rapport au centre) d'un carré magique, on obtient un nouveau carré magique, cousin en quelque sorte du carré initial »[25]. Cette méthode de permutations des colonnes et des rangées est valable tant pour les carrés d'ordre pair qu'impair.

Un carré magique d'ordre 4 est utilisé pour démontrer comment permuter des colonnes et des rangées dans le but d'obtenir un nouveau carré magique.

Méthode des enceintes[modifier | modifier le code]

En entourant un carré magique non normal d'une enceinte, c'est-à-dire d'une rangée de cases, il est possible de créer un carré magique normal. Cette méthode est due à Frénicle[26],[27],[diff 1]. Pour les besoins de l'explication, nous travaillerons avec deux carrés magiques de taille définie, mais la méthode est relativement facile à généraliser[note 6] :

  1. Choisir un carré magique normal d'ordre 3. Appelons-le « carré central ».
  2. Entourer le carré central d'une rangée de cases vides, elles forment l'enceinte.
  3. Le carré magique à enceinte sera d'ordre 3 + 2 = 5, car l'enceinte borde au complet le carré central. Appelons-le « carré à enceinte ».
  4. Le nombre de cases dans le carré central est 3^2, alors qu'il est de (3 + 2)^2 dans le carré à enceinte. L'enceinte contiendra donc 25 - 9 = 16 cases.
  5. En « passant » d'un carré 3x3 à un carré 5x5, la constante magique doit passer de 15 à 65.
  6. Sachant qu'il faut placer la suite de nombres 1, 2... 23, 24, 25 dans le carré à enceinte et observant que la constante magique a augmenté de 50, il faut modifier les nombres dans le carré central. Avant de procéder, une observation supplémentaire s'impose. La méthode ne fonctionne que si les nombres du carré central sont « au milieu » de la suite de nombres, c'est-à-dire 9, 10, 11... La valeur exacte à ajouter à chaque nombre du carré central est 2 \times (3^2 - 1) = 16. Le carré ainsi produit est non normal, mais est toujours magique.
  7. Il reste à placer les nombres « extrêmes » de la suite : 1, 2, 3... 8 et 18, 19 ... 25. Avant de procéder, une observation va éliminer plusieurs possibilités. La constante magique du carré central non normal est de 15 + 3 \times 8 = 39. La constante magique du carré à enceinte est de 65. La différence, 65 - 39 = 26, doit provenir des cases dans l'enceinte. Or, les seules sommes pouvant donner ce résultat sont 1 + 25, 2 + 24... Ces paires doivent donc être placées de façon symétrique relativement au centre du carré.
  8. En ce qui concerne l'arrangement des nombres dans les colonnes et les rangées de l'enceinte, le lecteur peut procéder par essai et erreur. Pour des carrés magiques à enceinte plus grands, il est préférable d'utiliser une méthode systématique (voir par exemple Benson et Jacoby, 1976).
Chaque case du carré magique 3x3 à gauche est augmenté de 8, ce qui donne le carré magique non normal au milieu. Ensuite, ce carré est entouré d'une enceinte. Dans celle-ci, la somme de chaque terme et de son symétrique (par rapport au centre) vaut 26. Le carré au centre étant déjà magique, l'enceinte ainsi construite permet de créer un nouveau carré magique.

Exemples[modifier | modifier le code]

Ordre 4[modifier | modifier le code]

Melencolia de Dürer, contenant le carré magique d'ordre 4 ci-contre
Carré d'ordre 4
publié par Albrecht Dürer
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Ce carré magique était connu du peintre allemand Albrecht Dürer, qui l'a inclus dans sa gravure Melencolia. Il est combiné de telle sorte que pris horizontalement, verticalement ou en diagonale, la somme des nombres considérés est 34, ainsi d'ailleurs que la somme des quatre nombres figurant dans les quatre cases centrales ou encore dans les quatre cases d'angle. Il existe un très grand nombre de possibilités de trouver, dans le carré de Dürer, le nombre 34. Ainsi prendre les quatre coins, essayer de nouveau en prenant chaque case suivant directement un coin dans le sens des aiguilles d'une montre. Les trouver toutes prend un temps certain. Dürer réussit également à faire figurer dans les deux cases centrales de la rangée du bas la date (1514) de son œuvre.

Carré magique sur la façade de la Passion de la Sagrada Familia à Barcelone

La façade de la Passion de la basilique la Sagrada Familia à Barcelone montre un carré magique d'ordre 4 sculpté par Josep Maria Subirachs. La constante magique correspond à 33, l'âge du Christ à sa mort. Le carré est semblable à celui de Dürer, à l'exception de quatre cellules où le nombre est réduit de 1.

1 14 14 4
11 7 6 9
8 10 10 5
13 2 3 15

Il ne respecte toutefois pas les règles habituelles du carré magique, avec deux nombres (10 et 14) utilisés deux fois et deux autres nombres (12 et 16) qui sont absents.

Ordre 5[modifier | modifier le code]

Carré magique
d'ordre 5
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9

Ce carré magique est « semi-diabolique » car la somme de 65 se retrouve sur toutes les diagonales brisées allant de gauche à droite. Exemple : 15 + 23 + 6 + 19 + 2 = 65. Si les diagonales brisées allant de droite à gauche présentaient cette même somme magique, le carré serait dit « diabolique ». Il en existe d'ailleurs de nombreux.

Ordre 8[modifier | modifier le code]

Carré magique d'ordre 8
publié par Benjamin Franklin
52 61 4 13 20 29 36 45
14 3 62 51 46 35 30 19
53 60 5 12 21 28 37 44
11 6 59 54 43 38 27 22
55 58 7 10 23 26 39 42
9 8 57 56 41 40 25 24
50 63 2 15 18 31 34 47
16 1 64 49 48 33 32 17

Ce carré magique d'ordre 8 publié par Benjamin Franklin possède plusieurs propriétés. La somme des carrés d'une même ligne est de 260 alors que la somme des quatre premières cases est de 130. Une ligne à 45° partant de la colonne de gauche et traversant les quatre premières colonnes, pour redescendre ensuite jusqu'à la colonne de droite, rencontre huit nombres d'un total de 260, quantité qui se retrouve en additionnant les nombres des cases extrêmes et des quatre cases centrales. La somme des nombres des cases de 16 carrés juxtaposés pour former l'ensemble de la figure est de 130; ce nombre se retrouve en additionnant les chiffres de quatre cases quelconques équidistantes du centre. Il est également possible de réaliser un carré magique d'ordre 8 en effectuant un parcours de case en case selon les règles de déplacement du cavalier du jeu d'échecs.

Carré magique d'ordre 8
publié par le général Cazalas
1 8 53 52 45 44 25 32
64 57 12 13 20 21 40 33
2 7 54 51 46 43 26 31
63 58 11 14 19 22 39 34
3 6 55 50 47 42 27 30
62 59 10 15 18 23 38 35
4 5 56 49 48 41 28 29
61 60 9 16 17 24 37 36

Ce carré magique d'ordre 8 publié par le général Cazalas est un carré diabolique car les diagonales brisées donnent la somme caractéristique : 260. De plus, chaque sous-carré de deux sur deux a un total de 130, ce qui en fait un carré « hyper-magique ».

Carré panmagique d'ordre 8
publié par Willem Barink
60 6 11 53 44 22 27 37
13 51 62 4 29 35 46 20
54 12 5 59 38 28 21 43
3 61 52 14 19 45 36 30
58 8 9 55 42 24 25 39
15 49 64 2 31 33 48 18
56 10 7 57 40 26 23 41
1 63 50 16 17 47 34 32

Ce carré panmagique d'ordre 8 publié par Willem Barink présente (presque) toutes les propriétés panmagiques concevables. Aussi les 4 quadrants du carré sont des carrés panmagiques. Les diagonales partielles et les diagonales franklines (redescendant chez les diamètres) ont un total de 260 : 18 + 25 + 45 + 38 + 59 + 52 + 8 + 15. De plus, il y a seulement deux sommes pour les paires de nombres consécutifs dans les lignes horizontales (66, 64) et les lignes verticales (73, 57).

Ordre 12[modifier | modifier le code]

Carré panmagique d'ordre 12
publié par Willem Barink
138 8 17 127 114 32 41 103 90 56 65 79
19 125 140 6 43 101 116 30 67 77 92 54
128 18 7 137 104 42 31 113 80 66 55 89
5 139 126 20 29 115 102 44 53 91 78 68
136 10 15 129 112 34 39 105 88 58 63 81
21 123 142 4 45 99 118 28 69 75 94 52
130 16 9 135 106 40 33 111 82 64 57 87
3 141 124 22 27 117 100 46 51 93 76 70
134 12 13 131 110 36 37 107 86 60 61 83
23 121 144 2 47 97 120 26 71 73 96 50
132 14 11 133 108 38 35 109 84 62 59 85
1 143 122 24 25 119 98 48 49 95 74 72

Ce carré panmagique d'ordre 12 publié par Willem Barink (constante de 870) contient presque toutes les propriétés panmagiques concevables, sauf les diagonales franklines. Le carré se compose de 9 carrés 4x4 panmagiques. Commençant à une case impaire dans une ligne, la somme de 4 nombres consécutifs est 290 (=1/3 de la somme totale de la ligne). Suivant l'installation des nombres 1, 2, 3, 4... 144, la figure symétrique est de forme identique à celle du carré panmagique 8x8 ci-dessus. On peut construire tous les carrés d'ordre 4k suivant cette symétrie.

Carrés magiques premiers[modifier | modifier le code]

Carré magique premier 5 x 5
2087 2633 2803 2753 3389
2843 2729 3347 2099 2647
3359 2113 2687 2819 2687
2663 2777 2699 3373 2153
2713 3413 2129 2621 2789

Les carrés magiques peuvent également être intégralement constitués de nombres premiers comme dans l'exemple ci-contre[28], qui est de plus un carré diabolique du fait que de nombreuses symétries y figurent (entre autres, croix pleines et déliées, en diagonale et en verticale, ainsi que les translations horizontales et verticales de toutes celles-ci). La constante magique est 13 665.

Un carré magique 3x3 composé de nombres premiers consécutifs. Ce carré a été créé par H. Nelson[7].

Applications[modifier | modifier le code]

Au Macworld Expo 2009, Steve Wozniak, cofondateur d'Apple Inc., a construit un carré magique après qu'une personne lui ait dit un nombre au hasard, qu'il a utilisé comme constante magique.

En mentalisme, certains artistes construisent des carrés magiques lors de leur spectacle. Un spectateur pense ou dit un nombre, l'artiste fait un carré magique en quelques secondes.

Les carrés magiques trouvent des applications dans les plans d'expériences. Il s'agit d'effectuer, par exemple, des expériences biologiques sur cinq variétés de plantes soumises à l'application de cinq engrais différents. La croissance des plantes est également influencée par le sol, aux caractéristiques variables, dans laquelle elles poussent. Pour minimiser l'influence du sol, il faut faire intervenir au maximum le hasard. Un carré magique d'ordre 5 facilite de beaucoup cette exigence[29]. Chaque plante reçoit un identifiant numérique entre 0 et 4 (p), de même pour chaque engrais (e). Chaque paire (p, e) est assignée à une parcelle du terrain, préalablement divisé en 5 × 5 = 25 parcelles, selon cette formule : 5 × p + e + 1 (par exemple, pour la plante no 3 et l'engrais no 2, nous avons 5 × 3 + 2 + 1 = 18). Cette technique peut être appliquée, par exemple, à la mise au point d'une famille de nouveaux vaccins.

Glossaire[modifier | modifier le code]

Cette section liste différentes définitions qui permettent de mieux comprendre les explications de l'article[30],[31] :

  • Carré
    • additif-multiplicatif : carré magique normal dont le produit selon chaque rangée, chaque colonne et chaque diagonale principale est un nombre constant[32].
    • antimagique : arrangement de nombres en carré où les sommes des rangées, des colonnes et des deux diagonales principales forment une suite numérique[33].
    • bimagique : carré magique qui le demeure en élevant au carré tous ses éléments (en date d'août 2010, ce n'est possible qu'à partir de l'ordre 6[34])
    • diabolique : carré magique dont toutes les colonnes, toutes les rangées et toutes les diagonales (mêmes brisées) donnent la constante magique. Il n'existe aucun carré magique panmagique de dimension 3 ou 4k + 2, k étant un entier naturel[35].
    • magique non normal : carré magique créé à partir d'une suite de nombres autre que 1, 2, 3..., par exemple des nombres premiers.
    • magique normal : carré magique créé à partir de la suite de nombres 1, 2, 3...
    • pandiagonal : voir carré diabolique.
    • panmagique : voir carré diabolique.
    • semimagique : carré magique dont seules les colonnes et les rangées donnent la constante magique.
    • trimagique : carré magique qui le demeure en élevant au carré ou au cube tous ses éléments (en date d'août 2010, ce n'est possible qu'à partir de l'ordre 12[36]).
  • Constante magique : somme des termes selon un axe (horizontal, vertical ou diagonal)
  • Diagonale brisée : diagonale qui joint un sommet à un pied du carré, en effectuant au moins un changement de colonne lorsqu'au bord droit ou gauche du carré.
  • Diagonale principale : diagonale qui joint le sommet de gauche au pied de droite ou diagonale qui joint le sommet de droite au pied de gauche.
  • Dimension : Voir Ordre
  • Ordre : nombre de colonnes (ou de rangées)

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Par convention, la rotation ou la réflexion d'un carré magique ne crée pas de nouveau carré[5].
  2. Voici un contre-exemple d'ordre 5 :
    1 24 3 25 12
    16 7 21 6 15
    23 14 18 8 2
    5 9 10 22 19
    20 11 13 4 17
  3. Une méthode semblable est proposée sur (en) M. Hartley, « Making Big Magic Squares », Dr Mike's Math Games for Kids!,‎ 2010 (consulté le 9 août 2010)
  4. Une méthode alternative est proposée par Gérard Villemin, « carrés magiques, méthode de construction du losange », Gérard Villemin,‎ 2010 (consulté le 28 octobre 2010)
  5. Puisqu'il n'existe pas de carré magique normal d'ordre 2 ou 4, n doit être plus grand que 2 pour obtenir un carré magique normal avec cette méthode.
  6. Ball, 1905, p. 135-136, explique la méthode de Frénicle en s'appuyant sur des arguments algébriques. La méthode expliquée dans l'article a recours à des carrés magiques de taille définie pour faciliter la compréhension de la méthode.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Mark Swaney, Magic Squares.
  2. Shams Al-ma'arif (arabe : كتاب شمس المعارف) contient des informations sur Ahmed bin Ali Al-boni, décédé vers 1225 (622 AH). Réimpression à Beyrouth en 1985.
  3. (en) Nevill Drury, Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions, Bridport, Dorset, Prism Press,‎ 1992 (ISBN 1-85327-075-X)
  4. Voir la séquence (en) A006003 dans l'OEIS
  5. Gérardin, 1986, p. 110-112
  6. a et b Voir la séquence (en) A006052 dans l'OEIS
  7. a, b, c, d et e Weisstein, 1999, p. 1129
  8. Gérardin, 1986, p. 100-101
  9. Gérardin, 1986, p. 113-114
  10. Gérardin, 1986, p. 112
  11. Benson et Jacoby, 1976, p. 43-58
  12. Gérardin, 1986, p. 85-86
  13. a et b Weisstein, 1999, p. 1128
  14. Gérardin, 1986, p.79.
  15. (en) Peter Higgins, Number Story: From Counting to Cryptography, New York, Copernicus,‎ 2008 (ISBN 978-1-84800-000-1), p. 54
    Voir footnote 8
  16. a, b et c Gérardin, 1986, p. 199
  17. Weisstein, 1999, p. 1128 (Cet auteur propose un tableau de vecteurs construit à partir de considérations semblables à Gérardin, 1986.)
  18. (en) W. S. Andrews, Magic Squares and Cubes, Open Court Publishing Company,‎ 1917, 419 p., p. 18-33
    Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement du site E-Books Directory au format PDF.
  19. a, b et c Gérardin, 1986, p. 89
  20. Ball, 1905, p. 132-134
  21. Gérardin, 1986, p. 89-95
  22. Gérardin, 1986, p. 85-88
  23. Gérardin, 1986, p. 95
  24. Gérardin, 1986, p. 93
  25. Gérardin, 1986, p. 95-97
  26. Ball, 1905, p. 135-136
  27. Gérardin, 1986, p. 137-139
  28. Pour d'autres exemples, voir le site Carrés et cubes magiques d'Ali Skalli.
  29. Gérardin, 1986, p. 197
  30. Weisstein, 1999, p. 1127-1128
  31. Gérardin, 1986, p. 209-212
  32. Weisstein, 1999, p. 16
  33. Weisstein, 1999, p. 50
  34. (en) Christian Boyer, « Le plus petit carré bimagique possible utilisant des entiers distincts », Multimagie.com,‎ 2010 (consulté le 16 août 2010)
  35. Weisstein, 1999, p. 1302
  36. (en) Christian Boyer, « Trimagic square, 12nd-order », multimagie.com,‎ 2010 (consulté le 9 août 2010)

Différences[modifier | modifier le code]

  1. Gérardin, 1986, p. 137, affirme que Blaise Pascal serait le premier à avoir eu l'idée de ce « genre de super-carré ».

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Lucien Gérardin, Les Carrés magiques : Mystérieuse harmonie des nombres, St-Jean-de-Braye (France), Éditions Dangles, coll. « Horizons ésotériques »,‎ 1986, 224 p. (ISBN 2-7033-0297-5)
  • (en) Eric W. Weisstein, The CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press,‎ 1999 (ISBN 0-8493-9640-9)
  • (en) Walther William Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, Londres, Macmillan and Co., Limited,‎ 1905, 4e éd., 353 p. (lire en ligne), chap. V, p. 132-134
    Cet ouvrage est librement téléchargeable depuis le Projet Gutenberg.
  • (en) William H. Benson et Oswald Jacoby, New Recreations With Magic Squares, Dover Pubns,‎ 1976, 196 p. (ISBN 978-0486232362)
  • (en) Simon de la Loubère, A new historical relation of the kingdom of Siam (lire en ligne)
    Illustrations de la première édition anglaise du Royaume de Siam de Simon de la Loubère
  • Jacques Bouteloup, Carrés magiques, carrés latins et eulériens : histoire, théorie, pratique, Éditions du Choix,‎ 1991 (ISBN 2-909028-02-x)
  • J. Riollot, Les Carrés magiques : contribution à leur étude, Gauthier-Villars,‎ 1907
  • Jean-Louis Boursin, Les Maths pour les nuls, First-Gründ,‎ 2005

Liens externes[modifier | modifier le code]