Nombre de Bernoulli

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En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Bn (ou parfois bn pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.

Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type \sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m pour différentes valeurs de l'entier m.

\sum_{k=0}^{n-1} k^m =\frac1{m+1}\left(n^{m+1}-\frac12{m+1\choose1}{n^m}+\frac16{m+1\choose2}{n^{m-1}}-\frac1{30}{m+1\choose4}{n^{m-3}}+\frac1{42}{m+1\choose6}{n^{m-5}}+\ldots\right).

Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 -\frac12 \frac16 0 -\frac1{30} 0 \frac1{42} 0 -\frac1{30} 0 \frac5{66} 0 -\frac{691}{2\;730} 0 \frac76

On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si |x| < 2π) :

\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\,\frac{x^k}{k!}= 1-\frac12\,x+\frac16\,\frac{x^2}{2!}
-\frac1{30}\,\frac{x^4}{4!}
+\frac1{42}\,\frac{x^6}{6!}
-\frac1{30}\,\frac{x^8}{8!}
+\frac5{66}\,\frac{x^{10}}{10!}
-\frac{691}{2\;730}\,\frac{x^{12}}{12!}
+\frac76\,\frac{x^{14}}{14!}+\ldots

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :

\sum_{k=0}^{n-1} f(k)\approx\int_0^n f(x)\,{\rm d}x-\frac12 (f(n)-f(0))+\frac16\frac{f'(n)-f'(0)}{2!}-\frac1{30}\frac{f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}+\frac1{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}+\ldots,

ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Euler :

\zeta(2p)=1+\frac1{2^{2p}}+\frac1{3^{2p}}+\frac1{4^{2p}}+\cdots+\frac1{n^{2p}}+\cdots=|B_{2p}|\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}\pi^{2p},

jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.

Introduction : sommes de puissances[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Faulhaber.

Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme[1],[2],[3] :

	\begin{align} 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)&=\frac1{2}n^2-\frac n2&&=\frac{n(n-1)}2\,; \\
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {(n-1)}^2 &= \frac13n^3-\frac12n^2+\frac n6 &&=\frac{n(n-1)(2n-1)}6\,; \\
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + {(n-1)}^3  &= \frac14n^4-\frac12n^3+\frac14n^2 &&=\frac{n^2(n-1)^2}4\,;\\
1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + {(n-1)}^4 &= \frac15n^5-\frac12n^4+\frac13n^3-\frac n{30}&&=\frac{n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1)}{30}\,;\\
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + {(n-1)}^5  &= \frac16n^6-\frac12n^5+\frac{5}{12}n^4-\frac1{12}n^2&&={n^2(n-1)^2(2n^2-2n-1)\over 12}.\end{align}

Bernoulli observa que l'expression

S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m

est toujours un polynôme en n, de degré m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant est \frac{n^{m+1}}{m+1} et le monôme de degré m est[4] (si m > 0) -\dfrac{n^m}2. On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤ km, le coefficient de nm+1–k est le produit par m!/(m + 1 – k)! d'un nombre qui dépend seulement de k et pas de m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli Bk par :

S_m(n)=\sum_{k=0}^m\frac{m!}{(m+1-k)!}\frac{B_k}{k!}\,n^{m+1-k}={1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose k}B_k\,n^{m+1-k}=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,\frac{n^{m+1-k}}{m+1-k}.

Premiers nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

En donnant à m la valeur 0, on obtient (avec 00 = 1) : pour tout entier n > 0,

B_0n=S_0(n)=0^0+1^0+\cdots +(n-1)^0=n,

ce qui montre que B0 = 1. En donnant à m la valeur 1, on obtient :

\frac12(B_0n^2+2B_1n)=S_1(n)=0+1+2+\ldots+(n-1)=\frac12(n^2-n),

ce qui confirme que B0 = 1 et montre que B1 = –1/2. En donnant à m la valeur 2, on obtient :

\frac13(B_0 n^3+3B_1n^2+3B_2n)=S_2(n)=0^2+1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2=\frac13(n^3-\frac32n^2+\frac n2),

ce qui montre de plus que B2 = 1/6. En donnant à m la valeur 3, on obtient :

\frac14(B_0 n^4+4B_1n^3+6B_2n^2+4B_3n)=S_3(n)=0^3+1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3=\frac14(n^4-2n^3+n^2),

ce qui montre aussi que B3 = 0.

Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence[modifier | modifier le code]

À partir de la condition initiale B0 = 1, on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant que

\forall m\in\N^*\quad\frac1{m+1}\sum_{k=0}^m{m+1\choose k}B_k=S_m(1)=\sum_{k=0}^0k^m=0^m=0,

ce qui peut se voir comme une relation de récurrence[4] :

(m+1)B_m=-\sum_{k=0}^{m-1}{m+1\choose k}B_k.

Cette suite d'équations linéaires[5]

1+2B_1=0,
1+3B_1+3B_2=0,
1+4B_1+6B_2+4B_3=0,
1+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0,

etc. donne successivement B1 = –1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = –1/30, etc. Par exemple, le détail du calcul de B4 est :

5B_4=-(1+5B_1+10B_2+10B_3)=-(1-\textstyle\frac52+\frac{10}6)=-\frac16.

Lien avec les polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli Bk(X) sont reliés aux nombres de Bernoulli par

B_m(x)=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,x^{m-k}.

Ils vérifient les relations :

  • B_0(X)=1,
  • \forall n\in\N\quad B'_{n+1}(X)=(n+1)B_n(X),
  • \forall n\in\N^*\quad\int_0^1B_n(x){\rm d}x=0.

Les polynômes Sm(n) sont également liés aux polynômes de Bernoulli :

\forall m,n\in\N\quad S_m(n)=\frac{B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}.

De

B'_{n+1}=(n+1)B_n,

on déduit que

S'_m(X)=\frac{B'_{m+1}(X)}{m+1}=B_m(X).

Par conséquent, les polynômes Sm sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :

S_m(x)=\int_0^xB_m (t){\rm d}t=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\, \frac{x^{m+1-k}}{m+1-k}.

Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

On utilise parfois la notation bn pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.

La définition employée dans cet article vérifie Bm = Bm(0)Bm(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

On rencontre également la convention Bm = Bm(1), où Bm(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de B1 ; on a  :

B_1(0)=-\frac12\qquad\,;\qquad B_1(1)=+\frac12.

Une autre notation, utilisée en topologie[6], est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a b_{2k}=(-1)^{k-1}|b_{2k}|) :

b_m=B_m(0)\qquad\, ;\,\qquad B_m=|b_{2m}|.

Définition par une fonction génératrice[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire de fonctions génératrices. Leur fonction génératrice exponentielle est x/(ex – 1), de telle sorte que

\frac x{{\rm e}-1}=\sum_{n=0}^{\infin}B_n\frac{x^n}{n!}

pour tout x de valeur absolue inférieure à (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B0 (par prolongement par continuité). Pour obtenir la récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par ex – 1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle,

x=\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{x^j}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_k x^k}{k!}\right).

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient

x=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{j=0}^m{m+1\choose j}B_j\right)\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}.

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même récurrence les nombres de Bernoulli.

Valeurs[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

Nombres de Bernoulli
n Bn Valeur décimale
0 1
1 −1 / 2 = −0,5
2 1 / 6 ≈ 0,166 7
3 0
4 −1 / 30 ≈ −0,033 3
5 0
6 1 / 42 ≈ 0,023 81
7 0
8 −1 / 30 ≈ −0,033 3
9 0
10 5 / 66 ≈ 0,075 76
11 0
12 −691 / 2 730 ≈ −0,253 1
13 0
14 7 / 6 ≈ 1,166 7
15 0
16 −3 617 / 510 ≈ −7,092 2
n Bn Valeur décimale
17 0
18 43 867 / 798 ≈ 54,971 2
19 0
20 −174 611 / 330 ≈ −529,124
21 0
22 854 513 / 138 ≈ 6 192,12
23 0
24 −236 364 091 / 2 730 ≈ −86 580,3
25 0
26 8 553 103 / 6 ≈ 1 425 517
27 0
28 −23 749 461 029 / 870 ≈ −27 298 231
29 0
30 8 615 841 276 005 / 14 322 ≈ 601 580 874
31 0
32 −7 709 321 041 217 / 510 ≈ −15 116 315 767
33 0

Signe des nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que Bn = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des Bn alternent pour n pair. On a donc :

\qquad B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.

Formules de récurrence[modifier | modifier le code]

On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes

S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1}k^m

pour tous entiers naturels m et n (en particulier, Sm(0) = 0).

On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) :

S_{m+1}(n+1)=\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}j k^j=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}jS_j(n)=S_{m+1}(n)+\sum_{j=0}^m\binom {m+1}jS_j(n),
n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum_{j=0}^m\binom {m+1}jS_j(n)=(m+1)S_m(n)+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}jS_j(n)

et l'on obtient finalement :

\forall m,n\in\N\quad S_m(n)=\frac{n^{m+1}}{m+1}-m!\sum_{j=0}^{m-1}\frac{S_j(n)}{j!(m+1-j)!},

ce qu'on peut voir comme une définition des Sm(n) par récurrence sur m (incluant l'initialisation S0(n) = n). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de Sm(n) sont bien de la forme donnée dans l'introduction : pour tout k ≥ 0, notons Bk le coefficient de n dans Sk(n) et déduisons de la formule ci-dessus, par récurrence sur j, que le coefficient de nj+1–k dans Sj(n) est le produit de j!/(j + 1 – k)! par Bk/k! non seulement pour k = j, mais aussi pour tout entier naturel k < j (ce qui est immédiat pour k = 0). En supposant la propriété vraie pour tout j < m, on trouve bien comme coefficient de nm+1–i dans Sm(n), pour 0 < i < m :

-m!\sum_{j+1-k=m+1-i\atop j<m,k\ge0}{1\over j!(m+1-j)!}{j!\over(j+1-k)!}{B_k\over k!}={m!\over(m+1-i)!}\sum_{k=0}^{i-1}{-B_k\over(i+1-k)!k!}={m!\over(m+1-i)!}{B_i\over i!},

la dernière égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et du § Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence.

Applications en analyse[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Formule d'Euler-Maclaurin[modifier | modifier le code]

Soit a un nombre réel et N un entier naturel. Si f est une application de classe \mathcal{C}^k (avec k\geqslant 1) sur [a ; a+N].

f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int_a^{a+N}f(x)\,{\rm d}x+\sum_{j=1}^kB_j\frac{f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}+R_{k,a,N}

avec

R_{k,a,N}=\frac{(-1)^{k-1}}{k!}\int_a^{a+N}f^{(k)}(x)\tilde{B_k}(x-a)\,{\rm d}x

\tilde{B_k}(x) est la fonction périodique de période 1 égale à Bk(x), le polynôme de Bernoulli d'indice k, sur l'intervalle [0, 1[.

\tilde{B_k}(t)=B_k(t-[t])

où [t] désigne la partie entière de t.

Développements en série de Taylor[modifier | modifier le code]

À partir de la fonction génératrice,

\frac x{{\rm e}^x-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}=1-\dfrac x2+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, |x|< 2\pi,

on démontre les formules suivantes[7] :

1-\frac x2\;\operatorname{cotan}\frac x2=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{x^{2n}}{(2n)!},|x|<2\pi,
x\;\operatorname{cotan} x=1-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi,
\operatorname{cotan} x=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,
\dfrac1{\sin x}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,
\tan x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},|x|<\pi/2,
\dfrac2{{\rm e}^x+1}=1-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi,
\dfrac12\;\dfrac{{\rm e}^x+1}{{\rm e}^x-1}=\dfrac12\,\operatorname{coth}(\frac x2)=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}, 0<|x|<2\pi,
\operatorname{coth} x=\frac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{{\rm e}^x-{\rm e}^{-x}}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi,
\dfrac1{\operatorname{sh}x}=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},0<|x|<\pi,
\operatorname{th} x=\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1},|x|<\pi/2.

Les nombres T_n=|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n} sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèce[8].

On a le développement suivant : \operatorname{tan} x=\sum_{n=1}^\infty T_{n}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, |x|<\pi/2.

Développements en série des nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

\begin{align} 
|B_{2n}|&=\frac{(2n)!}{2^{2n-1}\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^{2n}}\\
&=\frac{2(2n)!}{(2^{2n}-1)\pi^{2n}}\sum_{k=0}^\infty\frac1{(2k+1)^{2n}}\\
&=\frac{(2n)!}{(2^{2n-1}-1)\pi^{2n}}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k^{2n}}.
\end{align}

Les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

La première relation a été obtenue par Leonhard Euler sous la forme suivante

B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\left[1+\frac1{2^{2n}}+\frac1{3^{2n}}+\frac1{4^{2n}}+\cdots\;\right].

La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :

B_{2n}=(-1)^{n-1}\frac {2\, (2n)!} {(2\pi)^{2n}}\;\zeta(2n),

relation qui entraîne (pour n > 0) :

2\,\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}} {(2n)!} \,|B_{2n}|.
Les premiers nombres de Bernoulli B_n(1) (ordonnées des points rouges) sont donnés par la fonction -x \zeta(1-x) (courbe en bleu).

L'apparition de \textstyle B_{12} = -\frac{691}{2730} semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque

\zeta(-n)=(-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}

et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann).

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

B_n = -n \zeta(1-n) si n > 1

et

B_1=\zeta(0).

En particulier :

\zeta(0)=B_1=-\frac12\,,\qquad\zeta(-1)=-\frac1{12},\qquad\zeta(-3)=\frac1{120},\!\qquad\zeta(-5)=-\frac1{252},\!\qquad\zeta(-7)=\frac1{240}.

Comportement asymptotique de |B2n|[modifier | modifier le code]

Croissance des logarithmes des nombres de Bernoulli d'indice pair. Le graphe bleu (trait continu) montre \log |B_{\lfloor2x\rfloor}|, le graphe rouge (en pointillés) montre l'équivalent asymptotique \textstyle\log\left(4\sqrt{\pi x}\left(\frac x{\pi{\rm e}}\right)^{2x}\right).

On a :

|B_{2n}|=\frac{(2n)!\zeta(2n)}{2^{2n-1}\pi^{2n}}.

De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que \zeta(2n)>1 (si n > 0,5). Par conséquent, on a la minoration :

|B_{2n}|>\frac{2\; (2n)!}{(2\pi)^{2n}}.

De l'inégalité {\rm e}^{2n}>\frac{(2n)^{2n}}{(2n)!} (si n > 0), on déduit que : (2n)!>\textstyle\left(\frac{2n}{\rm e}\right)^{2n} (si n > 0) , donc :

|B_{2n}|>2\left(\frac n{\pi{\rm e}}\right)^{2n}.

Par conséquent :

\lim_{n\to\infty}|B_{2n}|=+\infty.

En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de (2n)!, on démontre l'équivalent quand n tend vers l'infini :

|B_{2 n}|\sim4\sqrt{\pi n}\left(\frac n{\pi{\rm e}}\right)^{2n}.

Propriétés arithmétiques[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli et les groupes de classes d'idéaux[modifier | modifier le code]

Les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer. En 1847, Kummer démontrait que le dernier théorème de Fermat était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés nombres premiers irréguliers. On dit qu'un nombre premier impair est « irrégulier » si il ne divise pas le nombre de classes de ℚ(ζp), sinon on dit que p est régulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli jusqu'à Bp–3. Un nombre premier p impair est régulier si, et seulement si, p ne divise le numérateur d'aucun des nombres B2, B4, … , Bp–3. Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si p est régulier, alors il ne divise pas le nombre de classes de ℚ(ζp), donc l'équation xp + yp = zp n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1). C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.

Le théorème de Kummer a été renforcé par le théorème de Herbrand-Ribet. Les nombres de Bernoulli sont également liés aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla.

Liens avec la K-théorie algébrique[modifier | modifier le code]

Il existe aussi un lien avec la K-théorie algébrique : une conséquence de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) est le résultat suivant[9] :

  • si n = 4k – 2 et ck est le numérateur de B2k/k, alors l'ordre de Kn(ℤ) est |ck| si k est pair (n ≡ 6 mod 8), et 2ck si k est impair (n ≡ 2 mod 8) ;
  • si n = 4k – 1 et dk est le dénominateur de B2k/k, alors l'ordre de Kn(ℤ) est 4dk si k est pair (n ≡ 7 mod 8), et 8dk si k est impair (n ≡ 3 mod 8).

Théorème de von Staudt-Clausen[modifier | modifier le code]

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci :

si l'on ajoute à Bn les inverses 1/p pour chaque nombre premier p tel que p − 1 divise n, on obtient, si n = 1 ou n est pair non nul, un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli non entiers Bn comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n. En conséquence, si 2n est un entier non nul, le dénominateur du nombre de Bernoulli B2n est sans carré et divisible par 6.

Exemples
B_1+\frac12=0\qquad ;\qquad B_2+\frac12+\frac13=1\qquad ;\qquad B_4+\frac12+\frac13+\frac15=1
B_6+\frac12+\frac13+\frac17=1\qquad ;\qquad B_{10}+\frac12+\frac13+\frac1{11}=1
B_{12}+\frac12+\frac13+\frac15+\frac17+\frac1{13}=1\qquad ;\qquad B_{14}+\frac12+\frac13=2\qquad ;\qquad B_{16}+\frac12+\frac13+\frac15+\frac1{17}=-6.

La propriété se traduit par : pB2m ≡ −1 mod p si p – 1 divise 2m. (La notation ab mod p signifie que p divise le numérateur de a – b mais pas son dénominateur.)

La conjecture d'Agoh-Giuga postule que p est un nombre premier si et seulement si pBp−1 ≡ −1 mod p.

Continuité p-adique[modifier | modifier le code]

Une propriété de congruence spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si b, m et n sont des nombres entiers positifs tels que m et n ne sont pas divisibles par p – 1 et m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1), alors

(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b.

Puisque B_n=-n\zeta(1-n), ceci peut être aussi écrit

(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b

u = 1 − m et v = 1 − n, si bien que u et v sont négatifs et non congrus à 1 mod p – 1. Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann avec 1 − p−s omis dans la formule du produit eulérien, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod p – 1 à un entier fixé a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1, et peut donc être étendue en une fonction continue ζp(s) sur l'anneau topologiquep des entiers p-adiques : la fonction zêta p-adique (en).

Utilisation en topologie[modifier | modifier le code]

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n − 1)-sphères exotiques qui bordent des variétés parallélisables pour n ≥ 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si Nn est le numérateur de B4n/n, alors le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques est

2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_n.

La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli (ils notent Bn la suite 1, 1/6, 1/30…).

Formules explicites[modifier | modifier le code]

On peut en fait également définir les Bn sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n > 1)[10]

B_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{k!}{k+1}\left\{\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\right\}.

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling et en simplifiant)

B_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{k!}{k+1}
\left(\frac1{k!}\sum_{j=1}^k(-1)^{k-j}{k\choose j}j^n\right)=\sum _{k=0}^n\frac1{k+1}\sum_{j=0}^k(-1)^j\binom kjj^n.

On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas[11] ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

  • Les trois relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :
    • m\equiv 0\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose m}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j},
    • m\equiv 2\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose m}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j},
    • m\equiv 4\,\bmod\, 6\qquad{{m+3}\choose m}B_m=-{{m+3}\over6}-\sum_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}.
  • (-1)^m\sum_{r=0}^m{m\choose r}B_{n+r}=(-1)^n \sum_{s=0}^n{n\choose s}B_{m+s}[12].

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernoulli number » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Kenneth Ireland et Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 84),‎ 1990 (réimpr. 1998), 2e éd. (ISBN 978-0-387-97329-6, lire en ligne), p. 228.
  2. (en) Alain M. Robert (en), A Course in p-adic Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 198),‎ 2000 (lire en ligne), p. 273.
  3. (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, Springer,‎ 2007 (lire en ligne), p. 31.
  4. a et b Ireland et Rosen 1990, p. 229.
  5. Ireland et Rosen 1990, p. 230.
  6. Voir aussi Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions], p. 147.
  7. Cohen 2007, p. 5.
  8. Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 2001, 6e édition, p. 320.
  9. Charles Weibel (en), « Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields », dans Handbook of K-theory, vol. 1, Springer,‎ 2005 (lire en ligne).
  10. (en) Ronald Graham, Donald Knuth et Oren Patashnik (en), Concrete Mathematics, p. 289 (eq. 6.99) ; on trouvera également une démonstration de cette formule sur Wikiversité.
  11. (en) Henry W. Gould (en), « Explicit formulas for Bernoulli numbers », Amer. Math. Monthly, vol. 79,‎ 1972, p. 44-51.
  12. (en) L. Carlitz, « Bernoulli Numbers », Fibonacci Quart., vol. 6,‎ 1968, p. 71-85.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

John H. Conway et Richard K. Guy, Le Livre des Nombres, Eyrolles, 1998 (ISBN 2-212-03638-8)

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]