Nombre de Bernoulli

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En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés B_n\, (ou parfois b_n\,, pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.

Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type \sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m pour différentes valeurs de l'entier m.

\sum_{k=0}^{n-1} k^m =\frac{1}{m+1}\left(n^{m+1}-\frac12{m+1\choose1}{n^m}+\frac16{m+1\choose2}{n^{m-1}}-\frac1{30}{m+1\choose4}{n^{m-3}}+\frac1{42}{m+1\choose6}{n^{m-5}}+\ldots\right)

Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Bn 1 -\frac{1}{2} \frac{1}{6} 0 -\frac{1}{30} 0 \frac{1}{42} 0 -\frac{1}{30} 0 \frac{5}{66} 0 -\frac{691}{2\;730} 0 \frac{7}{6}

On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série (convergent si |x| < 2 π) :

\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^{\infty}B_k\,\frac{x^{k}}{k!}= 1-\frac{1}{2}\,x+\frac{1}{6}\,\frac{x^2}{2!}
-\frac{1}{30}\,\frac{x^4}{4!}
+\frac{1}{42}\,\frac{x^6}{6!}
-\frac{1}{30}\,\frac{x^8}{8!}
+\frac{5}{66}\,\frac{x^{10}}{10!}
-\frac{691}{2\;730}\,\frac{x^{12}}{12!}
+\frac{7}{6}\,\frac{x^{14}}{14!}+\ldots

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :

\sum_{k=0}^{n-1} f(k)\approx\int_0^n f(x)\,dx-\frac12 (f(n)-f(0))+\frac16\frac{f'(n)-f'(0)}{2!}-\frac1{30}\frac{f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}+\frac1{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}+\ldots,

ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Euler :

\zeta(2p)=1+\frac{1}{2^{2p}}+\frac{1}{3^{2p}}+\frac{1}{4^{2p}}+\cdots + \frac{1}{n^{2p}}+\cdots=|B_{2p}|\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}\pi^{2p} ,

jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.

Introduction : sommes de puissances[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Formule de Faulhaber.

Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme[1],[2],[3] (les sommes sont arrêtées à n − 1) :

	\begin{align} 1 + 2 + 3 + \cdots + (n-1)& = \frac{1}{2}n^2-\frac{n}{2} &&   =\frac{n(n-1)}2\,; \\
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + {(n-1)}^2 &= \frac{1}{3}n^3-\frac12n^2+\frac{n}6 &&=\frac{n(n-1)(2n-1)}6\,; \\
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + {(n-1)}^3  &= \frac{1}{4}n^4-\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2 &&=\frac{n^2(n-1)^2}4\,;\\
1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + {(n-1)}^4 &= \frac{1}{5}n^5-\frac{1}{2}n^4+\frac{1}{3}n^3-\frac{n}{30}&&=\frac{n(n-1)(2n-1)(3n^2-3n-1)}{30}\,;\\
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + {(n-1)}^5  &= \frac{1}{6}n^6-\frac{1}{2}n^5+\frac{5}{12}n^4-\frac{1}{12}n^2&&= {n^2(n-1)^2(2n^2 - 2n- 1) \over 12}\,. \end{align}

Bernoulli observa que l'expression

S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1} k^m = 0^m + 1^m + 2^m + \cdots + {(n-1)}^m

est toujours un polynôme en n, de degré m+1\,, dont les termes dominants sont \frac{n^{m+1}}{m+1}-\dfrac{n^m}2 (pour m > 0) et dont le terme constant est zéro[4].

Les coefficients de ce polynôme définissent les nombres de Bernoulli B_k de la façon suivante (il faudrait en fait démontrer que les nombres ainsi définis ne dépendent pas du choix de n ; voir plus bas le paragraphe calcul par récurrence) :

S_m(n)= {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose{k}} B_k n^{m+1-k}= \sum_{k=0}^m {m\choose{k}}B_k\,\frac{ n^{m+1-k}}{m+1-k}.

(cette dernière égalité s'obtenant en remarquant que \textstyle{m+1\choose{k}}=\frac{m+1}{m+1-k} {m\choose{k}}).

Premiers nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

En donnant à m la valeur 0, on obtient :

S_0(n)=0^0+1^0+\cdots +(n-1)^0 = n =B_0 n\ ,

ce qui montre que B_0=1\ . En donnant à m la valeur 1, on obtient :

S_1(n)=0+1+2+\ldots+(n-1) = \frac{1}{2}(n^2-n)\,=\frac{1}{2}(B_0 n^2+2 B_1 n)\ ,

ce qui montre que B_1=-1/2\ . En donnant à m la valeur 2, on obtient :

S_2(n)=0^2+1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2 = \frac{1}{3}(n^3-\frac32n^2+\frac{n}2)\,=\frac{1}{3}(B_0 n^3+3 B_1 n^2+3B_2n) \ ,

ce qui montre que B_2=1/6\ . En donnant à m la valeur 3, on obtient :

S_3(n)=0^3+1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3 = \frac{1}{4}(n^4-2n^3+n^2)\,=\frac{1}{4}(B_0 n^4+4 B_1 n^3+6B_2n^2+4B_3n) \ ,

ce qui montre que B_3=0\ .

Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence[modifier | modifier le code]

Il est possible de calculer les nombres de Bernoulli par récurrence, obtenant (avec S_m(1)=0) :

\sum_{k=0}^m{m+1\choose{k}}B_k = 0\, (avec la condition initiale : B_0 = 1\,).

On obtient la suite d'équations linéaires[5] :

1+2B_1=0\ ,
1+3B_1+3B_2=0\ ,
1+4B_1+6B_2+4B_3=0\ ,
1+5B_1+10B_2+10B_3+5B_4=0\ .

Ce qui donne la relation de récurrence[4] :

(m+1)B_{m}=-\sum_{k=0}^{m-1}{m+1\choose{k}}B_k\, (avec la condition initiale : B_0 = 1\,).

Par exemple (avec \textstyle B_1=-\frac12, \textstyle B_2=\frac16 et B_3=0\,), on obtient :

5B_{4}=-(1+5B_1+10B_2+10B_3)=-(1-\textstyle\frac52+\frac{10}6)=-\frac16,
donc B_4=-\frac1{30}.

Lien avec les polynômes de Bernoulli[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Bernoulli, B_k(X) sont reliés aux nombres de Bernoulli par

B_m(x)=\sum_{k=0}^m{m\choose k}B_k\,x^{m-k}
et
\,B_m(0)=B_m\,.

Les polynômes de Bernoulli vérifient les relations :

  • B_0 (X) = 1\
  • \forall n \in \mathbb{N} , B'_{n+1} (X) = (n+1)B_n(X)
  • \forall n \in \mathbb{N^*} , \int_0 ^1 B_n (x) dx = 0

Les polynômes S_m(n) sont également liés aux polynômes de Bernoulli B_m(X) ; on a (pour tout n et m) :

S_m(n)=\frac{B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}\,.

De B'_{n+1} = (n+1)B_n, on déduit que : S'_m(X)=\frac{B'_{m+1}(X)}{m+1}=B_m(X).

Par conséquent, les polynômes S_n\ sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro : S_m(n)= \int_0 ^n B_m (x) dx.

S_m(x)= \sum_{k=0}^m {m\choose{k}}B_k\, \frac{x^{m+1-k}}{m+1-k}= {1\over{m+1}}\sum_{k=0}^m {m+1\choose{k}} B_k\, x^{m+1-k}\ .

Autres conventions et notations utilisées pour définir les nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

On utilise parfois la notation b_n\, pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.

La définition employée dans cet article vérifie B_m=B_m(0)\ , où B_m(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

On rencontre également la convention B_m=B_m(1)\ , où B_m(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de B_1\  ; on a  :

B_1(0)=-\frac12\qquad\,;\qquad B_1(1)=+\frac12.

Une autre notation utilisée en topologie, et par Jean-Pierre Serre dans son Cours d'arithmétique[6], est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a b_{2k}=(-1)^{k-1}|b_{2k}|) :

b_m=B_m(0)\qquad\, ;\,\qquad B_m=|b_{2m}|.

Définition par une fonction génératrice[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire de fonctions génératrices. Leur fonction génératrice exponentielle est \frac{x}{e^x-1}\,, de telle sorte que :


\frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infin} B_n \frac{x^n}{n!}

pour tout x de valeur absolue inférieure à 2\pi\, (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B_0 (par prolongement par continuité). Pour obtenir la récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par e^x-1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle, x = \left( \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x^j}{j!} \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{B_k x^k}{k!} \right).

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient  x = \sum_{m=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{m} {m+1 \choose j} B_j \right) \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}.

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série de puissances satisfont la même récurrence que celle des nombres de Bernoulli.

Valeurs[modifier | modifier le code]

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

Nombres de Bernoulli
n Bn Valeur décimale
0 1
1 −1 / 2 = −0,5
2 1 / 6 ≈ 0,166 7
3 0
4 −1 / 30 ≈ −0,033 3
5 0
6 1 / 42 ≈ 0,023 81
7 0
8 −1 / 30 ≈ −0,033 3
9 0
10 5 / 66 ≈ 0,075 76
11 0
12 −691 / 2 730 ≈ −0,253 1
13 0
14 7 / 6 ≈ 1,166 7
15 0
16 −3 617 / 510 ≈ −7,092 2
n Bn Valeur décimale
17 0
18 43 867 / 798 ≈ 54,971 2
19 0
20 −174 611 / 330 ≈ −529,124
21 0
22 854 513 / 138 ≈ 6 192,12
23 0
24 −236 364 091 / 2 730 ≈ −86 580,3
25 0
26 8 553 103 / 6 ≈ 1 425 517
27 0
28 −23 749 461 029 / 870 ≈ −27 298 231
29 0
30 8 615 841 276 005 / 14 322 ≈ 601 580 874
31 0
32 −7 709 321 041 217 / 510 ≈ −15 116 315 767
33 0

Signe des nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que B_n = 0\, lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des B_n alternent ensuite.

On a : \qquad B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.

Formules de récurrence[modifier | modifier le code]

Sont présentées ci-dessous des méthodes de calcul rapide par récurrence et une formule explicite comme somme de coefficients binomiaux.

Pour définir les nombres de Bernoulli par récurrence, repartons des sommes S_m(n)=\sum_{k=0}^{n-1}k^m. On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation)

S_{m+1}(n+1)=\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum_{k=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}j k^j=\sum_{j=0}^{m+1}\binom {m+1}jS_j(n)=S_{m+1}(n)+\sum_{j=0}^{m}\binom {m+1}jS_j(n),
n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum_{k=0}^{m}\binom {m+1}kS_k(n)=(m+1)S_m(n)+\sum_{k=0}^{m-1}\binom {m+1}k S_k(n) ;

le terme en S_{m+1} s'élimine, et on obtient finalement (après réindexation)

 S_m(n)=\frac{1}{m+1}(n^{m+1}-\sum_{k=0}^{m-1}\binom {m+1}k{S_k(n)})=\frac{n^{m+1}}{m+1}-\sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{S_k(n)}{m+1-k}  pour tous les entiers n ≥ 0, m ≥ 0, 00 étant pris égal à 1,

ce qu'on peut voir comme une définition par récurrence des S_m(n), avec pour base S_0(n) = n\, pour tout n ; c'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de S_m(n) sont bien de la forme donnée dans l'introduction.

Prenant ainsi n = 1, on obtient  S_m(1)= \frac{1}{m+1} - \sum_{k=0}^{m-1}\binom mk\frac{S_k(1)}{m-k+1}\ .

Or on a vu que pour m\ge1 on a (par définition) : S_m(1)=\sum_{k=0}^{0}k^m=0={1\over{m+1}}\sum_{k=0}^n{m+1\choose{k}} B_k .

On obtient ainsi la récurrence exposée en introduction (pour m > 0) : \sum_{k=0}^m{m+1\choose{k}}B_k = 0\,.

Applications en analyse[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Formule d'Euler-Maclaurin[modifier | modifier le code]

Soit a un nombre réel et N un entier naturel. Si f est une application de classe \mathcal{C}^k (avec k\geqslant 1) sur [a ; a+N].

f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int_a^{a+N}f(x)\,dx+\sum_{j=1}^{k}B_j\frac{f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}+R_{k,a,N}

avec

R_{k,a,N}=\frac{(-1)^{k-1}}{k!}\int_a^{a+N}f^{(k)}(x)\tilde{B_k}(x-a)\,dx

\tilde{B_k}(x) est la fonction périodique de période 1 égale à B_k (x)\,, le polynôme de Bernoulli d'indice k, sur l'intervalle [0 ; 1[.

\tilde{B_k}(t)=B_k(t-[t])

[t] désigne la partie entière de t.

Développements en série de Taylor[modifier | modifier le code]

À partir de la fonction génératrice,

\frac x{e^x-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}=1-\dfrac{x}2+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}, |x|< 2\pi,

on démontre les formules suivantes[7] :

1-\frac{x}2\;\operatorname{cotan} \frac{x}2=\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{x^{2n}}{(2n)!}, |x|<2\pi,
x\;\operatorname{cotan} x=1-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi,
\operatorname{cotan} x=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty |B_{2n}|\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi,
\dfrac1{\sin x}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi.
\tan x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2.
\dfrac2{e^x+1}=1-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi.
\dfrac12\;\dfrac{e^x+1}{e^x-1}=\dfrac12\,\operatorname{coth} (\frac{x}2)=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{x^{2n-1}}{(2n)!}, 0<|x|<2\pi,
\operatorname{coth} x= \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac1x+\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi,
\dfrac1{\operatorname{sh} x}=\dfrac1x-\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, 0<|x|<\pi.
\operatorname{th} x=\sum_{n=1}^\infty B_{2n}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2.

Les nombres T_n=|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n} sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèce[8].

On a le développement suivant : \operatorname{tan} x=\sum_{n=1}^\infty T_{n}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}, |x|<\pi/2.

Développements en série des nombres de Bernoulli[modifier | modifier le code]

\begin{align} 
|B_{2n}| &= \frac{ (2n)!} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{ k^{2n}} \\
 &= \frac{2 \cdot (2n)!}{(2^{2n}-1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{ (2k + 1) ^{2n}} \\
 &= \frac{(2n)!} {(2^{2n - 1} - 1)\cdot\pi ^ {2n}} \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{ k^{2n}}
\end{align}

Les nombres de Bernoulli et la fonction zêta de Riemann[modifier | modifier le code]

La première relation a été obtenue par Leonhard Euler sous la forme suivante

B_{2n} = (-1)^{n+1}\frac {2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \left[1+\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\cdots\;\right].

La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :

B_{2n}=(-1)^{n-1}\frac {2\, (2n)!} {(2\pi)^{2n}}\;\zeta(2n)\,

relation qui entraîne (pour n > 0) :

2\,\zeta(2n)=\frac{(2\pi)^{2n}} {(2n)!} \,|B_{2n}|
Les premiers nombres de Bernoulli B_n(1) (ordonnées des points rouges) sont donnés par la fonction -x \zeta(1-x) (courbe en bleu).

L'apparition de \textstyle B_{12} = -\frac{691}{2730} semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque

\zeta(-n) = (-1)^n\frac{B_{n+1}}{n+1}\,

et on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann).

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

B_n = -n \zeta(1-n)\,, si n > 1.

et

B_1 = \zeta(0)\, ; si n = 1.

En particulier :

\;\zeta(0) = B_{1}=-\frac12\,,\qquad\zeta(-1) = -\frac{1}{12},\qquad\zeta(-3) = \frac{1}{120},\!\qquad\zeta(-5) = -\frac{1}{252},\!\qquad\zeta(-7) = \frac{1}{240}.

Comportement asymptotique de |B_{2n}|[modifier | modifier le code]

Croissance des logarithmes des nombres de Bernoulli d'indice pair. Le graphe bleu (trait continu) montre \log |B_{\lfloor2x\rfloor}|, le graphe rouge (en pointillés) montre l'équivalent asymptotique \textstyle\log \left( 4 \sqrt{\pi x} \left( \frac{x}{\pi e} \right)^{2x} \right).

On a :

|B_{2n}| =\frac{ (2n)! \cdot \zeta (2n)} {2^{2n - 1}\pi ^ {2n}}.

De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que \zeta(2n)>1\ (si n > 0,5). Par conséquent, on a la minoration :

|B_{2n}|>\frac {2\; (2n)!} {(2\pi)^{2n}}\,

De l'inégalité e^{2n}>\frac{(2n)^{2n}}{(2n)!} (si n > 0), on déduit que : (2n)!>\textstyle\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} (si n > 0) , donc :

|B_{2n}|>2\left(\frac { n} {\pi e}\right)^{2n}\,.

Par conséquent :

\lim_{n\to\infty}|B_{2n}|=+\infty\,.

En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de (2n)!, on démontre l'équivalent quand n tend vers l'infini :

 |B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n}.

Propriétés arithmétiques[modifier | modifier le code]

Les nombres de Bernoulli et les groupes de classes d'idéaux[modifier | modifier le code]

Les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer. En 1847, Kummer démontrait que le dernier théorème de Fermat était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés nombres premiers irréguliers. On dit qu'un nombre premier impair est « irrégulier » si il ne divise pas le nombre de classes de \mathbf{Q}(\zeta_p), sinon on dit que p est régulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli jusqu'à B_{p-3}. Un nombre premier p impair est régulier si, et seulement si, p ne divise le numérateur d'aucun des nombres B_2,\quad, B_4,\quad,\ldots, B_{p-3}. Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si p est régulier, alors il ne divise pas le nombre de classes de \mathbf{Q}(\zeta_p), donc l'équation x^p+y^p=z^p n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1). C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.

Le théorème de Kummer a été renforcé par le théorème de Herbrand-Ribet. Les nombres de Bernoulli sont également liés aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla.

Liens avec la K-théorie algébrique[modifier | modifier le code]

Nous avons aussi un lien avec la K-théorie algébrique : une conséquence de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum est le résultat suivant[9] :

Si n=4k-2 et c_{k}\, est le numérateur de \frac{B_{2k}}{k}\,, alors l'ordre de K_{n}(\Bbb{Z})\, est |c_{k}|\, si k est pair (n\equiv 6\mod 8), et 2c_{k}\, si k est impair (n\equiv 2\mod 8).

Si n=4k-1 et d_{k}\, est le dénominateur de \frac{B_{2k}}{k}\,, alors l'ordre de K_{n}(\Bbb{Z})\, est 4d_{k}\, si k est pair (n\equiv 7\mod 8), et 8d_{k}\, si k est impair (n\equiv 3\mod 8).

Théorème de Von Staudt-Clausen[modifier | modifier le code]

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci :

si nous ajoutons les inverses \textstyle\frac{1}{p} à B_{n}\, pour chaque nombre premier p tel que p − 1 divise n, nous obtenons, si n=1 ou n est pair non nul, un nombre entier.

Ce fait nous permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli non entiers B_n\, comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n. En conséquence, si 2n est un entier pair non nul, le dénominateur du nombres de Bernoulli B_{2n} est sans carré et divisible par 6.

Exemples
B_1+\frac{1}{2}=0\qquad ;\qquad B_2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1\qquad ;\qquad B_4+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=1
B_6+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=1\qquad ;\qquad B_{10}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{11}=1
B_{12}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{13}=1\qquad ;\qquad B_{14}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=2\qquad ;\qquad B_{16}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{17}=-6

La propriété se traduit par

pB_{2m} \equiv -1 \mod{p}\, si p -1 divise 2m.

(La notation a \equiv b \mod{p}\, signifie que p divise le numérateur de a-b mais pas le dénominateur de a-b.)

La conjecture d'Agoh-Giuga postule que p est un nombre premier si et seulement si pB_{p-1} \equiv -1 \mod{p}\,.

Continuité p-adique[modifier | modifier le code]

Une propriété de congruence spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si b, m et n sont des nombres entiers positifs tels que m et n ne sont pas divisibles par p-1\, et m \equiv n\, \bmod\,p^{b-1}(p-1)\,, alors

(1-p^{m-1}){B_m \over m} \equiv (1-p^{n-1}){B_n \over n} \,\bmod\, p^b\,.

Puisque B_n = -n\zeta(1-n)\,, ceci peut être aussi écrit

(1-p^{-u})\zeta(u) \equiv (1-p^{-v})\zeta(v)\, \bmod \,p^b\,

u=1-m\, et v=1-n\,, c’est-à-dire u et v sont négatifs et non congru à 1 mod p-1. Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann, avec 1-p^z\, prise hors de la formule du produit d'Euler, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod p-1, en particulier a \not\equiv 1\, \bmod\, p-1, et donc, peut être étendu à une fonction continue \zeta_p(z)\, pour tous les nombres entiers p-adiques \mathbb{Z}_p,\, la fonction zêta p-adique.

Utilisation en topologie[modifier | modifier le code]

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n−1)-sphères exotiques qui bornent des variétés parallélisables pour n \ge 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si N_n est le numérateur de \frac{B_{4n}}{n}\,, alors 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_n\, est le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques.

La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli (ils notent B_n la suite 1, 1/6, 1/30…) ; l'article de wikipedia utilise la convention utilisée en théorie des nombres.

Formules explicites[modifier | modifier le code]

On peut en fait également définir les B_n sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a[10] (pour n>1)

 B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!}{k+1}
\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\} \ .

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling, et en simplifiant)

 B_{n}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}\frac{k!}{k+1}
\left(\frac{1}{k!}\sum_{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j} j^n\right)   = \sum _{k=0}^{n}  \frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}  (-1)^j\binom kjj^n

On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas[11] ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Les relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :

m\equiv 0\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose{m}}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{m/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}
m\equiv 2\,\bmod\,6\qquad {{m+3}\choose{m}}B_m={{m+3}\over3}-\sum_{j=1}^{(m-2)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}
m\equiv 4\,\bmod\, 6\qquad{{m+3}\choose{m}}B_m=-{{m+3}\over6}-\sum_{j=1}^{(m-4)/6}{m+3\choose{m-6j}}B_{m-6j}

Une identité de Carlitz :

(-1)^m \sum_{r=0}^m {m \choose r} B_{n+r}
= (-1)^n \sum_{s=0}^n {n \choose s} B_{m+s}

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Ireland et Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990, p. 228.
  2. Alain Robert, A Course in p-adic Analysis, Springer, 2000, p. 273.
  3. Henri Cohen, Number Theory, volume II, Analytic and Modern tools, Springer, 2007, p. 31.
  4. a et b Ireland et Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990, p. 229.
  5. Ireland et Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer, 1990, p. 230.
  6. Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, éd. PUF, 1998, p. 147
  7. (en) Henri Cohen, Number Theory, Volume II, Analytic and Modern Tools, p. 5.
  8. Alain Bouvier, Michel George et François Le Lionnais, Dictionnaire des mathématiques, PUF, 2001, 6e édition, p. 320.
  9. Survey de de Weibel sur la K-théorie de Z
  10. Graham, Knuth, Patashnik, Concrete Mathematics, p. 289 (eq. 6.99) ; on trouvera également une démonstration de cette formule sur Wikiversité.
  11. (en) Henry W. Gould, Explicit formulas for Bernoulli numbers, Amer. Math. Monthly vol. 79, pages 44–51 (1972)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]