Coïncidence mathématique

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En mathématiques, une coïncidence mathématique est une expression de quasi égalité entre deux quantités, sans qu'il y ait une explication théorique directe.

Introduction[modifier | modifier le code]

Une coïncidence mathématique réside souvent dans le fait qu'un nombre réel est proche d'un nombre entier, ou plus généralement proche d'un nombre rationnel avec un petit dénominateur. Étant donné le très grand nombre de façons de combiner les expressions mathématiques, il en existe un très grand nombre.

Bien que les coïncidences mathématiques soient parfois utiles, elles sont principalement célèbres en tant que curiosités ou récréations mathématiques.

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

Formules avec π[modifier | modifier le code]

  • La première réduite de π par fraction continue ; [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, était connue d'Archimède[1], et elle est vraie à environ 0,04 % près.
  • La troisième réduite de π, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929…, trouvée par Zu Chongzhi, est vraie sur six décimales, soit 85 pour un milliard ; cette extrême précision avec deux nombres inférieurs à mille vient du fait que π a un quatrième terme inhabituellement élevé dans sa représentation en fraction continue : π = [3; 7, 15, 1, 292, …][2].

La base 2[modifier | modifier le code]

  • La coïncidence 2^{10} = 1024 \approx 1000 = 10^3, vraie à 2,4 % près, renvoie à l'expression rationnelle \dfrac{\log10}{\log2} \approx 3,219 \approx \dfrac{10}{3}, ou  2 \approx 10^{3/10}, vrai à 0,3 % près. Cette relation est utilisée en ingénierie, par exemple pour donner une approximation d'une puissance de 2 avec dB (en fait 3,0103 dB), ou pour passer d'1 kilobyte à 1 kibibyte ; voir Préfixe binaire.
  • En utilisant 3/10 comme approximation de \log_{10}2, on trouve les approximations suivantes pour les log d'autres valeurs :
    • 3^4\approx 10\cdot 2^3, amène à \log_{10}3 = (1+3\log_{10}2)/4\approx  (1 + 9/10)/4 = 0,475 (à comparer à 0,4771, vrai à 0,5 % près)
    • 7^2\approx 10^2/2, amène à \log_{10}7 \approx 1-\log_{10}2/2 \approx 1 - 3/20 = 0,85 (à comparer à 0,8451, vrai à 0,6 % près)

Les intervalles musicaux[modifier | modifier le code]

Expressions numériques[modifier | modifier le code]

Les puissances de π[modifier | modifier le code]

  • \pi^2\approx10; est vrai à 1,3 % près. Cette coïncidence a été utilisée dans la conception de la règle à calculs, en particulier dans les graduations de la réglette centrale ;
  • \pi^2\approx 227/23, vrai à 0,0004 % près (à noter que 2, 227, et 23 sont des nombres premiers de Chen) ;
  • \pi^3\approx 31 (en fait 31,0062…) ;
  • \pi^5\approx 306 (en fait 306,0196…) ;
  • \pi\approx \sqrt{2} + \sqrt{3} (vrai à 0,15 % près) ;
  • \pi\approx\left(9^2+\dfrac{19^2}{22}\right)^{1/4}, juste sur huit décimales, ou \pi^4\approx 2143/22, juste sur cinq décimales[3].

Le nombre e[modifier | modifier le code]

  • \sum_{k=1}^8 \dfrac{1}{k} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} \approx e, à 0,016 % près.
  • Pour tout entier n, les premières décimales de  n-e sont composées de 2, 7, 1, et 8, c'est-à-dire les premiers chiffres de e.
  •  \exp(-\psi(\sqrt{3}/4+1/2)) \approx 2 à 0,000015 % près (un pour 10 millions), où ψ est la fonction polygamma et exp est la fonction exponentielle.

Formules avec π et e[modifier | modifier le code]

  • \pi^4+\pi^5\approx e^6, vrai à 0,000 005 % près.
  • e^\pi - \pi\approx 19,99909998 est très proche de 20 (Conway, Sloane, Plouffe, 1988), et est équivalent à (\pi+20)^i=-0,999 999 999 2... -i\cdot 0,000 039... \approx -1[4]
  •  {\pi^{3^2}}\div{e^{2^3}}\approx 9,9998[4]
  •  {\pi\div e} \approx 2/\sqrt3 , vrai à 0,089 % près. C'est équivalent à :  {e}\approx \pi\cdot \sin (\pi/3).
  •  {\pi - e} \approx 1-1/\sqrt3, vrai à 0,15 % près.
  •  {(\pi\div e)/(\pi - e)} \approx \sqrt3 + 1 , vrai à 0,067 % près.

Formules avec π, e et le nombre d'or[modifier | modifier le code]

  • \phi\times e\div\pi \approx 7/5, vrai à 0,001 % près.
  • \phi+e+\pi \approx 7.5, vrai à 0,3 % près.

Formules avec π, e et le nombre 163[modifier | modifier le code]

  • {163}\cdot (\pi - e) \approx 69, vrai à 0,0005 % près.
  • {{163} / \log_{e}{163} } \approx 2^5, vrai à 0,000 004 % près.
  • Constante de Ramanujan: e^{\pi\sqrt{163}} \approx (2^6\cdot 10005)^3+744, vrai à 2.9\cdot 10^{-28} % près[5].
    Ceci implique : \pi \approx {1\over \sqrt{163}}\log_e{(640320^3+744)}, qui est vrai pour environ 20 chiffres.

Note : e^{\pi\sqrt{n}} est proche d'un entier pour de nombreuses valeurs de n, en particulier pour n=163, ce qui est expliqué par la théorie algébrique des nombres. Voir nombre de Heegner et nombre presque entier.

Coïncidences sur les unités[modifier | modifier le code]

  • \pi secondes est un nanosiècle (c'est-à-dire 10^{-7} années) ; vrai à 0,5 % près.
  • un attoparsec par microfortnight (fortnight = 14 jours) est approximativement 1 pouce par seconde (en réalité 1,0043 pouces par seconde).
  • un furlong par fortnight est approximativement égal à 1 centimètre par minute.
  • un attoparsec cubique (un cube d'un attoparsec de côté) est à 1 % près égal à once liquide américaine.
  • un mille international (mile) est environ \phi kilomètres (vrai à 0,5 % près), où \phi={1+\sqrt 5\over 2} est le nombre d'or. Puisque \phi est la limite du ratio de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, cela donne une suite d'approximations de correspondances entre miles et kilomètres : F_n mi = F_{n+1} km, par exemple 5 mi = 8 km, 8 mi = 13 km.
  • Une autre bonne approximation est : 1 mile = ln(5) km. En effet, 1 mile = 1,609344 km et ln(5) = 1,6094379124341…
  • NA ≈ 279, où NA est le nombre d'Avogadro ; vrai à environ 0,4 % près. Cela signifie qu'1 yobibyte est approximativement un peu plus du double d'une mole de bytes. Ceci signifie également qu'1 mole de matière (c'est-à-dire 12 g de carbone), ou 25 l de gaz à température et pression normales, ne peuvent pas être divisés en deux plus de 79 fois.
  • La vitesse de la lumière dans le vide est d'environ un pied par nanoseconde (vrai à 2 % près), ou encore 3×108 m/s (vrai à 0,07 % près), ou enfin 1 milliard de km/h (vrai à 7,93 % près)

Autres curiosités numériques[modifier | modifier le code]

Coïncidences décimales[modifier | modifier le code]

  • 2^5 \cdot 9^2 = 2592.
  • 1! + 4! + 5! = 145.
  • \dfrac {16} {64} = \dfrac {1\!\!\!\not6} {\not6  4} = \dfrac {1} {4},    \dfrac {26} {65} = \dfrac {2\!\!\!\not6} {\not6  5} = \dfrac {2} {5},    \dfrac {19} {95} = \dfrac {1\!\!\!\not9} {\not9  5} = \dfrac {1} {5}
  • (4 + 9 + 1 + 3)^3 = 4913 et (1 + 9 + 6 + 8 + 3)^3=19683 et (5+8+3+2)^3=5832
  • 1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 ; 3^3 + 7^3 + 0^3 = 370 ; 3^3 + 7^3 +1^3 = 371 ; 4^3 + 0^3 +7^3 = 407
  • 3^2 + 7^2 - 3 \cdot 7 = (3^3 + 7^3)/(3 + 7) = 37.
  • (3 + 4)^3 = 343 (important dans le symbolisme numérique de la cathédrale Saint-Étienne de Vienne)
  • 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5 = 3435.
  • 35 - 3^2 - 5^2 = 75 - 7^2 - 5^2.
  • 588^2+2353^2 = 5882353 et 1/17 = 0,058823529411764..., qui arrondi à huit chiffres fait 0,05882353[8]
  • Un nombre (parmi d'autres : suite A032799 de l'OEIS) qui égale la somme de ses chiffres aux puissances consécutives : 2646798 = 2^1+6^2+4^3+6^4+7^5+9^6+8^7.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mathematical coincidence » (voir la liste des auteurs)

  1. (en) Petr Beckmann, A History of Pi (en), Dorset Press,‎ 1993 (1re éd. 1971, St. Martin's Griffin) (ISBN 978-0-88029418-8).
  2. La suite de la fraction continue est [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,...] et avec le cinquième terme on obtient la 103993/33102, voir Collection of approximations for p
  3. dû à Ramanujan (Quarterly Journal of Mathematics, XLV, 1914, p. 350-372). Ramanujan affirme que cette « curieuse approximation » de \pi a été « obtenue empiriquement » et n'a pas de lien avec la théorie développée dans le reste de son papier. Cela peut être vu humoristiquement comme : Prenez le nombre 1234, transposez les premiers deux chiffres et les deux derniers chiffres, et ainsi le nombre devient 2143. Divisez ce nombre par « deux-deux » (22, donc 2143/22 = 97,40909…). Prenez les deux fois deuxièmes racines (racines quatrièmes) de ce nombre. Le résultat final est remarquablement proche de \pi (à un milliardième près).
  4. a et b (en) « Almost Integer », Wolfram MathWorld.
  5. (en) Ramanujan, S. Modular Equations and Approximations to pi, Quart. J. Pure Appl. Math. 45, 350-372, 1913-1914.
  6. (en) David Broadhurst, Prime Curios!: 10660...49391 (61899-digits) sur les Prime Pages.
  7. (en) Richard Arratia (dir.), Poisson approximation and the Chen-Stein method, 1990, Statistical Science vol. 4, nb. 4, p. 403-434.
  8. mentionné par Gilbert Labelle en 1980.

Liens externes[modifier | modifier le code]