Nombre presque entier

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En mathématiques récréatives, un nombre presque entier est un nombre irrationnel qui est de façon surprenante très proche d'un entier.

Quelques cas[modifier | modifier le code]

Puissances du nombre d'or[modifier | modifier le code]

Des exemples de nombres presque entiers sont les puissances entières élevées du nombre d'or \varphi. Pour mémoire :

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033988749894848204586834365...

On a par exemple :

\varphi^{17} = 3571,000280\dots\,
\varphi^{18} = 5777,999827\dots\,
\varphi^{19} = 9349,000107\dots\,
\varphi^{20} = 15126,999934\dots\, .
\varphi^{21} = 24476,000040\dots\,
\varphi^{22} = 39602,999974\dots\, .

Le fait que ces valeurs s'approchent de nombres entiers s'explique du fait que le nombre d'or est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan : un entier algébrique dont les éléments conjugués sont en valeur absolue inférieurs à l'unité. Il en résulte que pour \scriptstyle n \,\gg\, 1\, :

\varphi^n \approx  L_n - \frac{(-1)^n}{L_n}

Ln est le nième nombre de Lucas.

Constante de Ramanujan[modifier | modifier le code]

Une proportion importante des premiers nombres de la forme e^{\pi\sqrt{n}} ont une partie décimale commençant par plusieurs 9 :

e^{\pi \sqrt{6}} = Entier + 0,99\dots\,.
e^{\pi \sqrt{17}} = Entier + 0,99\dots\,.
e^{\pi \sqrt{18}} = Entier + 0,99\dots\,.
e^{\pi \sqrt{22}} = Entier + 0,99\dots\,.
e^{\pi \sqrt{25}} = Entier + 0,999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{37}} = Entier + 0,9999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{43}} = Entier + 0,999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{58}} = Entier + 0,999999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{59}} = Entier + 0,99\dots\,.
e^{\pi \sqrt{67}} = Entier + 0,99999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{74}} = Entier + 0,999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{163}} = Entier + 0,99999999999925\dots\,.
e^{\pi \sqrt{232}} = Entier + 0,99999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{719}} = Entier + 0,9999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{1169}} = Entier + 0,9999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{1467}} = Entier + 0,99999999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{4075}} = Entier + 0,99999\dots\,.
e^{\pi \sqrt{5773}} = Entier + 0,9999\dots\,.

En effet, avec une répartition uniforme, on s'attendrait à n'avoir que :

  • 1 nombre (au lieu des 11 observés) dont la partie décimale commence par 0,99..., pour n compris entre 1 et 100,
  • 1 nombre (au lieu des 9 observés) dont la partie décimale commence par 0,999..., pour n compris entre 1 et 1000,
  • 1 nombre (au lieu des 10 observés) dont la partie décimale commence par 0,9999..., pour n compris entre 1 et 10000,

Le nombre e^{\pi\sqrt{163}}, qui est le plus étonnant, est parfois dénommé constante de Ramanujan, à cause de l'anecdote suivante : en 1975, Martin Gardner proposa dans la revue Scientific American un poisson d'avril, dans lequel il prétendait que ce nombre était un entier (à la précision des ordinateurs de l'époque) et que cela avait été prédit par le mathématicien indien Ramanujan. En réalité, on savait depuis 1934 que les nombres de cette forme sont non seulement non entiers, mais transcendants (c'est une conséquence du théorème de Gelfond-Schneider) ; d'autre part, Ramanujan avait effectivement remarqué que ce nombre était proche d'un entier, en utilisant des développements en série liés aux formes modulaires[1], mais il semble[2] que cette propriété ait été mentionnée par Charles Hermite dès 1859.

Autre fait remarquable : trois des nombres de la liste correspondent aux valeurs de n qui sont les 3 plus grands nombres de Heegner : 43, 67 et 163. On a :

\begin{align}
e^{\pi \sqrt{43}}  &\approx 12^3(9^2-1)^3+744 - 0,00022\\
e^{\pi \sqrt{67}}  &\approx 12^3(21^2-1)^3+744 - 0,0000013\\
e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3(231^2-1)^3+744 - 0,00000000000075
\end{align}

La présence des carrés (de 9, 21 et 231) est en relation avec certaines séries d'Eisenstein[3].

Les puissances des la constante de Ramanujan sont également des nombres presque entiers, quoique de moins en moins au fur et à mesure que l'exposant augmente :

eπ163 = 262537412640768743,99999999999925...
e163 = 68925893036109279891085639286943768.00000000016...
e163 = 18095625621654510801615355531263454706630064771074975.9999999901...
e163 = 4750778730825177725463920948909726618214491718039471366318747406368792.00000030...
e163 = 1247257156019637304856107520018074552566824585862995272173368815794085495792299621093743.9999936...
e163 = 327451666639079200503292535866541250265248788274691526825971156747731856100971255480468836963064283775072.000097...
e163 = 85968313324331384516193000468092278329755548797409399442004776269126859976027905282083513810327974584994948290745606149951.9988...
e163 = 22569898549260886473888468331565301907474037192863812586061996691592154447956371062753799948390245371838040419276512345203199926422461218840.012...

Le fait que ces puissances soient elles aussi des nombres presque entiers est une coïncidence supplémentaire, elle ne découle pas du fait que constante de Ramanujan soit un nombre presque entier (la différence entre le carré du nombre entier proche de eπ163 et le nombre entier proche de e163 est de 393768).
Par ailleurs, ces puissances sont proches d'un entier alternativement par en dessous (exposants impairs) et par en dessus (exposants pairs). Enfin, la courbe représentant le logarithme de la distance de la puissance nième à l'entier le plus proche est remarquablement régulière de la puissance 1 à la puissance 8 (voir la figure ci-dessous).

Ceci s'observe également mais dans une moindre mesure pour les puissances de eπ58 (approximations toutes par en dessous):

eπ58 = 24591257751.99999982...
e58 = 604729957825300084759.9999921...
e58 = 14871070263238043663567627879007.99984...
e58 = 365698321891389219219142531076638716362775.9982...
e58 = 8992981693105016374155646905045678991816481660068751.984...

et pour les puissances de eπ67:

eπ67 = 147197952743.9999986...
e67 = 21667237292024856735768.00029...
e67 = 3189372971004509360884026494978975.982...


Logarithme de la distance de enπ√x à l'entier le plus proche en fonction de n pour x = 163, 58 et 67.

Logarithme de la distance de ex à l'entier le plus proche en fonction de n pour x = 163, 58 et 67.

Des records ?[modifier | modifier le code]

\Biggl[ {\frac {\ln{({640320}^3+744)}} {\pi}} \Biggr]^2 = 163,\underbrace{0000000000000000000000000000}_{28}232....

François Le Lionnais cite[4] ce cas (qui n'est d'ailleurs qu'une variante de la constante de Ramanujan) comme étant « certainement l'approximation la plus étonnante d'un entier dans l'univers ».

Pourtant, l'approximation suivante, avec 31 zéros après la virgule, citée sur la Page maison de Simon Plouffe \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{n}^{3}}{{{\rm e}^{2 \, \pi \,n/13}}-1}}= 119,\underbrace{0000000000000000000000000000000}_{31}959374585..., dépasse ce record ; on trouvera des approximations plus précises encore, découvertes récemment par ordinateur, dans l'article mathématiques expérimentales.

Autres cas[modifier | modifier le code]

Des nombres presque entiers utilisant les constantes \pi et e ont souvent étonné et amusé les mathématiciens. Un exemple est :

e^\pi - \pi = 19,999099979\dots\,.

D'autres approximations :

\pi^{\sqrt[3]{93}} - e^{\sqrt[3]{93}} = 86.0000188811\dots\,.
|\pi^{ei}-1| = 1.99977658827\dots\,.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]


  1. Voir l'article anglais j-invariant.
  2. (en)John D. Barrow, The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. ISBN 0-224-06135-6. (2002)
  3. Article sur sci.math.research
  4. Les nombres remarquables, 1983, Hermann, Paris, p. 100