Nombre presque entier

En mathématiques récréatives, un nombre presque entier est un nombre irrationnel qui est de façon surprenante très proche d'un entier.

Quelques cas

Puissances du nombre d'or

Des exemples de nombres presque entiers sont les puissances entières élevées du nombre d'or $\varphi$. Pour mémoire :

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \simeq 1,618033988749894848204586834365...$

On a par exemple :

$\varphi^{17} = 3571,000280\dots\,$

$\varphi^{18} = 5777,999827\dots\,$

$\varphi^{19} = 9349,000107\dots\,$

$\varphi^{20} = 15126,999934\dots\,$.

$\varphi^{21} = 24476,000040\dots\,$

$\varphi^{22} = 39602,999974\dots\,$.

Le fait que ces valeurs s'approchent de nombres entiers s'explique du fait que le nombre d'or est un nombre de Pisot-Vijayaraghavan : un entier algébrique dont les éléments conjugués sont en valeur absolue inférieurs à l'unité. Il en résulte que pour $\scriptstyle n \,\gg\, 1\,$ :

$\varphi^n \approx L_n - \frac{(-1)^n}{L_n}$

où L_n est le nième nombre de Lucas.

Constante de Ramanujan

Une proportion importante des premiers nombres de la forme $e^{\pi\sqrt{n}}$ ont une partie décimale commençant par plusieurs 9 :

$e^{\pi \sqrt{6}} = Entier + 0,99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{17}} = Entier + 0,99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{18}} = Entier + 0,99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{22}} = Entier + 0,99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{25}} = Entier + 0,999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{37}} = Entier + 0,9999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{43}} = Entier + 0,999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{58}} = Entier + 0,999999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{59}} = Entier + 0,99\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{67}} = Entier + 0,99999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{74}} = Entier + 0,999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{163}} = Entier + 0,99999999999925\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{232}} = Entier + 0,99999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{719}} = Entier + 0,9999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{1169}} = Entier + 0,9999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{1467}} = Entier + 0,99999999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{4075}} = Entier + 0,99999\dots\,.$

$e^{\pi \sqrt{5773}} = Entier + 0,9999\dots\,.$

En effet, avec une répartition uniforme, on s'attendrait à n'avoir que :

• 1 nombre (au lieu des 11 observés) dont la partie décimale commence par 0,99..., pour n compris entre 1 et 100,
• 1 nombre (au lieu des 9 observés) dont la partie décimale commence par 0,999..., pour n compris entre 1 et 1000,
• 1 nombre (au lieu des 10 observés) dont la partie décimale commence par 0,9999..., pour n compris entre 1 et 10000,

Le nombre $e^{\pi\sqrt{163}}$, qui est le plus étonnant, est parfois dénommé constante de Ramanujan, à cause de l'anecdote suivante : en 1975, Martin Gardner proposa dans la revue Scientific American un poisson d'avril, dans lequel il prétendait que ce nombre était un entier (à la précision des ordinateurs de l'époque) et que cela avait été prédit par le mathématicien indien Ramanujan. En réalité, on savait depuis 1934 que les nombres de cette forme sont non seulement non entiers, mais transcendants (c'est une conséquence du théorème de Gelfond-Schneider) ; d'autre part, Ramanujan avait effectivement remarqué que ce nombre était proche d'un entier, en utilisant des développements en série liés aux formes modulaires, mais il semble que cette propriété ait été mentionnée par Charles Hermite dès 1859.

Autre fait remarquable : trois des nombres de la liste correspondent aux valeurs de n qui sont les 3 plus grands nombres de Heegner : 43, 67 et 163. On a :

$\begin{align} e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3(9^2-1)^3+744 - 0,00022\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3(21^2-1)^3+744 - 0,0000013\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3(231^2-1)^3+744 - 0,00000000000075 \end{align}$

La présence des carrés (de 9, 21 et 231) est en relation avec certaines séries d'Eisenstein.

Des records ?

$\Biggl[ {\frac {\ln{({640320}^3+744)}} {\pi}} \Biggr]^2 = 163,\underbrace{0000000000000000000000000000}_{28}232...$.

François Le Lionnais cite ce cas (qui n'est d'ailleurs qu'une variante de la constante de Ramanujan) comme étant « certainement l'approximation la plus étonnante d'un entier dans l'univers ».

Pourtant, l'approximation suivante, avec 31 zéros après la virgule, citée sur la Page maison de Simon Plouffe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{n}^{3}}{{{\rm e}^{2 \, \pi \,n/13}}-1}}= 119,\underbrace{0000000000000000000000000000000}_{31}959374585...$, dépasse ce record ; on trouvera des approximations plus précises encore, découvertes récemment par ordinateur, dans l'article mathématiques expérimentales.

Autres cas

Des nombres presque entiers utilisant les constantes $\pi$ et e ont souvent étonné et amusé les mathématiciens. Un exemple est :

$e^\pi - \pi = 19,999099979\dots\,.$

D'autres approximations :

$\pi^{\sqrt[3]{93}} - e^{\sqrt[3]{93}} = 86.0000188811\dots\,.$

$|\pi^{ei}-1| = 1.99977658827\dots\,.$

Voir aussi

• Coïncidence mathématique

Liens externes

• (en) J.S. Markovitch Coincidence, data compression, and Mach's concept of economy of thought

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Almost integer » (voir la liste des auteurs)