Nombre premier de Fibonacci

En arithmétique, un nombre premier de Fibonacci est un nombre de Fibonacci qui est également premier.

Les sept plus petits nombres premiers de Fibonacci $F_{n}$ sont 2, 3, 5, 13, 89, 233 et 1 597, et les indices n correspondants sont 3, 4, 5, 7, 11, 13 et 17.

Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que $F_{n}$ divise $F_{kn}$ (voir la propriété 6 dans le § « Propriétés » de l'article sur la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout n > 4, si $F_{n}$ est premier, alors n est premier, mais la réciproque est fausse ($F_{19}=4181=37\times 113$ est le premier contre-exemple non trivial). En octobre 2015, le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est $F_{81~839}$ et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est $F_{2~904~353}$, qui a 606 974 chiffres décimaux.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des suites sans nombres premiers (en), c'est-à-dire des suites (T_n) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

• T_n+2 = T_n+1 + T_n ;
• T_n et T_n+1 sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun) ;
• aucun T_n n'est premier.

Dans la suite qu'il proposait (suite A083103 de l'OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

• 17 chiffres : suite  A083105 (Donald Knuth, 1990) ;
• 17 et 16 chiffres : suite  A083216 (Herbert Wilf, 1990) ;
• 12 et 11 chiffres : suite  A082411 (John Nicol, 1999) ;
• 12 et 11 chiffres, mais plus petits (Maxim Vsemirnov, 2004).

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Suite de Fibonacci » (voir la liste des auteurs).